【教育资料】第三章3.1.2(一)学习精品

1、教育资源sin( 就=cos3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)【学习目标】1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单白三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用一3代换cos(a 9 = cos ocos 3+ sin asin 3中的3便可得到.梳理公式cos( a+ g)=cos ocossin osin3简记符号CXJ)使用条件a, 6都是任意

2、角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二两角和与差的正弦公式思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式?答案= cos - /cos 叶 sin9Jin 3 =sin ocos 3+ cos osin 3.思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用一3代换 3,即可得 sin( a 9 = sin ocos 3- cos asin 3梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(什3S(a-3公式形式sin( a+ =sin acos 叶 cos osin 3sin( a新=sin ocos 3 cos asin 3记忆口诀：“正余余正，符号相同1.不存在角

3、 a, & 使得 cos( a+ 3)=cos ocos 汁 sin asin 3.( X )提示 如 a= 3= 0, cos( 3 = cos 0= 1, cos acos 3+ sin asin 3= 1.教育资源2.任意角 a, & 都有 sin( a+ 9 = sin ocos 汁 cos osin 3(， )提示 由两角和的正弦公式知结论正确.3. 存在角 a, & 使 sin( a 3 w sin coos 3 cos osin 3(x )提示由两角差的正弦公式知不存在角a, 3,使sin( a 就 w sin ocos 3 cos osin 84. 存在

4、角 a, & 使 sin( a+ 3 = sin ocos 3 cos osin 3( ， )提示 如 a= 3= 0 时，sin(a+ ) = 0, sin acos 3- cos osin 3= 0.类型一给角求值例1 (1)(2019衡水高一检测)已知角a的终边经过点(一3,4),则sin。+41的值为()A.坐 B.10考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案 C解析 因为角a的终边经过点(一3,4),则sin所以 sin ("+4 j=.4 4sin ocos 4+ cos osin 4=5'也_3乂也=也252 10.(2)计算:sin

5、 14 c6s 16 4- sin 76 c6s 74 . °考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 原式=sin 14 cos 16 °+ sin(90 - 14 )cos(90 - 16 )=sin 14 cos 16 4 cos 14 sin 16 °。一。 一。1= sin(14 : 16 ) = sin 30 = 2.反思与感悟解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符 合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形

6、式，化为正负相消的项并消项求值，化分 子.分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.跟踪训练1求值:sin 7 平 cos 15 sin 8 ; cos 7 sin 15 sin 8 °考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案 2-小sin （15 8° 廿 cos 15 sin 8解析原式:1cos（15 8 j- sin 15 sin 8sin 15 cos 8 cos 15 sin 8 平 cos 15 sin 8cos 15 cos 8 ; sin 15 sin 8 sin 15 sin 8sin 15 cos 8 sin 15:=:-=cos

7、15 cos 8 cos 15.6 . 2sin(45°30°)4=i-r-=2V3cos(45°-30°) V6+V24类型二给值求值例2考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值3 L c 一 一兀 37t t、., , z5, 且 0<a<4<3<-4, 求 cos( a+ 就.37<37+ a<7t,一於<2 3<0.4 42 4反思与感悟（1）给彳1 （式）求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式.的和或差的关系，然后应以免产生增解或漏当“

8、已知角”有一个时，此时应着眼于 “所求角”与“已知角用诱导公式把“所求角”变成“已知角” .(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论,解.跟踪训练2 已知cosi'x+lk3, xC (0,力，则sin x的值为(65A.4 13 310B4,3-3B. 101 c.23D.万考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案解析所以4加卜+6厂5,所以sin x= sin ,x +6 厂 6 =si" +6cos x+-兀4in _=一6 5&31=必25 210类型三辅助角公式 例 3 (1)求值：cos y+43sin y2

9、=.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案 2解析 原式=2cos 12+兴sin 12 i= 2sin 4= V2.(2)当函数y=sin xgcos x(0<x< 2可取得最大值时，x=考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值5兀答案 不6解析 y= 2sin x-3 ;；W 2 兀,3&-；w 等教育资源当 X2 =2 '即 x=56寸'ymax=2.反思与感悟 一般地，对于asin a+ bcos a形式的代数式，可以提取 ya .计算 5/2cos + 4sin：的值是（）+ b2,化为Asin（cox

10、 十 昉的形式，公式 asin a+ bcos a= a2 + b2sin（ a+ 昉（或 asin a+ bcos a= >Ja2+ b2cos（ a（0） 称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3 sin卷一43cos君=考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案-婿解析原式=2（2sin工一孚cos总 兀=2 cos§sin工12sin工 工)3cos127t7t7t=2 sin 12cos 3- cor 兀.J '针n32412教育资源A. 2B. 2 C. 2V2 D.(1 . sin 7 cos 37 - si

11、n 83 sin 37 的值为().13113A. - 2 B. - 2 C.2 D. 2考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 B1解析 原式=sin 7 cos 37 cos 7 sin 37 = sin( 30 ) = sin 30 =考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案 B解析©cos 凶+ 小sin 12=2gcos 亳+ysin 巧）_7t6cos兀_7t12+cos 6sin教育资源= 2Usin* + 12 + 2 Vsin : = 2.3 .已知锐角 a, 3满足sin a= cos 3=噌2 则a+ 3=考点两角和与

