上海市2017年高考数学模拟试卷(3)(含解析)

1、精品文档，欢迎下载!如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快!2017年上海中学高考数学模拟试卷(3)一、填空题1+21 , 一1 .复数三U二的虚部是3-412 .已知函数？(2x)的定义域为-1, 1,则函数y=? (log2x)的定义域为 3 .自圆x2+y2=4上点A (2, 0)引此圆的弦 AB,则弦的中点的轨迹方程为 .4.已知函数flighlh 式叫0,(环0)则方程f2 (x) - f(x) =0的实根共有35 .在ABC中，若贝哈的取值范围为 .6 .已知函数 尸一一对定义域内的任意 x的值都有-1wf (x) W4,则a的取值范围篁十1为A在直线 mx+ny+1

2、=0上，其中 m?n 0,7 .函数f (x) =a (x+2) 2-1 (aw0)的图象的顶点1 2 ,则上的最小值为m n8 . 一个四面体的各个面都是边长为，亏，近5，d运的三角形，则这个四面体体积 为.9 .考察下列一组不等式：23+5322?5+2?52, 24+54 23?5+2?53, 25+55 23?52+22?53,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特 例，则推广的不等式可以是 .10 .关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一个模为1的复数根，则实数 a的所有可能值为.11 .已知不等式占+七二二101式31)十曾对

3、大于1的自然数n都成立，则 n+1 n+2 2n 12 a 3实数a的取值范围为.12 .在一个给定的正 (2n+1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为 .、选择题13-已知心工1尸5戈-/-4 , B=k |/-2口乂+20,若AljB=，那么实数a的 取值范围是()A. ( - 1, 2)B. C (T,竿)D, (-1,竿14.已知 ABC的三个顶点 A B C及平面内一点 P满足血+元中正=7E，则点PAABC 的关系为()A. P在 ABC内部B. P在 ABC外部C. P在AB边所在直线上D.

4、P是AC边的一个三等分点15 .若 a1, b1,且 lg (a+b) =lga+lgb ,贝U 1g (a1) +lg (b1)的值()A.等于1B.等于1g2 C.等于0 D,不是常数16 .对ba0,取第一象限的点Ak(xk,yk)(k=1, 2,，n),使a,xi ,X2,，xn, b成等差数列，且a,y1,y2,，yn,b成等比数列，则点Ai,A2,，A与射线L： y=x (x0)的关系为()A.各点均在射线 L的上方B.各点均在射线 L的上面C.各点均在射线 L的下方D.不能确定三、解答题17.已知函数siiry j二-2员哈与 g (x) =cos2x+a (1+cosx)-co

5、sx - 3的图象在(0,兀)内至少有一个公共点，求 a的取值范围.18.在 ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且8sBcosC(1)求角B的大小;(2)若 b=/13, a+c=4,求 a 的值.19 .如图，在四棱锥 P- ABCD43, PAL底面 ABCD AB AD, AC CD Z ABC=60 , PA=AB=BCE是PC的中点.(1)求异面直线 CD和PB所成角大小；(2)求直线CD和平面ABE所成角大小.20 .设关于x的方程2x2- ax - 2=0的两根分别为 a、3 ( a V 3 ),函数 f二4：电 x +1(1)证明f(X)在区间(a, 3)上是增函

6、数；(2)当a为何值时，f (x)在区间”，3 上的最大值与最小值之差最小.21 .现有流量均为 300m3/s的两条河流A, B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别 为2kg/m3和0.2kg/m3.假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100前的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从 B股流入A股100m3水并混合，问从第几 个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.01kg/m 3.(不考虑泥沙沉淀).22 .已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，Fi、F2分别为左、右焦点，椭圆的

7、一个顶点与两焦点构成等边三角形，且|FF*2 .(1)求椭圆方程；(2)对于x轴上的某一点T,过T作不与坐标轴平行的直线 L交椭圆于P、Q两点，若存在 x轴上的点S,使得对符合条件的 L恒有/ PST=/ QST成立，我们称S为T的一个配对点， 当T为左焦点时，求 T的配对点的坐标；(3)在(2)条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？精品文档，欢迎下载！52017年上海中学高考数学模拟试卷(3)参考答案与试题解析一、填空题1 .复数3三的虚部是 .3-41-5一【考点】A2:复数的基本概念.的虚部.【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轲复数，化简复数为a+bi的形式，即可求出复数l+2i Q+

