2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明讲义理含解析

1、高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明：第4讲直接证明与间接证明考纲解读1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.（重点）2 .能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：反设；归谬；结论.（难点）3 .综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解 答题中的一问，i3t题难度中等 .|基础知识过关1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等.经 过一系列的推理论证.最 后

2、推导出所要证明的结 论成立从要证明的结论出发. 逐步寻求使它成立的 圆充分条件，直到最后 把要证明的结论归结 为判定一个明显成立 的条件（已知条件、定 理、定义、公理等）为止实质由因导果执果索因续表13内容综合法框图表示P=>Qi f Qt =>Qe Q尸Q分析法|q<=P|-> Pj _得到一个明显f成立的条件要证只需证即证因为所以或由得文字i五等 Ln 口1 A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法答案 B解析 因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合 法.故选B.(3)用反证法证明命题“设 a, b为实数，则方程 x

3、xi+x2即证明 2(tan xi+tan x2)>tan -21,只需证明1 sin xi sin x2xi + x2二 十 >tan -, cosxi cosx22 只需证明，一一八兀一一、，.由于xi, x2 e 0,"2，故xi+ x2 e(0,),所以cosxicos x2>0, sin( xi + x2)>0,1 + cos( xi+ x2)>0 , 故只需证明+ax+ b=0至少有一个实根”时， 要作的假设是()A.方程x3+ax+b= 0没有实根B.方程x3+ax+b= 0至多有一个实根C.方程x3+ax+b= 0至多有两个实根D.方程x

4、3+ ax+ b= 0恰好有两个实根答案 A解析 因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3 + ax+b=0的实根的个数大于或等于1"，因此，要作的假设是方程x3+ax+b= 0没有实根.故选 A.多维探究经典题型冲关题型一分析法的应用【举例说明】 一_一 兀一._ 兀 一(2019 长沙模拟)已知函数 f(x)=tanx, xC 0,右 xi, x2 C 0,且 xiWx2,1xi+x2求证：2 f ( xi) + f ( x2)> f 2.1 xi + x2sinxi + x2sinxi + x2>-：-2cosxicosx2 1 + cos xi

5、 + x2证明要证 2f(xi) +f (x2)> f 2,1 + cos( xi+ X2)>2cos X1COSX2,即证 1 + cosxicosx2 sin Xisin X2>2cosxicosx2, 即证 cos( Xi X2)<1.兀、XiX22由Xi, X2e 0, , XiwX2知上式显然成立,i因此立 f (Xi) + f (X2)> f条件探究 举例说明中“ f(x)”变为“ f(x) = 3X2x"，试证：对于任意的 Xi, X2C R,f xi +f均有-Xi+ X22证明要证明工/(Xi即证明(3.口 -2tl) + (3 -2)

6、-2因此只要证明一乎5 +0)* : (_T +龙),因此只要证明3.J由于当n ,工2 ER时，3町0,3内0,由基本不等式知“y 2 月二手丁显然成立,当且仅当了1=及时等号成立.故原结论成立.【据例说法】I1 .分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价 (或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.2 .分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的联系不够明显、直接.证明过程中所需要用的知识不太明确、具体.含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推

7、导.(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的.【巩固迁移】已知 ABC勺三个内角A B, C成等差数列, ，一 1A B, C的对边分别为a, b, c.求证：- a+b13+-= -T7-证明b+ c a+ b+ c要证 a+ b + b+ c = a+ b+ c，即证a+ b+ ca+ ba+ b+ cb+ c3,也就是a+ b3b+ c1,只需证 c(b+ c) + a( a+ b) = (a+ b)( b+ c),需证 c2+a2= ac+ b2,又ABCE内角A, B, C成等差数列，故 B= 60。，由余弦定理，得b2= c2+ a2-2accos60° ,即 b1

8、1?= 一 bn bn 13.=c2 + a2ac,故 c2+a2=ac+ b2成立.于是原等式成立.题型二综合法的应用【举例说明】(2018 黄冈模拟)设数列an的前n项和为Sn,且(3 n) S+2ma= m+ 3(nCN).其中m 为常数，且m - 3.(1)求证：an是等比数列；3.(2)右数列an的公比 q=f(n),数列bn满足 b=a1, bn=2f ( bn 1)( n Nl, n>2),求证：1 ,1为等差数列.bn证明(1)由(3 n)Sn+2ma=3,得(3 m &+1 + 2ma+1=3.两式相减，得(3 + m an+1 = 2ma, m铲一3,，史上=

9、卓，an是等比数列. an vm- 3(2)(3 m Sn+ 2ma=3, . (3 m) ad 2ma=3,，a1=1.2mb1 = a1 = 1, q= f (m) =.,当 nC N且 n>2 时,3332bn 1bn= 2f ( bn 1) =2 - b 3? bnbn 1+ 3bn= 3bn 1A是首项为1，公差为3的等差数列.【据例说法】1 .利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2 .综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分

