初等函数方程的几种常见解法

1、初等函数方程的几种常见解法方程的教学是数学教学的重要内容之一。初等数学中从一元一次方程开始，由浅入深地讨论了一元二次方程，二元、三元方程组，并在此基础上进一步研究了简单的高次方程、分式方程、无理方程、指数方程、对数方程等。在教学实践中，常遇到以未知函数为未知量的方程，我们把这种方程称作函数方程，本文以几种常见的初等代数函数方程为例，探讨其解法。一、代换法对函数方程的未知函数或未知函数的自变量作代换，以达到求解函数的目的。此法多用于单变量函数方程。二、待定系数法当已知f（x）是多项式函数时，可利用待定系数的方法求解函数方程。首先写出函数的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等来确定待定的系数

2、。例：已知函数f（x+1）=x2-3x-2，求f（x）。解：由于f（x+1）不改变f（x）的次数，所以f（x）为一元二次函数，可设f（x）=ax2+bx+c,则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+2ax+a+bx+b+c=ax2+（2a+b）x+c+b+a=x2-3x-2由已知条件得出a=1，b=-5，c=2故有f（x）=x2-5x+2。此类函数方程的解法主要是根据题意先设出函数的解析式，利用已知函数等式括号中的多项式代换所设方程中的自变量解出一个表达式，利用同一种等式系数相等解系数。注：此类函数方程还可以用配方法解，读者可以试试。三、换元法（参数方程法）这种方法是将函数方

3、程的变量进行适当的变量替换，求出方程的解的方法。例：已知f（sinx-1）=cos2x+2,试求f（x）。解：令t=sinx-1,所以-2wt00。所以sinx=t+1?圯sin2x=（t+1）2。因为cos2x=1-sin2x，所以cos2x=1-（t+1）2=-t2-2t。所以f（t）=-t2-2t+2,-2<t<0O所以f（x）=-x2-2x+2,-2<x<0o四、赋值法当所给出的函数方程含有两个不同的变量，一般可以设法对这两个变量交替用特殊值代之，然后再设法求出未知函数。例：试求所有定义在正整数集上且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，且f（1）=1的函

4、数f（x）。解：令y=1得：所以f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=4，f（n）-f（n-1）=n。上述各等式叠加可得：f（n）-f（1）=2+3+4+所以f（n）=f（1）+2+3+f=1+2+3+n本题中使用了求解函数方程的另一种方法叠加法，虽不常见，但应引起读者重视，不可掉以轻心。五、数学归纳法当所给出的函数是与自然数有关的一个递推公式时，我们可以借助于自然数n的列数，猜想出所求函数的结构规律，再进一步用数学归纳法来证明所探索出的结论。例：设函数f（n）=2n+1,g（n）=3n=1fg（n-1）n>2,其中nN*,试求g（n）。解：由题意可知，g（

5、1）=3=22-1，g（2）=fg（1）=f（3）=7=23-1，g（3）=fg（2）=f（7）=15=24-1，所以我们猜想g（n）=2n+1-1,nGN*。现在我们就用数学归纳法证明此结果。n=1时，g（1）=22-1=3,所以n=1时成立；令n=k时成立，即g（k）=2k+1-1；当n=k+1时，g（k+1）=fg（k）=f（2k+1-1）=2（2k+1-1）+1=2k+2-1故由数学归纳法得证：g（n）=2n+1-1,nGN*。本题主要注意点是：当我们用猜想的方法得到公式后，并不能直接得到本题答案，而应该用数学归纳法给予证明，证明后才能下结论，从而得到最后结果。读者一定要注意。由于函数方程的形式多样，其解法也灵活多变，有定义法、解方程组法、代换法、数学归纳法、待定系数法、赋值法、柯西法、转化法、微分法和递推法。加之近年来各种考试中经常遇到与函数方程有关的问题，或直接求解某一给定的函数方程，或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质，这类问题通常没有通法，解法因题而异，思路灵活而奇趣横