8、2DC3+先)-5+LOi1. 12= = ； + 3-41 (3-41)(34415 255 5 一 ,2复数的虚部为：二;故答案为:2 .已知函数？(2x)的定义域为-1,1,则函数y=? (log 2x)的定义域为 J”, 4_. 【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】由函数？(2x)的定义域为-1,1,知白2式2.所以在函数y=? (Iog2x)中,I15工2,由此能求出函数 y=? (log双)的定义域.【解答】解：二函数？(2x)的定义域为T, 1,- 1x 1,2k2.，在函数y=? (log2x)中,-扬CM 4.故答案为：6，.3.自圆x2+y2=4上点A (2, 0)

9、引此圆的弦 AB,则弦的中点的轨迹方程为(x- 1) 2+y2=1,【考点】J3P坐标代【分析】 设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上,入圆方程，求出中点的轨迹方程.【解答】解：设AB中点为M (x, y),由中点坐标公式可知，B点坐标为(2x-2, 2y).B 点在圆 x2+y2=4 上，(2x-2) 2+ (2y) 2=4.故线段AB中点的轨迹方程为(x - 1) 2+y2=1.不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为(x-1) 2+y2=1, (xw2)故答案为：(x-1) 2+y2=1, (xw2).4.已知函数11g团I,田。) 0, (x=Q)则方程f2 (x)

10、- f (x) =0的实根共有【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】 求解方程 f2(x) - f (x) =0,可得 f (x) =0或f (x) =1 .画出函数f llg k I I r 叫0, ()的图象，数形结合得答案.【解答】解：由f2(x) - f(x)=0,得 f(x)=0 或 f(x)=1 .画出函数)=?” I;的图象如图,由图可知，f (x) =0可得x有3个不同实根;f (x) =1可得x有4个不同实根.方程f2 (x) - f (x) =0的实根共有7个.故答案为：7个.精品文档，欢迎下载!5.在的取值范围为（1, 3）【考点】HQ正弦定理的应用.【分析】根

11、据正弦定理可得到cbginC -sinB,结合/ C=3/ B根据两角和的正弦公式和二倍角公式可得整理得到?4.为-1,再由/ B臼q范围即可得到上的取值范围. b【解答】解：根据正弦定理,sinC sinBc sinC付b -sinBsin3B.=sin2BcasB+cos2Bs inB=2sinBcasBcosB+ccs2BsinBsinBsinEsinE,1)=4cos 2B 1由 / C=3/ B, 4/BV180。,故 0 / B口所以A- a-l 60AJ =a2-160不等式的判别式小于等于 0即得到答案.【解答】解：根据题意得:1簧4恒成立,所以解得-4a 4+2 ,但二=8,

12、m n m a mn Vmn当且仅当 工二二时，等号成立，m n故答案为：8.8.一个四面体的各个面都是边长为 瓜 V10 * W四的三角形，则这个四面体体积为2 .【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】 考虑一个长方体 ABCH ABGDi,其四个顶点就构成一个四面体ABCD恰好就是每个三角形边长为我，VIo，V15,利用长方体的体积减去 4个角的体积即可.【解答】 解：设长方体 ABCD- AiBiCiD 三棱分别是a, b, c,于是列出方程 a 2+b2=5, b2+c2=10, c2+a2=13 于是解出 a 2=4, b2=1, c2=9, a=2, b=1, c=3,即对

13、于三棱分别为1, 2, 3的长方体 去掉4个角 就得到题中要求的四面体.于是，所求四面体体积为：长方体体积-4个角上直四面体体积=1X2X 3-4XX X1X2X 3=2.32故答案为：2.9.考察下列一组不等式：23+53 22?5+2?52, 24+54 23?5+2?53, 25+55 23?52+22?53,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是2n+5n 2n k5k+2k5n k, n-3, 1 w kw n .【考点】F1:归纳推理.【分析】 题目中的式子变形得22+1+52+122?51+21?52 ( 1)

