专题04三角函数与平面向量综合问题(专项训练)(解析版)

1、专题04三角函数与平面向量综合问题(专项训练) 31. (2017 北乐卷)在ABC3, Z A= 60 , c=7a.求sin C的值；(2)若a=7,求 ABC勺面积.【答案】见解析【解析】(1)在ABC43,因为/A= 60, c= -a,所以由正弦定理得 sin C= - x .7a 7214(2)因为a=7,所以c=|x7=3.由余弦定理得 72=b2+32-2bx3x2,解得b= 8,所以 ABC勺面积S= 2bcsin A= 2X8X3X 乎=63. 一一一一一兀 .兀一 一 一 、. 一 一 2 .设函数f(x)=Asin( 3x+() A>0, w >0, 一万&

2、lt; 巾<2-，x C R的部分图象如图所本.(1)求函数y=f(x)的解析式；,兀 兀._ 一(2)当xC -, 时，求f(x)的取值氾围.【答案】见解析_.一 ,一.T 5 % 兀 兀 2 %.一【解析】(1)由图象知 A= 2,又4= -6-3 =万，川0,所以T= 2兀=,解得3=1,所以f (x) = 2sin( x. 兀、一 兀兀一兀兀兀一兀+ 6 ).将点"3", 2 代入得"3+ 6 =万+2卜兀(kC Z),即()=+ 2k7t ( k Z),又一万 6 2，所以()=.兀所以 f (x) = 2sin x+ .3 2) xC -y, 2

3、 ,则 x + 散-3-, 23-,所以 sin x + 菅 C 专,1 ,即 f(x) C -73, 2.24 .已知函数f (x)=sin( cox+ 6) 3>0, 0V(!)< 的最小正周期为 兀.3(1)求当f(x)为偶函数时6的值；(2)若f(x)的图象过点 工，也，求f(x)的单调递增区间.62【答案】见解析 一， 一 2兀 【斛析】因为f(x)的取小正周期为兀，则T=兀，所以3 = 2,所以f(x) = sin(2 x+ 6).(1)当 f (x)为偶函数时，f ( x) = f (x).所以 sin(2 x+ 6 ) = sin( 2x+ 6 ),展开整理得 si

4、n 2xcos 6 = 0,2兀兀由已知可知上式对任意xCR都成立，所以cos 6 = 0.因为0V 6 V ;丁，所以()=.32(2) f (x)的图象过点-6, -2 时，sin 2 X F () = -22-,即 sin + 6 = 2-.又 0V 6 < 3-,所以< .兀2兀兀 兀.兀兀兀+ 6 v 兀，所以-F 巾=-3,巾=.所以 f (x) = sin 2x+ .令 2k % 2w 2 x + 2 k 兀 + , k C Z, 得k兀?2& x<k % + 12-, ke Z.所以f (x)的单调递增区间为kit - 工，k兀+ 12，k Z.兀J-

5、4. 已知向量a=(mcos 2x), b=(sin 2 x, n),函数f(x) = ab,且y=f(x)的图象过点3和点-2 .(1)求mi n的值；(2)将y=f (x)的图象向左平移 6 (0< 6 <兀)个单位后得到函数y=g(x)的图象，若y= g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求y=g(x)的单调递增区间.【答案】见解析兀厂 2兀【解析】(1)由题意知f(x) = a b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x)的图象过点 石，、3和,-2 .所以 123、3 = msin + 6兀ncos,64兀4兀-2= msin + ncos 丁,

6、331.3 3= 2m+ n, 即131一 2 = - 2 mi 2解得mi=p, n= 1.(2)由(1)知 f (x) =、3sin 2x+ cos 2x= 2sin 2x + -6-.易知 g( x) = f (x +() = 2sin 2x + 2()+6 .设 y = g( x) 的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x2+1 = 1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为 (0,2).将其代入 y = g( x),得 sin 2()+ = 1,因为 0< 6 <兀，所以()= ,因此 g(x) = 2sin 2x+=,一兀一.一一2cos 2 x.

7、由2k兀一兀W2 xW2 k兀，k e Z得k兀一2w xw k兀，kCZ.所以函数 y = g(x)的单倜递增区间为, 1 ,一k% 2 , ku ,kCZ.兀5. (2019 -山东、湖北部分重点中学联考)设函数f(x)=2sin x+3 cos (1)求f(x)的单调递增区间;(2)已知 ABC的内角分别为 A, B, C,若f A：、23,且 ABCt归够盖住的最大的圆面积为兀，求AB-AC勺【答案】见解析-,兀【解析】(1)f(x) = 2sin x+ cos3 c 3. 1 .31.x上=2 -2-cos x + 2sin x , cos x - -2 =-sin 2,3°

8、;x+ -cos 2 x=sin 2x + y .令-2+2k兀忘2 x+y<y+2k7t，ke Z，所以-6- + 2k7t<2 x，+2kTt, ke z,则-2+ kTt<x<+ kjt, ke z.所以f(x)的单调增区间为彳2"+ k 兀，12+ k兀,k e Z.(2)由(1)得，f 2= sinA+ -3=2,AC(0 ,兀)，所以A="3".由余弦定理可知a2= b2+c2- 2bccosA=b2+ c2bc.由题意可知 ABC勺内切圆半径为1,如图所示，可得 b+ c- a=2J 3,即a= b+c2J3.所以(b+ c2

9、'3) 2= b2+c2bc,所以 43+3bc=4( b+c) >8/bc,解得 bc>12 或 0<bcw：(舍).所以 AB - AC 31，一， ，一， 力= 2bcC6, +8),当且仅当 b=c时，A B - A C取得最小值6.6. (2019 三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B( -1,0),求|oa od的最小值;兀x 0, -2 ,向量 m=BC n= (1 -cosx, sinx 2cosx),求nr n的最小值及对应的 x值.【答案】见解析 【解析】(1)设D(t, 0)(0 < t < 1),当x=时，可得C 薮，所以OC OD=率+ t，£，所以 iOoOd2= t ¥2+2(owtwi),所以当t =乎时，|OcfOd2取得最小值为2,故 OoOd的最小值为乎.(2)易得 qcos x, sin x), m=BC= (cos x+1, sin x),贝U m n = 1 cos2x+ sin 2x 2sin xcos x=1 cos2x1兀 一