专题09一元二次方程全章复习(知识点串讲)(解析版)

1、专题09 一元二次方程全章复习知识框架一元二次方程的概念元二次方程的一皎形式 一元二双程的有关概念 一一元二次万程的集元二次万程根的更要造论亘技开方法一元二次方程的解法配方法公式法因式分解法二方程全章复习一元二次方程根的判发式及根与系数的关系松的判罚式次方程的根与案数的关系利甫方程解决实际可欲的关键髭寻偿呈关系.解决应月题的一股步爰一元二次方程解应用期的T步骤一平均变化空河题一元二劝程应用预的导谦 一利息同转 利润（捐匍间s重难突破一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次 方程.备注：识别

2、一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次 数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如理炉+87 +二二。伍=0）,这种形式叫做一 元二次方程的一般形式.其中以彳是二次项，仪是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数：C是常数项.备注：（1）只有当口工0时，方程q/十6工十。二0才是一元二次方程:（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉 前面的性质符号.3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两

3、边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4. 一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=O,则一元二次方程?+独+。=0（。工0）必有一根行1；反之也成立，即若x二l是一 元二次方程a/ +岳c = 0（。）的一个根，则a+b+c=O.（2）若a-b+c=O,则一元二次方程+岳r + c = 0（a0。）必有一根x=-l；反之也成立，即若x=-l是 一元二次方程颂2+6;十 C=0（。H 0）的一个根，则a-b+c=o.（3）若一元二次方程&/+船:+二=0（&=0）有一个根跖0,则c=0：反之也成立，若c=0,则一元二 次方程+岳：+ c = 0（。）必有一根为0.

4、例1. （202。.安徽省桐城市黄岗初中初二期中）已知关于x的一元二次方程/+3工+ ” = 0有一个根是-2, 那么。的值是（）A. -2B. -1C. 2D. 10【答案】C【解析】根据题意知I，x=-2是关于x的一元二次方程x2+3x+a=O的根，（-2） 2+3x （-2） +a=O,即-2+a=0,解得，a=2.故选：C.练习1.（2019.安徽省初二期中）一元二次方程2x?+l=3x化为一般形式后，常数项为1,二次项系数和一 次项系数分别为（）A. 2, -3B. 2, 3C. 2, 1D. 2x - 3x【答案】A【解析】原方程可化为2/3x +1=0,二次项系数为2, 一次项系

5、数为-多 故选A.练习2. （2019利辛县阐睡金石中学初二期中）已知方程Y 7x+15 = k的一个根是2,则我的值是（）1 . -5B. 5C. -3D. -H【答案】B【解析】解：当x=2时，227x2 + 15 = 4解得k=5故选：B.二、一元二次方程的解法2 .直接开方法解一元二次方程：（1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.（2）直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：形如关于x的一元二次方程/ =2，可直接开平方求解.若（2 0，则穴=6 ；表示为二及 二一员，有两个不

6、等实数根：若a=0 ,则x=0：表示为不二超二0 ,有两个相等的实数根：若a =加g = a m0,可直接开平方求解，两根是-K + Jm xl =, x2 =.“ aa备注：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数 的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.3 .配方法解一元二次方程（1）配方法解一元二次方程（1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（I+冲之 = pp 0）的形式，再利用直接开平方法求 解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a22ab-b2 = abf .（3）用

7、配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为+於+c=0（。工0）的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1：方程两边同时加上一次项系数一半的平方：再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解：若右边是一个负数，则判定此方程无 实数解.备注：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式/2H，+ =3万了（2）配方法的应用1 .用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添

8、项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比 较出大小.2 .用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定 字母的取值.3 .用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4 .用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也 有着广泛的应用.备注：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等 关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.3、公式法解一元二次方程（1）

9、一元二次方程的求根公式一元二次方程公，+陵+。=0（。工0）,当4=/一4幽NO时，=二& 士/投二4二？.2a（2） 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：A = / - 4数.当&-4皈 0时，原方程有两个不等的实数根小 二当A =a2 -4以c = 0时，原方程有两个相等的实数根外=一丁： 2a当A -4帖0时，原方程没有实数根.（3）用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于X的一元二次方程+为:+C=0（。工0）的步骤:把一元二次方程化为一般形式：确定a、b、c的值（要注意符号）；求出4ac的值：若/ - 4&C之。，则利用公式工二二$ 、/吐4竺求出原方程的解: 2a若1

10、- 4数 0，则原方程无实根.备注：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的 选择.b A 4ac（2） 一元二次方程以+ C = O（WO）,用配方法将其变形为：* + ）2= 2a 4（r当 = -4“c0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根：公2 =当 = -4ac = 0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根：入=一二 2a当 = WcvO时，右端是负数.因此，方程没有实根.4、因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0：（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0

11、,得到两个一元一次方程:（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.备注：（I）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0：（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0：方程两边不能同时除以含 有未知数的代数式.例1. （2017宣城市第六中学初二期中）用配方法解方程：炉4x + 2 = 0,下列配方正确的是（）A. （x-2）2 =2

12、B. （x+2）2 =2 C. （x-2）2 =-2 D.（1一2尸=6【答案】A【解析】把方程x2-4x+2=O的常数项移到等号的右边，得到方程两边同时加上一次项系数一半的平方得到x2_4x+4=-2， 配方得 故选:A.练习1. （2018.四川省初三期中）一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（）二3)B. 2 X 4)1163 rC. x = 162)D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】2x2-3x+l=02.2x2-3x=-lZ.3 9 1 9 一 x- - x+ _2 162 163 , 1_x 4 1631二一元次2足38+1=0化为(x+a二?

