【KS5U解析】四川省绵阳南山中学2019-2020学年高二4月月考（学情调研）数学（理）试题 Word版含解析

1、绵阳南山中学2020年春季高2018级网络学习学情数学（理）调研卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】d【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限.【详解】对应的点坐标为，在第四象限.故选:d【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2. 点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为（ ）a. b. c.

2、 d. 【答案】b【解析】【分析】利用直角坐标和极坐标互化公式直接求解【详解】点p的直角坐标为（，），=2，tan=1，=点p的极坐标为（2，）故选b【点睛】本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用3. 若向量，则（ ）a. b. c. 3d. 【答案】d【解析】【分析】根据题意得，所以【详解】由于向量，所以.故故选：d.【点睛】本题主要考查向量的模长问题，属于基础题目.4. 将点按照伸缩变换后得到的点的坐标为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据变换关系得，点在这样的变换关系下得.【详解】由于点按照伸缩变换，即点按照伸

3、缩变换.故点在这样的变换关系下得.故.故选：c.【点睛】本题主要考查点伸缩变换，属于一道基础题目.5. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选d.考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.6. 下列说法正确的个数是（ ）复平面内轴上所有点的集合与纯虚数是一一对应的命题“设，若，则或”是一个真命题“，”的否定是“，”若，则，为共轭复数（ ）a. 1b. 2c. 3d. 0【答案】a【解析

4、】【分析】对四个说法，进行一一辨析便可得出答案.【详解】复平面轴上的原点对应实数 ,不是纯虚数.故错误.命题“设，若，则或”的逆否命题为“设，若且，则”，逆否命题为真命题，则原命题为真命题. 故正确.“，”的否定是“，”. 故错误.若，则，为共轭复数.设.则，但与不是共轭复数. 故错误.故选：a.【点睛】本题主要考查复数及命题的有关知识点，属于基础题目.7. 已知空间四边形，其对角线为，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点o出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论【详

5、解】 , ,故选：c【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程8. 在四面体中，两两垂直，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】因为，两两垂直，以为x轴，以为y轴，以为z轴建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再根据，即可得出答案.【详解】因在四面体中，两两垂直，以为x轴，以为y轴，以为z轴建立空间直角坐标系，又因； ，又因为、分别为棱、的中点所以 故 ， ，. 设平面的法向量为 ，则 令 则； 所以设直线与平面所

6、成角 ，则 所以 故选：c【点睛】本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.9. 如图所示，在平行六面体中，则的长为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.【详解】 ，.，即的长为. 故选：b.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.10. 已知命题函数的定义域为，命题函数是减函数.若为真命题，为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 或【答案】a【解析】【分析】由题意知为假命题，为真命题.由为假命题，即：不恒成立，故 .为

7、真命题，即： .由此便可得出答案.【详解】由为真命题，为假命题，为真命题，得为假命题，为真命题.由：函数为假命题得，在上不恒成立.即.由函数是减函数，即：是增函数，即.两者取交集得：.故选：a【点睛】本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.11. 在极坐标系中，曲线关于（ ）a. 直线对称b. 直线对称c. 点对称d. 极点对称【答案】a【解析】【分析】由，得直角坐标方程： ，圆心为 ，又因为直线即： 过点，由此便可得出答案.【详解】由曲线，即：，又因为，化简得曲线的直角坐标方程： ，故圆心为 .又因为直线,直角坐标方程为： ，直线过点，故曲线关于直线对称故选：a.【点睛】

8、本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.12. 已知函数，若，使得成立，则的最大值为（ ）a. -4b. -3c. -2d. -1【答案】c【解析】【分析】由，使得成立得：的值域为的值域的子集，从而，故可求的最大值为.【详解】由，使得成立，得：的值域为的值域的子集，由 ，所以当 时，此时的值域为的值域的子集成立.当时，须满足的值域为的值域的子集，即，得 所以的最大值为.故选：c.【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.

9、把答案填在题中横线上）13. ，则_.【答案】【解析】【分析】根据，得：，故.【详解】由于，所以，故.故答案为：.【点睛】本题主要考查求复数模的知识点，属于基础题目.14. 命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】恒成立，当时，成立；当时，得；15. 已知，；关于的方程在区间内有解，且为真，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由为真命题，得：命题 均为真命题.由即： 由在区间内有解得：.即求在区间上的最大值和最小值，由此便得出实数的取值范围.【详解】由为真命题，得：命题 均为真命题.由， ，即大于函数 在区间上的最大值，由二次函数的性质得：在 时取得最大值

10、.即：. 由在区间内有解，得：.由函数的性质得， .故.取两者交集得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查逻辑联结词“且”以及不等式的转化和二次函数的性质，属于中档题目.16. 已知为正方形，为平面外一点，二面角为60°，则到的距离为_.【答案】【解析】【分析】由，二面角为60°得：为等边三角形，即为到的距离，然后根据勾股定理，便可得出答案.【详解】过点 作 于点e，过点作平行于，连接 ， 平面 又面，又因为，所以平面，而平面，.平行于，平面，又因为平面 即为到的距离.又因为二面角为60°， 所以 即为二面角. ， 由勾股定理可得故答案为：【点睛】本题主要考查立体几

11、何中点到直线的距离，属于中档题目.三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，.（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得：，.又因为是的充分不必要条件，即：是的真子集，由此便得出的取值范围.（2）由“”是“”的必要不充分条件，即：是的必要不充分条件.所以是的真子集，从而得出的取值范围.【详解】解：（1），.由于是的充分不必要条件，则是的真子集，实数的取值范围为.（2）“”是“”的必要不充分条件，是的必要不充分条件，实数的取值范围为.【点

12、睛】本题主要考查逻辑联结词与充分条件、必要条件，属于中档题目.18. 如图，三棱锥中，平面 ， 分别为线段上的点，且 (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面 ，可知，再分析已知由 得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（ 2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 ，平面，因此 两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面 和平面的法向量 ，向量 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论 试题解析：（1）证

13、明：由pc平面 abc，de平面，故pc de 由ce，cd=de 得为等腰直角三角形，故cdde 由pccd=c，de 垂直于平面pcd内两条相交直线，故de平面 pcd （2）解：由（）知，cde 为等腰直角三角形，dce ，如（）图，过点作df垂直ce于，易知df fcef，又已知eb ， 故fb 由acb 得dfac， ，故acdf 以为坐标原点，分别以 的方程为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（ ,0,0）,（0,2,0 ），（1,1,0）， 设平面的法向量 ， 由 ， ， 得 . 由（1）可知de 平面pcd，故平面pcd的法向量

14、可取为 ,即 . 从而法向量 ， 的夹角的余弦值为 ， 故所求二面角a-pd-c的余弦值为 . 考点：考查线面垂直，二面角考查空间想象能力和推理能力 19. 若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于点、，求及三角形的面积.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根据，又因为，变形得：，代入变得（2）由直线的极坐标方程得：，又由于弦长、圆心到直线的距离以及半径长满足勾股定理：，由此便可得出答案.【详解】解：（1）因为，所以，由，即（2）由，得圆心到直线的距离，.【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及直线与圆相交的知识，属于中等难度题目.20. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，因为设平面的法向量为，则，即，令，解得所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，