14、 23+1+53+123?51+21?53 (2)观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+2名“+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n2n-k5k+2k5n- k,n3, 1 k22?51+21?52 (1)精品文档，欢迎下载！23+1+53+123?51+21?53（2）观察（1） （2） （3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n2nk5k+2k5nk, n3, 1 k2n-k5k+2k5n-k, n3, 1k 0,得 aw - 8 或 a0,将x=1代入方程，得 2+3a+a2 - a=0,即a2+2a+2=0, a无实根；将 x=-1 代入方程，得 2-3a

15、+a2-a=0,即 a2- 4a+2=0,得 a二2J（2）若方程有共轲复数根，则可设两根为cos 0 +isin 0、cos 0 - isin 0 , =9a2-8 (a2-a) =a (a+8) 0,得-8vav0 由韦达定理,a,有 cos 0 +isin 0 +cos 0 isin 0 =2cos 0 =-得 cos 0 = a,(cos 0 +isin 0)(cos 0 - isin 0) =cos2 0 +sin 2 0 =1(a2- a),即（a+1）(a-2)=0, ? a=2 或 a= T,a=- 1 时,cos 0 =1；a=2不在-8vav0的范围内，舍去.9a= - 1

16、故答案为:a二2J或-111 .已知不等式-一条十口弓十春对大于1的自然数n都成立，则 nri n+z zn lz 口o精品文档，欢迎下载!实数a的取值范围为 19十+七4，(n2)贝U S n+17r十七4十n+1 n+2 2nn+2 2n 2n+l 2n-h2Sn+1Sn= 一一2ri4-l 2n+2 n41 2n+l 2n+20,，Sn随n的增大而增大.当n=2 时,Sn取得最小值，$2二4 三 3 4 12，得-；=1口目直（01）+3恒成立. 移向化简整理得log a （aT） v - 1. -L 士 J.上J根据对数的真数为正得：a- 10, a1,再根据对数函数单调性得a - 1

17、 , a2 - a - 1 0,联立解得一故答案为：1 a 212.在一个给定的正 （2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为尹冬 .4n-2 【考点】C7:等可能事件的概率.【分析】从（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有Gn+11每种取法等可能出现，属于古典概率，正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部，若第一个点取的就是点 2n+1,对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点 1,第二 个点取的是点2第二个点取的是 mi第二个点取的是点n,再考虑第三个点的所有

18、取法，利用古典概率的公式可求.【解答】 解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点 2n+1 ,顺时针方向的下一个点为点1,则以时钟12点和6点连线为轴，左右两边各有n个点.多边形中心位于三角形内部的三角形个数a:假设第一个点取的就是点 2n+1,则剩下的两点必然在轴线的一左一右.#精品文档，欢迎下载!对于第二个点取的是点1,对于第二个点取的是点2,第三个点能取点 n+1、点n+2,有2种对于第二个点取的是点m,第三个点能取点n+1、点n+2点n+m有m种对于第二个点取的是点n,第三个点能取点n+1,点n+2点2n,有n种=lg113一共 1+2+n=L (n+1) n 种 如果第二个点取的是点 n

19、+1到点2n,可视为上述情况中的第三个点.所以 a= (n+1) nx(2n+1) =1- (2n+1) (n+1) n6一共可构成三角形个数b=9 (2n+1) n (2n-1).P=3 TiCn+1) (2n+l)(2n+l)故答案为:4n-2二、选择题13 .已知 &二& I产53r -J，BMx |-，若&UB，那么实数 a 的 取值范围是()A. ( - 1, 2)B. 2, C I，y-) D.(T,早【考点】1C:集合关系中的参数取值问题.【分析】由题意，可先化简集合 A,再由AU B=A得B? A,由此对B的集合讨论求a,由于 集合B可能为空集，可分两类探讨，当B是空集时，与B

