n阶行列式的若干计算方法

1、0 1 02 0 0M M M0 0 00 0 n解Dn中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a2n 2 L an 11annn !n阶行列式的若干计算方法n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行展开 完全展开式)外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选 用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法， 并举例说明。1 .利用行列式定义直接计算0 L0 L例计算行列式Dn Mn 1 L0 L18(n 1)(n 2)例：一个n阶行列式Dnaij的兀素满足aijaji,i,j 1,2,L ,n,则

2、称Dn为反对称行列式，证明：奇该项列标排列的逆序数 t (n1 n 21n)等于(n 1)(n 2)故 Dn ( 1)2n!.2 .利用行列式的性质计算数阶反对称行列式为零证明：由aij aji知aiiaii ，即 aii0,i1,2,L , na12a120a13a1n故行列式Dn可表示为Dna13La23La230La2na3nL,由行列式的性质A A ,0a12a13La1na120a23La2nDna13a230La3n(1)nLLLLLa1na2na3nL0当n为奇数时，得Dn=-Dn,因而得Dn = 0.a2na1n0&2a13La1n&20a23La2na13a2

3、30La3n(1)nDnLLLLLama2na3nL0L03 .化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三 角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往 往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形

4、行列式。1123133795例1计算行列式D204213571464410102解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算.231321431541D =10000120120210231022341 5322112020001021002340521-12-31020 4 -10 0-10-2001-12002 2 -2112310 304152 40 0102 0 00100 002611231020410 01020 00100 00061 2 116121 a1 a 例2计算n阶行列式Da1La2a3L1 a2a3La21 a3 LLLLa2a3L解这个行列式

5、每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此2, 3,，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1.n列之和全同.将第i 2,L ,n1aia2Lana2a3Lan1a2a3Lan1aia2Lan1 a2a3Lann11 a2a3Lan1aia2Lana21a3Lan1ai1a21a3Lani 1LLLLLLLLLL1aia2Lana2a3L1 an1a2a3L1 an1L1 iDi 2,L ,n例3计算n阶行列式aia21a30an0aiglai解：这个行列式的特点是每行（列）行列式不变，得(n (n(nL1)b1)b1)ba例4:(n1)b(n 1)

6、b元素的和均相等，根据行列式的性质,把第2,n列都加到第1列上,a (n1)ba(n1)b(ab)n 1浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值:Dn分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有 n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第 n-1列开始乘以一1加到第n歹U,第n-2列乘以一 1加到第n-1歹U, 一直到第一列乘以一1加到第2歹U。然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多

7、了。解：111L211LDn311LMMMn 1 n 1 L(i 2,L ,n)11L0 0 L0 0 LM Mn 0 L110 nn 0M M00(i 2，L ,n) 11一。一rnn12Mn 20 L0 LM0 L00 n M000 0nM 01 n(n 1)n 200 M0n0 L0 LMn L0 L0 nn 0M M00001 n(nL ( n)n 1 ( 1)23 nn 1n 22n(n 1)14.降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点,先利用列式的性质化

8、简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例1、计算20阶行列式D20123L212L321LM M M20 19 18 L18 19 2017 18 1916 17 18M M M321分析这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20! *20-1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。111L111122132LL181719182019211L111Ci 1Ci311L111D20321L161718(i 1,L19)MMMMMMMMMMMM1911L

9、111201918L3212011L111注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差解:1,因此，可按下述方法计算:111L302L(i2,L ,20) 400Lrir1MMM200 0 L210 0 La00L0a0L例2计算n阶行列式Dn00aLMMM000L100L解将Dn按第1行展开Dn20 1-1821 ( 1)20 10 00 0M Ma 00 aa 0 0 L0 a 0 La 0 0 a LM M M1821 21)n 10 L a LM0 L0 L00Ma0nn 1 n M 2 n n 2a ( 1) ( 1) a a a一D例3计算n (n>2)阶行列式a0解按第一行

10、展开，得 D a l0a00L10 L a LL L0 L00La0L0aLL L L00L010000L L0 a0000L L0 a再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到Dn a0a0L00aL1 n1 LLLL000L100L1 nn 1 1 n 2 n n 2 n 2211 a a a a a 15.递(逆)推公式法：递推法是根据行列式的构造特点，建立起0 0La05与 % 的递推关系式，逐步推下去，从而求出Q的值。有时也可以找到 A与鼻Q的递推关系，最后利用 A ,2得到 Q 的值。注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话, 使用此方法。即很难找出

