差分方程和微分方程数值解

1、东南大学数学实验报告实验内容：差分方程及微分方程数值解一实验目的熟悉迭代法及微分方程数值方式二预备知识(1) 了解差分方程稳固性、周期分解、混沌等相关知识(2) 了解欧拉方式、龙格-库特方式。三实验内容与要求(-)Volterra方程数值解方程忤“一3,a.b.c.d>0dy.=-ex+dxy,dt'其中a=l,b=,c=,d=x(0)=25,y(0)=2.命令与结果在函数编辑器中输入：functiondxdt=euler(t,x)dxdt=x(l)*x(2)x(2)*+*x(l)；end四阶龙格-库塔公式：在命令窗口中输入：tspan=015;xO=25;2;(t,x=ode4

2、5(eulentspan,x0);plot(t,x(:J)；r-'LineWidth;holdon;plot(t,x(：,2)；g-,/LineWidth;holdon;(1)相图四阶龙格-库塔公式：axis(O150125)legend('x(l)?x(2)')gridon30151062520102030406060708090100欧拉公式:欧拉方法：在命令窗口中输入：tspan=0 15;x0=25:2;(t,x=ode23(eulerjspan,x0);plot(t,x(:, 1 'LineWidth；;hold on;plot。,x(：Z；g'

3、;,LineWidth：;hold on:axis(0 150 125)legend('x(l)?x(2)')grid ontitle(The Numerical Solution OfEuler Equation*)» plot(x(:J),x(2)（2）轨线图四/五阶龙格-库塔公式:title(TheNumericalSolutionOfCalculablewayoffourthrankRounge-kutf)plot(x(:,l),x(:,2)X x(t) rx(l)N欧拉公式:（二）差分阻滞增加模型在t时刻单位时刻内的人口数量的转变量仅仅与现在的人口数量X有关

4、（等于右边的值）,其中的r表示人口的固有增加率,N表示能容纳的最大人口数.通过单位时刻，即一个繁衍周期的种群数量的增加量仅仅与前一个时期的种群数量有关。于是模型为这是一个一阶非线性差分方程,关于给定的初值，咱们能够从那个递推公式运用运算机很容易地计算出一些xk.这是在运算机秘现以后的一个新的特点.可是咱们更关切的是那时刻趋于无穷吵即产啖无窗眇”内的就购师,J嘱期2J程平稳由外稳固性问题.求用惶分方程的平稳点>N和(b-l)/b,它们别离对应于差分方程(1)的平稳点0和N.咱们将那个差分方程(2)在平稳点周围展开，有%+1=S：%£.砂k=°2(1)'注意到b=

5、l捽1,平稳点0是不稳固的.令&=7T、r记=r+1，则上式(两边乘以-7777)为X*(二十必_：工八一X*=-bxk-X*)2f也%)(/一X*)b略去高的j轴=bxk(1一，)(2)xk+-x=(2-b)(xk-x)因此当12上1<1时,平稳点x*=(b-l)/b是稳固的.12上1>1即b>3时,平稳点x*是不稳固的.(1)稳固情形(b=l.6,2.2)b=1.6b=2.2稳定性分析b=，在1到3范围之间稳定命令与结果(x()图)functionx=block(bzxO)b=;ifnargin<2x0=;稳定性分析b=，在1到3范围之间稳定命令与结果3?M

6、0图)functionx=block(b,xO)b=;ifnargin<2x0=;endx=xO;n=l:10000;for i=2:10000x (i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(n,x, ' . 1);end结果 x()图:05i111111111Oda0440420.40出0361111111i1010(0 期00 3000 4000 切00 6COJ 7000 80W 巽00 10300endx=x0;n=l:10000;for i=2:10000x(i)=b*x(i-l)*(l-x(i-l);endplot(n,x,3);end结果 x(/l

7、)图：05? I111111111056。弘OM0S30.6205110W WOO 3000 4000 800 6(0) 7000 80S)翼00 1600（2）不稳固情形b=3.3b=3.63稳定性分析稳定性分析6=在1到3范1韦之间不稳定1到3范围之间不稳定命令与结果（x（）图）命令与结果（M”）图）（3）倍周期分解b=3.3b=3.5（1）求稳定平衡点（1）求稳定平衡点可得两个平衡点：四个平衡点：程序：程序：functionx=block(bxO)functionx=block(bzxO)b=;b=;ifnargin<2ifnargin<2x0=;x0=;endendx=xO;x=x0;n=l:100;n=l:100;fori=2:100fori=2:100x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);x(i)=b*x