13、=b的形式是： X-二2= =二416故选A二练习2. (2019.合肥市第四十五中学初二期中)方程2X(X + 1) = 3(X + 1)的根为()3,t 23A. X = -B. X = -C. Xi =-l , X1=- D. Xi =-l , X、=一2- 3- 2【答案】D【解析】解：移项，得：2x(x+l)-3(x+l) = 0,原方程可变形为:(2x-3)(%+l) = 0.:、2工一3 = 0或1+1 = 0,=1故选D.例2. (2020.安徽省桐城市黄岗初中初二期中)解方程： Z1x2-6x+3=0匚2二 4(x-1) = x(1) 【答案】(D玉=3 + #,=3 痣；二

14、2二%=1，=4/- 6x + 3 = 0x2 -3x + 9 = 6(x-3)2 =6x-3 =：.X = 3 + y/bx1 =3- /6【解析】4(X-I) = x(x-1)4(x-l)-x(x-l) = 0二2 二(x-l)?(4-x) = 0A-j = 1x2 =4练习1. (2018.安徽省初二期中)解方程：1(y + 2)2-6 = 0.【答案y = 2/J_2, 2 = 2/3 2.【解析】解：6，+ 2-6 = 0,(y+2) 2=12,y + 2 = 2/3 .y=26-2, y2=-2y/3-2.练习2. (2019.利辛县阐晴金石中学初二期中)按要求解方程:(1) 23

15、x + l = 0 (公式法)(2) x2 + px + q = 0 (240配方法)(3) (2x + 3)2=Y-6x + 9 (因式分解法)【答案】（1）$=1，%,=-：（2）（+x =士正三；（3）玉=0或羽=621222【解析】解：（1） = 2,8=-3, c = 。2一4火、=9-8 = 103-,32-4x2x1 = 1272-23 + 73-4x2x1 ,$ = 12x2解词 X = 1，Xy=- - 2(2) x2 + px = -q丫_:46/A十2)4解得X =-P +JpL4 X4g222(3) (2x + 3)2 =x2 -6x + 94x2 +12x + 9 =

16、 x2 -6x + 93x2 +18x = 0x(x + 6)= 0解得M=0或=-6 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1、一元二次方程根的判别式（1） 一元二次方程根的判别式元二次方程+ c = 0（。W 0）中， 一4ac叫做一元二次方程ad +x + c = 0（“ H 0）的根的判别式，通常用来表示，即 = 24ac（1）当（）时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=（）时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当（）时，一元二次方程没有实数根.备注：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定c的值：计算的值：根据/-4火，的符号判

17、定方程根的情况.（2） 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 a. +bx + c = 0（“，0）中，（1）方程有两个不相等的实数根二0：（2）方程有两个相等的实数根二/r-4,二0；（3）方程没有实数根二-4ac 0.备注：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条 件：（2）若一元二次方程有两个实数根则b2-4ac0.2、一元二次方程的根与系数的关系（1） 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程+ +。= 0（“*0）的两个实数根是玉，z ,“ /bc那么 X + X?=，_ 注意它的使用条件为aHO, A 20.也就是说，对于任何一个有

18、实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数 所得的商的相反数：两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.（2） 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根：(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数：(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于右、之的对称式的值.此时，常常涉及代数式的一些重 要变形；如:x； = (x, +x2)2-2xix2 ；L_L=山：X x2 x x2内占2 =%(玉 +公)：卫 + 土 =玉 +、2 _(K + X2) - 2xrq .x x2 xx2xx2(X 一七

19、)2 = (M +占)2 - 4内:(X, +k)(x2 +k)=刻入2 +k(M +x2) + k2 ；lx】一工2= 7(X1 +x2)2 -4X|X2 ： J_ + J_ = X； + =(.+)22再修.X； X； xx；(Xx2)2X -x2 = yj(x -X2)2 = A/(X1+X2)2-4x1X2 :I Xj I +1 x2 1= J(l % I +1 & I)=Jx； + x； +21 % / =+ X? J -2X4 + 21 p +. I.(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程：以两个数为、句为根的一元二次方程是- - & +心以=0.(5)已知一元二次方程两根满足

20、某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程4犬+以 +。= 0（。0）的两根为再、与，则当，（）且占0时，两根同号.当，（）且王。，$+&0时，两根同为正数;当，（）且玉W。，$+&（）且2 V。时，两根异号.当（）且玉W。时，两根异号且正根的绝对值较大：当（）且王/0,芯+-1B.”-1 且厚0C. klD. AVI 且际0【答案】B【解析】解：关于x的一元二次方程1=0有两个不相等的实数根，”0”0：.0A = 4 + 4Zr 0解得k - 1且后0.故选：B.练习L （2019.合肥市第四十五中学初二期中）已知，关于X的一元二次方程/-21+ 7-1=0有两个不相等的实数根.（1）求，的取值范围；（2）如果/”为非负整数，且该方程的根都是整数，求？的值.【答案】/W0,故？的取值范围为?2：(2)由(1)得：m2 m为非负整数, /. ? = 0 或 1,把m = 0