11、递推关系式，从而不能1例1计算行列式Dn000解:将行列式按第n列展开，有DDn 工1(DmD02), DDn 1 (Dn 100000100.00001n()Dn 1Dn2Dn 2),得 Dn Dn 12(Dn2 Dn 3)仃？D1)同理得 Dn Dn 1Dnaxxyax例2计算Dny y ayyy解Dna yx0a0yL L0yx L x L a L L L y L11xxxLa0a x(n1)xxxayxxyaxyyaLLLyyy00(a y)Dn 1 y 1LLLLLLLLLLL同理 Dn (a x)Dn 1x(a y)n 1联立解得DnxxxLa00_n 10 (a y)Dn 1 y

12、(a x)La xx(a y)n y(a x)n,(x y)x y当x y时,Dn (a x)Dn1n 12 、x(a x) (a x) DnL L L L (a、n 2 、x)D2(n 2)x(ax)n 12x(a x)(an 1x)(n 1)x例3计算n阶行列式x10L00x1L000xL0LLLLL000Lxanan 1an 2La2得:a1000L1Dn解首先建立递推关系式.按第一列展开,DnxxDm1n1xDn 1 an ,an1an 2an 3这里Dn 1与Dn有相同的结构，但阶数是1的行列式.现在，利用递推关系式计算结果.对此，只需反复进行代换，得:22Dn x xDn 2 an

13、 1 an x Dn 2 & ' & x x口 3 & 2LLn 1-x D1n 2%x2an 2x因D1nn 1x a，故 Dn xaxL anxan.用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的.1时，显然成立.设对 n 1阶的情形结果正确，往证对 n阶的情形也正确.由Dnn 1n 2nxDn 1 an x x a1x L an 2x an 1 an xn 1a1x L an 1xan可知,对n阶的行列式结果也成立.根据归纳法原理，对任意的正整数n,结论成立.例4证明n阶行列式D证明按第一列展开，得D21L0012L0001L00LLLLL00L1000L2100

14、L1200L100L200L1其中，等号右边的第一个行列式是与Dn有相同结构但阶数为00L100L200L11的行列式，记作Dn;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与Dn有相同结构但阶数为 n 2的行列式，记作Dn 2这样，就有递推关系式：Dn 2Dn 1 Dn 2因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的.当n 1时，D1 2,结论正确.当n 2时，D23 ,结论正确.设对k & n 1的情形结论正确，往证 k n时结论也正确.由 Dn 2Dn 1 Dn 2 2n n 1 n 1 可知，对n阶行列式结果也成立.根据归纳法原理，对任意的正整数

15、n,结论成立.例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式:证明：Dnn 1 n 1,其中10 M00 L00L 001L00MM MM00 L 1（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。分析1此式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与D具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：Dn（ + ）Dn1-Dn2这是由Dn-1和D-2表示D的递推关系式。若由上面的递推关系式

16、从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：Dn- DDn 1 一Dn 2=( Dn 1- Dn 2)或 D0Dn 1= Dn 1-Dn 20 1 Dn 2)现可反复用低阶代替高阶，有:Dn-Dn 1Dn 2)=20 2=L = n 2(D2D1) = n 2(Dn 3)= 30 3-D0)2() nL L 同样有:Dn- Dn 1=(Dn 1 Dn 2) =2(Dn 2-=L = n 2(D2D1) = n 2(Dn 3) =3(Dn 3- Dn 4)2() nL L (2)因此当时由（1）（2）式可解得：Dn6.

17、利用范德蒙行列式：根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质一一如：提取公因式；互换两行（列）一行乘以适当的数加到另一行（列）去；）把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。例1计算行列式DX2X1n 1X1XMnX1X22X2n 1X2X2MnX2Xn2 Xnn 1XnXnMn 2Xn解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第 n1行的一1倍加到第n行,便得范德蒙行列式X12X1X22X2Xn2XnMn 1X1Mn 1X2Mn 1Xn(Xi1xj)计算n 1阶行列式Dna1na2na11b1n k

18、a2 b2nan 1Ln 1,an 1bh 1解这个行列式的每一行元素的形状都是n kai次数之和都是n,又因ai0,若在第列式，即n n _D a1 a2 Lnan例3计算行列式解:n 2, 2a1 b1na2Lan 12b21kbi , k 0,1, 2, 1,n)b1a1b2a2bn 1an 1yza1b2a2bn 1anxzxyb1a1b2a2bn 1an 1a1bn 1a2b2 1La 1bn；2,，n.提出公因子nai1< j i V n 1bnbn 1.其中 a1a2L an 1 0 .即ai按降哥排列，bi按升哥排列，且naibiai,则D可化为一个转置的范德蒙行bjaj