20、不是空集时，分别解出a的取值范 围，选出正确选项【解答】解：由题意，&二反I尸击& 11 W 4,由 AU B=A得 B? A又 B=x|x 2 - 2ax+a+2 0当B是空集时，符合题意，此时有 =4a2-4a -80当B不是空集时，有，1注07、16-Ma+20综上知，实数a的取值范围是C-L 47故选D14 .已知 ABC的三个顶点 A、B C及平面内一点 P满足向+FE+PC = Ab，则点P与4ABC的关系为（）A. P在 ABC内部B. P在 ABC外部C. P在AB边所在直线上D. P是AC边的一个三等分点【考点】9V:向量在几何中的应用.【分析】利用向量的运算法则将等式变形，

21、得到正二2族，据三点共线的充要条件得出结论.【解答】解：pa+pb+pc=IE,P是AC边的一个三等分点.故选项为D15.若 a1, b1,且 lg (a+b) =lga+lgb ,贝U 1g (a1) +lg (b1)的值()A.等于1 B.等于1g2C.等于0 D,不是常数【考点】4H:对数的运算性质.【分析】 由 lg (a+b) =1ga+1gb ,知 lg (a+b) =1g (ab) =1ga+1gb ,所以 a+b=ab,由此能 求出 lg (a1) +1g (b1)的值.【解答】解：lg (a+b) =1ga+1gb , lg (a+b) =lg (ab) =lga+lgb ,

22、 a+b=ab, 1. lg (a 1) +lg (b1)=lg (aT) x ( b- 1)=lg (ab - a - b+1)=lgab (a+b) +1=lg (abab+1)=0.故选C.16.对 ba0,取第一象限的点A(xk,yk)(k=1, 2,，n),使 a,xi, x2,，xn,b成等差数列，且a, y1, y2,，yn, b成等比数列，则点 A, A2,，A与射线L： y=x (x0)的关系为(A.各点均在射线L的上方B.各点均在射线 L的上面C.各点均在射线L的下方D.不能确定【考点】8M等差数列与等比数列的综合.【分析】 先由等差数列的通项公式，求出k(b-a)xk=n

23、+1,再由等比数列的通项公式，求出yk=a (且)nX ,最后作差即可证明各点均在射线 aL的下方【解答】 解：依题意，设数列Xn的公差为d,由 b=a+ (n+1) d,得 d3-1n+1Xk=a+kd=a+k(b-a)n+1设数列yn的公比为q,由b=aqn+1,得. yk Xk=ak(k-a)n+1各点Ak均在射线L： y=x (x0)的下方故选C三、解答题17.已知函数siiry j二二-2员吟与 g (x)=cos2x+a (1+cosx) - cosx-3 的图象在(0,内至少有一个公共点，求 a的取值范围.【考点】3R函数恒成立问题.【分析】要使f (x)与g (x)的图象在(0

24、,兀)内至少有一个公共点可转化成f (x)=g精品文档，欢迎下载!（x）在（0,兀）内至少有一个解，然后根据三角函数公式进行化简整理，将 a分离出来,求出另一侧的取值范围即可求出所求.【解答】解：.函数sinf(x)=与 g (x) =cos2x+a (1+cosx) cosx - 3 的图象在192sin-（0,兀）内至少有一个公共点,即sin=cos2x+a (1+cosx)cosx - 3在（0,兀）内至少有一个解5 x- sin2二二2sincos 2x+a(1+cosx) cosx 33l- 2cos-z-xsinx=2sin2cosfxcoscos 2x+a (1+cosx) -

25、cosx - 3 =cos2x+a (1+cosx) - cosx - 3 cos2x+cosx=cos 2x+a (1+cosx) - cosx - 3.a= (1+cosx) +- 1+COSM令 1+cosx=t , t C (0, 2) .a2 ，a的取值范围是2 , +8） 18.在 ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且二=-77*.cosC（1）求角B的大小；（2）若 b=/13, a+c=4,求 a 的值.【考点】HR余弦定理；HP正弦定理.【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0,即可得到cosB的值，根

26、据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到 b2=a2+c2- 2accosB,配方后把b, a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值.& b 【解答】 解：（1）由正弦定理得 、一 口一 , =2R得sinA sinB sinCa=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC,代入星=_sinB_ cosC白 inC即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0 ,化简彳导:2sinAcosB+sin (B+C =0,- A+B+C=7t , .sin ( B+。=sinA ,1- 2sinAcosB+

