菱形的性质与判定典型例题

1、菱形的性质与判定典型例题如图，在菱形ABCDK E是AB的中点，且DE AB,AB a，求:ABC的度数；（2对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积.求证:已知：如图，在菱形AE AF.已知：如图，菱形ABCD中,AB 于 E,CF AD 于 F.CEABCD 中,E，F分别是BC, CD上的一点,D EAF 60， BAE 18，求 CEF 的度数.ADB RC例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF .求证：GH垂直平分CF .S女口图，I口lABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且DE CD求证:BE AF .如图，在Rt ABC中，ACB90

2、，E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形.求证：AC与DE互相垂直平分fi参考答案例1分析 （1）由E为AB的中点，DE AB，可知DE是AB的垂直平分线,从而AD DB，且AD AB，贝U ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而AC BD,AO OC，利用勾股定理可以求出 AC （3）由菱形的对 角线互相垂直，可知S -AC BD.2解 （1）连结BD 四边形ABCD是菱形， AD AB.E是AB的中点，且DE AB，二AD DB. ABD是等边三角形，DBC也是等边三角形.ABC 602 120 .(2)v四边形1二 OB -BD2ABCD!菱形， AC与BD互相垂直平

3、分,1 AC1-AB -a.2 2 OA Jab2 OB2(a2 (1a)2V 2 a， AC 2AO 73a2菱形ABCD勺面积S iAC BD孚2说明：本题中的菱形有一个内角是 60。的特殊的菱形，这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点.例2 分析 要证明AE AF ,可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质不难证明BCE DCF，从而可以证得本题的结论.四边形ABCD是菱形， BC CD, B D，且BECDFC 90，二 BCE DCF，二 BE DF，ABAD， ABBE AD DF，二 AEAF.例3解答：连结AC四边形ABC助菱形,B D 60，AB BC CD A

4、D. ABC与CDA为等边三角形.说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC,证ABEACF例4分析 由已知条件可证明四边形 BGDH是菱 形,再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 GH 垂直平分 CF 证明：四边形ABCD、BEDF都是长方形 DE/BF , AB/CD , DFH BCD90 ， AD BC四边形BGDH是平行四边形 AD DF，二 DFBC在 DFH 和 BCHDFHDHFDF BCBCHBHC尢BCH DH BH , HFHCEAF60 ,BAECAFABEACFAE AFEAF60 ,EAF 为等边三角形 .AEF60AECBBA

5、E60 1860CEFCEF18AEF CEF ， AB AC, B ACD BAC 60四边形BGDH是平行四边形四边形 BGDH 是菱形 HF HC GH 平分 BHD GH 平分 FHC GH垂直平分FC .例5 分析 要证BE AF，关键是要证明四边形 ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明四边形ABCD是平行四边形二 AB/CD , AB CD ,AG/BH , 1 E CD ED , AB ED在 ABG和 EDG中ABEDAGGD AD 2AB AGAB同理：AB BH AG BH AG/BH四边形ABHG是平行四边形 ABBH四边形ABHG是菱形 AF例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形所以要连结AD证明 在Rt ABC中，E为AB的中点 AE C