19、biajaibj1< j i < n 1xyz(3) (y z)(1)D2 x2y2 z22xy xzyzyyzxzyzz(3) x(1)xy2xx2x2xy yz xz yy2y2xy yz xz zz2zxy yz xz(xyyz xz)(y x)(z x)(z y)111XiX2X n222例4计算行列式DnJ nXiX2X nn 2n 2n 2XiX 2x nnnnXiX 2x n解作如下彳r列式，使之配成范德蒙行列式1111XiX2x ny2222XiX2x nynP(y)=(yXi)(Xixj)n 2n 2n 2n 2i 11 jnXiX2x nyn 1n 1n 1n

20、1XiX2XnynnnnXiX2x nyn易知Dn等于P(y)中yn 1的系数的相反数，而P(y)中yn 1的系数为n因此，D nxk( x i x j )k 11 j i n例5、计算n阶行列式Dn(an1)n1(an2)n 1L(an1)n2(an2)n 2LMMa n 1 a n 2 L11Ln1n 1(a 1)an2n 2(a 1)aMMa 1a11解：显然该题与范德蒙行列式很相似,但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第 n行与第n-1行，n-2行，2行对换，继续仿此作法，直到

21、最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过(n-1) + (n-2) +2+1=n(n-1 ) /2次行对换后，得到11L11n(n 1)Dn ( 1尸(a(an 1Mn 2n 1)n 1n 1)(a(an 2),n 2)(a(a1)1)上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得:n(n 1)Dn ( 1尸n( n 1)(a n i) (a n j) ( 1)丁i n(inj)7.加边法（升阶法）:此法是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求:1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）

22、有一个相同的字母外,也可用于其第列(行)的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。例1计算n阶行列式Dn解:Dnxa1a2ana1La1x a2a2La2ananLanaja1计算(n>2)ana1第i行减第a20Dna2阶行列式解先将Dn添上一行一列,2,ana1Dn 1Dn变成下面的a211阶行列式:a3L1 an,其中 a1a2L an0 .a2Lan显然,Dn1120111L122将Dn1的第一行乘以 1后加到其余各行，得 Dn 1因ai0,将上面这个行列式第一列加第i (i2,DnDn1ai8.数学归纳法:a11)列的a1aia2aia2ai 1倍，得:ana2aia2an是同型的

23、行列式时，可考虑用数学归纳法求之。般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉,这里就不再说了）例1计算n阶行列式Danan 1an 2a2解：用数学归纳法.当n = 2时，D2a2a1假设 n = k 时，有 Dk xk a1xk 1 a2xk 2则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开,_, kDk 1xD k ak 1 x(xk 1a1xak1x由此，对任意的正整数 n,有Dna1 xakak)x(x a1)a

24、23X a21xakakka1x2ak 1xakx ak 12an 2xan 1xancos112cos010000例2计算行列式012cos00Dn0002cos100012cos解：D1 cos ,D2cos2 ,于是猜想Dncosn证明：对级数用第二数学归纳法证明 .n 1时，结论成立.假设对级数小于n时，结论成立.将n级行列式按第n行展开，有cos10 L001 2cos1L002n 1012cos L00Dn 2cosDn 1(1) 1LLLLLL000 L 2cos 0000 L11n 12cos Dn 1(1)2n 1Dc，,、，,、2n 1,n 2 2cos cos(n 1)(

25、 1) cos(n2)2cos cos(n1) cos(n 1) cos sin(n 1) sincos(n 1) cosny。01 五十万 xy 00例3计算行列式口鬟=01 x + y00h naH I I I H000- - xy xy00。1x- y解：门1 二 1门 2 = X +>B =必-Yy + x/猜测：工 "十'一证明：（1） n = 1,2, 3时，命题成立。假设 n<k - 1时命题成立，考察n=k的情形:尤斗y 他O 001 a + >，寸00Q1x + yQQ3比-» 4 8-9 1- ¥-1 9 V1 S &

26、#165;000齐十F 0001彳十了14 000元4y00=a 4力白门-外i n )'i n ),00 r+y xy001 x +23=HZ+工+禁+尸上.劣=（工+的口口 -超口1= 0 +1乂1 +工% -+-* + JQ2 +,7）-（工1，+号心 + J与=/ + *jy + yf故命题对一切自然数 n成立。9.拆开法：拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。a1a2Lan1a2Lana1a2Lan解：Dna1 a22 L%0a22 Lan02 L annM M LMM M LMM M L Ma1a2Lann00L an n00 Lnal 2L n 1 Dn 1 =1 2 LnaiiDnl例2计算