27、sinA=0 ,sinA w 0,cosB= 一2，2又角B为二角形的内角， B=;J Jr(2)将 b=7T，a+c=4, B=,J代入余弦定理 b2=a2+c2 - 2accosB,得13=a2+ (4 - a) 2- 2a (4- a) cos ,a2 - 4a+3=0,a=1 或 a=3.PA=AB=BC19 .如图，在四棱锥 P- ABCM, PAL底面 ABCD AB AD, AC CD /ABC=60 ,E是PC的中点.(1)求异面直线 CD和PB所成角大小；(2)求直线CD和平面ABE所成角大小.【考点】MI:直线与平面所成的角；LM异面直线及其所成的角.【分析】 分别以AB

28、AD, AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(1)设异面直线 CD和PB所成角为“，用向量表示 CD和PB,再利用公式可求.(2)先求平面ABE的法向量，再利用公式求解.【解答】解：由题意，分别以 AB AD, AP为x轴，y轴，z轴.设PA=a,则P(0 0, a), B(a 0, 0), C借, ：1 0), 口3 2噂宝,0), 国小，募) 匕2LJTi3乙(1)设异面直线 CD和PB所成角为acos Cl =，异面直线CD和PB所成角为3rx(2)设直线CD和平面ABE所成角为3PA=AB=BC /ABC=60 ,故 PA=AC E 是 PC的中点，故 AE PC,PA1底面 AB

29、CD CDL PA又 CDL AC PAA AC=A 故 CDL面 PAC AE?面 PAC 故 CDL AE.从而 AE面PCD故 AE PD.易知 BAI PD,故PD面 ABE:而=（O. 怨 -a）,一 十V?直线C/口平面ABE所成角为arcsin-.20 .设关于x的方程2x2ax2=0的两根分另1J为 “、3 (”3),函数f6)二F- x +1(1)证明f (x)在区间(a, 3)上是增函数；(2)当a为何值时，f (x)在区间”，3 上的最大值与最小值之差最小.【考点】3W二次函数的性质.【分析】(1)设 (x) =2x2 - ax - 2,则当a x 3时，(x) 0,利用

30、f ( x)的符号进行判定函数的单调性即可； r -641(2)运用万程的根，求得 f ( a ) ?f ( 3 ) 口 = - 40,最小值 f (a) V 0,而 f (a) ?f (3) =- 4,则当 f (3)=-f (a) =2时，f (3) - f (a)取最小值，从而得到结论.【解答】 解：(1)证明：设 (x) =2x2-ax-2,则当a x 3时，(x) 0,二函数f (x)在(a, 3)上是增函数.(2)由关于x的方程2x2ax 2=0的两根分另1J为 “、3 (”0,最小值f ( a ) v 0, 当且仅当 f (3) =-f (a) =2 时,f (3) f (a)

31、=|f (3) |+|f(a) | 取最小值 4,此时 a=0, f ( 3 ) =2.当a=0时，f (x)在区间”，3 上的最大值与最小值之差最小.21.现有流量均为 300m3/s的两条河流A, B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别 为2kg/m3和0.2kg/m3.假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100吊的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从 B股流入A股100m3水并混合，问从第几 个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m 3.(不考虑泥沙沉淀).【考点】

32、8B:数列的应用.【分析】我们设第n个观测点A股水流含沙量为an, B股水流含沙量为bn.由已知我们易得an-bn是以abi为首项，彳为公比的等比数列.求出数列的通项公式后，构造不等式，解不不等式，即可得到结论.ankg/m3, B股水流含沙量为bn【解答】解：设第n个观测点A股水流含沙量为 an京(200 %+100打)卷(3%t十Lt )即：an - bn= (an-1 bn-1)an-bn是以ai-bi为首项，上为公比的等比数列.an-bn=1.8?1 n-1 年）解不等式1.8?v 10得2n 1180,又由n正整数,因此，从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于0.01kg/m3 .22.已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且| FF*2 .(1)求椭圆方程；(2)对于x轴上的某一