10、利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调 性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用.n项和公式证明.见(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前 举例说明.I【巩固迁移】bc ac ab设a, b, c都是正数，求证：7+T+T>a+b+c.证明因为a, b, c都是正数, 所以bc,普，ab都是正数bc ac.所以bc+豆2 C,当且仅当a=b时等号成立,ac ab 一+ >2 a, b c当且仅当b = c时等号成立,ab bc 一+ >2b, c a当且仅当a = c时等号成立.bc ac ab三式相加，得2 -+ -+ - >2(a+ b

11、+ c),bc ac ab+ >a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立. c题型反证法的应用多维探究【举例说明】证明否定性命题1. (2018株州月考)设an是公比为q的等比数歹U.(1)推导an的前n项和公式；(2)设qwi,证明：数列an+1不是等比数列.解(1)设an的前n项和为与，则当 q = l 时，Sn=a + ai + ai = na；当 qwi 时，Sn= a+ aiq+aiq2+ aiqn 1, qS= aiq + aiq2+ + aiqn,一得，(i q) Si = ai aq ,aini q iqnai, q=i,Si= ai i qn, qwi.i q- . .

12、 . . . 、一 *(2)证明：假设an+ i是等比数列，则对任意的ke N,(ak+i + i)2 = (ak+ i)( ak+2 + i),.2ak+1 + 2ak+1 + i = akak+2 + ak+ ak+2 + i,a2q2k+2aiqk= aiqkj aiqk+i + aiqk-i+ aiqk+i,. ai0, . 2qk=qk qk.2. qw0, . q 2q+ i = 0,1. q= i,这与已知矛盾.，假设不成立，故an+i不是等比数列.Q角度2证明“至多” “至少” “唯一”命题2.已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)CM(i )方程f (x) -

13、x= 0有实数根；(ii )函数 f (x)的导数 f' (x)满足 0<f' ( x)<i. x sin x(i)判断函数f(x) = 2+ 丁是不是集合 M中的元素，并说明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若 f(x)的定义域为 D则对于任意m n ? D,都存在xo C (m n),使得等式f (n) f ( n) = (n m) f' ( xo)成立.试用这一性质证明：方 程f (x) x= 0有且只有一个实数根.解(i)当x=0时，f (0)=0,所以方程f (x) x=0有实数根为0;、， i i ， i 3因为 f (x)=2+

14、4COSx,所以 f (x) C 4，7，满足条件0<f' (x)<i.x sin x由可得，函数 f(x) =2+4-是集合 M中的元素.(2)证明：假设方程f ( x) x= 0存在两个实数根 a, B(aWB),则f(a)a=0, f( B ) B = 0.不妨设a < 3 ,根据题意存在 C e ( a , 3 ).满足 f(§)f(a)=(§ a)f' (c).因为 f(a)=a, f(B)=B,且 awp,所以 f' (c) = i.与已知0<f ' (x)<i矛盾.又f(x)x=0有实数根，所以方程

15、 f(x) x=0有且只有一个实数根.【据例说法】I1.反证法证明问题的三步骤反设假定所要证的结论不成立,而设结论的反面 (否定命题)成立N否定结论)1 N B B a K ! * I* S * * . A B ! IB. * A * Bi归谬将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推 理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、 公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾； (推导矛盾) ，由1 . 因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反 设'的谬误.既然原命题结论的反面不成立， 从而肯定了原命题成立.(命题成立)2.反证法的适用范围 (1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少” “至多” “

16、唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.【巩固迁移】12 21.已知xC R, a=x+, b=2x, c=xx+1,试证明a, b, c至少有一个不小于1.证明假设a, b, c均小于1,即 a<1, b<1, c<1,则有 a+b+c<3,21而 a + b+c=2x 2x + 2+3c12 c、c=2 x-2 +3>3,两者矛盾，所以假设不成立，故a, b, c至少有一个不小于 1.2.已知四棱锥 S-ABCW,底面是边长为 1的正方形，又

17、SB= SD=表,SA= 1.(1)求证：SAL平面ABCD(2)在SC上是否存在异于 S, C的点F,使得BF/平面SAD若存在，确定 F点的位 置；若不存在，请说明理由.解(1)证明：由已知得 sA+aD= SD,所以SAL AD同理SAL AB又 ABH AD= A,所以SAL平面ABCD(2)假设在棱SC上存在异于 S, C的点F,使得BF/平面SAD因为BC/ AD, BC?平面SAD所以BGI平面SAD而B6 BF= B,所以平面FBC/平面SAD这与平面SBC和平面SAM公共点S矛盾，所以假设不成立.所以不存在这样的点 F,使得BF/平面SAD2.间接证明间接证明是不同于直接证明

18、的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题口 01不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明口02原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设一一假设命题的结论不成立；归谬一一根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论一一断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.口诊断口恻1.概念辨析(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾. ()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()答案 (1) X (2) X (3) X (4) V2 .小题热身(1)要证明3+币<2乖，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ()A.综合法B.分析法C.类比法D.反证法答案 B解析 用分析法证明如下：要证明 。3+巾<2镉，需证(乖+巾)2<(2/)2,即证10 +2亚<20,即证/1<5,即证21&l