三角函数辅助角公式在高考中的应用

1、三角函数辅助角公式在高考中的应用对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1，故可记=cos，=sin，则由此我们得到结论：asinx+bcosx=，（*）其中由来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(+k的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一. 求周期例1 （2006年上海卷选）求函数的最小正周期。解：所以函数y的最小正周期T=。评注：将三角式化为y=Asin(+k的形式，是求周期的主要途径。二. 求最值例2. （2003年北京市）已知函数f(x=

2、cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求f(x的最大值和最小值。解：f(x=(cos2x+sin2x(cos2x-sin2x-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。从而f(x在上的最大值是1，最小值是。三. 求单调区间例3. （2005年江西省）已知向量，令，求函数f(x在0，上的单调区间。解：先由。反之再由。所以f(x在上单调递增，在上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(x+k的形式，是求单调区间的通法。四. 求值域例4. 求函数的值域。解：所以函数

3、f(x的值域是-4，4。五. 画图象例5. （2003年新课程）已知函数f(x=2sinx(sinx+cosx，画出函数y=f(x在区间上的图象。解：由条件。列表如下02112描点连线，图象略。六. 图象对称问题例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( （A）（B）（C）1 （D）-1解：可化为知时，y取得最值，即七. 图象变换例7（2000年全国）已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：（1）向左平移，得到y=sin(x+的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不

4、变，得y=的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x+的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x+的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=的图象。八. 求值例8. 已知函数f(x=+sinxcosx。设（0，），f(=，求sin的值。解：f(x=sin。由f(=sin(，得sin(=。又（0，）。而sin，故+，则cos(+=。sin=sin=sin=。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin时，巧用凑角法：=（+）-，并且判断出+的范围，进而求出cos(+的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。九. 求系数例9. （2005年重庆）若函数f(x=的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x=，其中角由sin=来确定。由已知有，解得a=。十. 解三角不等式例10. （2005年全国）已知函数f(x=sin2x+sin2x，x，求使f(x为正值的x的集合。