专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

1、专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360°呂的外角和等于360° .(BBC2.多边形的内角和与外角和定理:A(1) n边形的内角和等于(n-2)180(2) 任意多边形的外角和等于360CBC3平行四边形的性质:四边形ABCDi平行四边形DC4、A平行四边形判定方法的选择(1) 两组对边分别平行；(2) 两组对边分别相等;(3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.5、和平行四边形有关的辅助线作法(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点0是平行四边形ABCD勺对角

2、线AC的中点，四边形OCD是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要(2) 利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在 ABC中, E、F为AB上两点, 求证的结论中和平行四边形的性质有关E帧通过添加辅助线构造平C分别为D, G.求证:ED+FG=AC.产、I互相平分构造平行四边形说明：当图形中涉及到一组对边(3) 利用对例3、如图T知是 ABC的中线，BE交AC平行，时交可通过作平行AE构造求证bF=AC. 一组对边平行，得到平行四边形(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等j角形:。本题通过利用对角线互相平分构造平 亠行四边形，实际上是采用了平移法构造

3、平行 例4、如图，在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE = CF ,请你以F为一个 四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)(5) 平移对角线，把平行四边形转化为梯形。C12，BD =10，AB=m，那么m的取值范围是()例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点 0A、 1<m<11B、 2 cm <22C、10vm<12D 5cm<6(6) 过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、

4、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2(7) 延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP=ABD. 4个、课堂练习:1、如图，E是平行四边形 ABCD的边AB的中点,ABCD1的面积为S，则图中面积为丄S的三角形有()2A. 1个B. 2个C. 3个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形.E、F分别在 BC AC AB上，猜想：PMPE+PF=C出E，且3、如图，AD，BC 垂直相交于点 0, AB /

5、CD，BC=8, AD=6，则AB+CD的长=4、已知等边三角形 ABC的边长为a,卩是 ABC内一点，PD/ AEjPE/ BC PF/ _并证明你想.5、平行四边形ABCD中，E,G,F,H分别是四条边上的点AE =CF,BC =DH ,试说明：EF与GH相互平分.6、如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC和 BD交于0,一直线分别交ABCD于 G H.试说明:GF/ EH7、如图,已知AB=AC, B是AD的中点，E是AB的中点.试说明:CD =2CEBA8如图,E是梯形ABCD腰 DC的中点.试说明：S普be =2 S梯形ABCD9、已知六边形 ABCDE的 6个内角均为120

6、6;, CD= 2cm BO 8cmDED_E8cmfF=5Cm 试求此六边形的周长.10、已知AABC是等腰三角形,AB=AC D是BC边上的任一点,且AB , ADF丄AC,CH丄AB ,垂足分别为E、F、H,求证：DE +DF =CH11、已知：在 RMABC中,AB=BC ;在RUADE中,AD = DE ；连结EC，取EC的中点连结DM和BM .(1) 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合,如图,求证：BM = DM且BM丄DM ;(2) 如果将图8-中的MDE绕点A逆时针旋转小于45。的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

7、图-图答案: 例4、连结BFBF = DE证明：连结DB, DF，设DB, AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 A0 = 0C,D0 = 0B AE = FC AO AE = OC FC 即 OE = OF四边形EBFD为平行四边形 BF = DE例5、解：将线段DB沿DC方向平移,使得DB=CE ,DC=BE ,则有四边形CDBE为平行四边形,在 MCE 中，AC =12, CE =BD =10, AE=2AB = 2m 12-10c2m c12 +10，即 2c2mc22 解得 1 <mc11 故选 A例6、证明：过A,D分别作AE丄BC于点E , DF丄BC的延长线于点F AC

8、2 = AE2 +CE2 = AB2 -BE2 +(BC -BE)2 = AB2 + BC2 -2BE ”BC贝U AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2 +2BC QF -2BC -BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB = CD , AD = BC ZABC DCF V NAEB =NDFC =900心ABE 三 iDCF 二 BE =CF2 2 2 2 2 2- AC +BD =AB +BC +CD + DA 例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB =CD , CD = AD , NBAD = NBCD

9、= ND = 90° N1 =NK 又 N D =NDAK =90°, DF = AF 二 A CDF 也 A KAF AK =CD = AB CE =CD D-AD /. CE = DF 2 2V Z BCD =ND =900 二 BCE 也 A CDF Z1 =N2 Z1 +N3 =900 Z2+N3 =900 ZCPB =900 ,贝NKPB = 900 AP =AB、课堂练习1、C2 平行 3、104、a平行四5、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边形，根据 平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到 EF与GH相互

10、平分。6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边边形具有对边平行的性质可得 GF / EH 边形，平行四形了利用7、分析：延长CE至F，使 EF = CE，连结AF、BF，得四边形AFBC 十护“ 平行四边形 的性质证明 DBCFBC即可。8、分析：过点E作MN / AB,交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形, ABE与四边形ABNM等底等高，所以$ abe= - S平行四边形abnm，29、10、证明：过D点作DG丄CH于GS梯形ABCD = S平行四边形ABNM 即可。又DE丄AB于E, CH丄AB于H四边形 DGHE 为矩形 DE = GH

11、EH / DG/ B=/ GDC又 AB = AC / B=/ACB又/DGC = / DFC = 90° CD = DC （公共边） CDG 尢 DCF （AAS） DF = CG又 CH = CG + GH CH = DF + DG （等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性 质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角 形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用 方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线:(2 )过顶点

12、作对边的垂线构造直角三角形(3) 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线(4) 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。(5 )过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE = CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有 的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF = DE证明：连结DB,DF ,设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 A

13、O = OC,DO = OB AE =FC AO -AE =0C -FC 即 OE =0F四边形EBFD为平行四边形 BF=DE 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC=12，BD = 10， AB = m，那么m的取值范围是（）A1 <m <11B 2< m c22 C10 cmv12 D 5<mc6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE , DC = BE ,则有四边形CDBE为平行四边 形,在 AACE 中,AC =12, CE =BD =10, AE =2AB =2m 12 -

14、10c2m c12+10，即 2c2mc22解得 1 <mc11 故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2证明：过A, D分别作AE丄BC于点E , DF丄BC的延长线于点F AC2 = AE2 +CE2 = AB2 - BE2 +(BC - BE)2 = AB2 + BC2 -2BE -BC贝U AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2 +2BC QF -2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB

15、 = CD , AD = BC NABCDCF t NAEB =NDFC =90。ABE -iDCF BE =CF2 2 2 2 2 2二 AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图 4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP = AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB =CD, CD = AD , NBAD = NBCD = ND = 900 Z1 =NK 又 ND =NDAK =90°, DF =

16、AF 二也CDF 也 KAF1 1ACDW CE 二CD,Df=2AD C一 DF NBCD = Nd =90° BCE 也也CDF 二 N 1=2V Z1 + N3 =90° AZ 2+ N3 =90° :.乙 CP B =90° ,贝 UZKP B = 90° AP =AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于 F，贝U有AAEDFEC FAB s卜FECQAEDFAB第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,在平行四边形 ABCD中，AN=BN , BE =BC , NE3交BD于F，求