12、差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求角答案3-T4解析 : a, 3为锐角，sin a=曰& cos 3=cos5.3 10A 5 , sin 3= 10 .sin( a+ 9 = sin ocos 3+ cos asin 3= 2V5X近+迅*啦=返5105102 .L 兀 ,-3兀又 0< a+ 3< 兀，且 o>4，. . a+ 片-4.sin 50 sin 20 cos 30 °4 . cos 20 °考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简,1答案2解析原式=sin(20 °+30° 尸 sin

13、20 c6s 30cos 20sin 20 cos 30 + cos 20 sin 30 sin 20 c6s 30cos 20 °cos 20 § in 30cos 20 °=sin 305 .求函数 f(x)= sin xcos3+6，勺值域.考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用解 f(x) = sin x-惇cos x 2sin x !2sin x - 3cos x =V3sin x 故函数f(x)的值域为5, ®7.210教育资源1 .公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系以-玳换0诱导公式以-玳换0C(丁份>

14、C(计份 > S(#3> S(丁(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(3，C(a+3可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(a3, S(计3可记为“异名相乘，符号同 :(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(C(a+” S(a-3,且公式sin(a份=sin ocos 3 cos osin 3,角a, 3的“地位”不同也要特别注意.2 .应用公式需注意的三点 (1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换

15、：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1” 的代换，如 1 = sin，+ cos2 a, 1 = sin 90 ,= cos 60；*=sin 60 等，再如:0,2，4,中等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数一、选择题1. sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 等于（）,3311A. - 2 B. 2 C- - 2 D,考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式化简答案 D1 解析 sin 20 cos 10 cos 160 sin 10 = sin 20 cos 10 + cos 20 sin 1

16、0 = sin 30 =-23 一.,2A.而3,则s1n，等于()B7B. 10D.C.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案 B解析 由 氐 2,兀j,彳44 44<< a+声学,所以 sin a= sin 4 厂；,故选B.3.（2019江西上饶高一期末考试）已知cos（“一 3）=3，sin 3= 一卷，且 代口，2舐0 j贝U sin ”等于（）A.33 B.56 C. -33 D. -5665656565考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 A& o< 2,解析 : 0< a-夫兀.兀I-2< 皿

17、3又cos( a-四=相5sin( a- §=、1 - cos2( a2< 华0, sin 3=513'cos 3=1213'sina= sin(33a一 份+ g=sin(a一 份cos 计 cos(a 份sin 3= 77.654.在 ABC中，若A = j cos B =邛，则 sin C 等于()2,52 ,5A. 5 B- - 5教育资源考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用答案解析sin C= sin l (A+ B) = sin(A+ B)2.2=sin Acos B+ cos Asin B= +(cos B+yj 1 - co

18、s2B)走x返+啦岖211010 厂 5 .5. (2019 杭州高一检测)已知 sin a+ cos a=, a 3C （0,句，则sin计12 j的值为（）A. 3+2,2B.C.D.1 2,6考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案解析2 一因为 sin a+ cos a= ,氐 3所以21+2sin acos a= , 2sin acos97A 9,所以sin o>0,cos a<0,由(sin a cos、2a) = 1 2sin ocos a=16可得sina cos a=".3解得sin4 + V2a= -, cos a= 6因为7tco

19、s -= cos4厂cos兀7cos 3二十 sin 42c 2c十3sin 4=4. 工 一岳工、一:一 d 工工sin 12 = sin 4 尸sin 3cos 4803$%;.6- .27t4 4 + V2 V6 + V2 42 4sin ocos+cos *访12= -6x 4+ 6V6-V2 2V2+V3X=6. （2019安徽马鞍山模考）函数f（x）=sin' + ；;Lsin,一教育资源A.周期为 兀的偶函数B.周期为2兀的偶函数C.周期为 兀的奇函数D.周期为2兀的奇函数考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用答案 B解析 因为 f(x) = sin,

20、x+4siMx 4 ；= sin xcos4 +cos xsin4sin xcosj +cos xsin 4=啦cos x,所以函数f(x)的最小正周期为2兀.又 f( x)=成cos( x) = 42cos x= f(x),所以函数f(x)为偶函数.考点题点sin7.已知cosa= 453,则 sin7；的值为(两角和与差的正弦公式利用两角和与差的正弦公式求值答案解析- cosQ-6 j+ sin a= 45-3,兀ocos 二十 sin6osin 八+sin (x= ， 65./- 2(3 cos a+ 2sina= ,即:cos a+ "/sin a= , 5225sin7jt

21、a+ 6尸,44 sin "+ 6 尸5.、填空题8 . (2019全国n)函数f(x) = 2cos x+sin x的最大值为 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案 .5解析f(x) = 2cos x+ sin x则 f(x) = -5sin(x+ a),函数f(x)= 2cos x+ sin x的最大值为 5.9 . sin 15 平 sin 75 的值是.考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案T6解析 sin 15 % sin 75 = sin(45 -30°) + sin(45 4 30 )=2sin 45 cos

22、 30 °=更.sin 27 平 cos 45 sin 1810 .cos 27 sin 45 sin 18考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案 1解析原式=sin(4518 了 cos 45 sIn 18cos(45°- 18。)- sin 45 sin 18sin 45 cos 18 cos 45 sin 18 平 cos 45 sin 18cos 45 cos 18 4 sin 45 sin 18 sin 45 sin 18 =tan 45 = 1.11 .已知 sin x+3/-33,则 cos x+cos考点两角和与差的正弦公式题点 利用两

23、角和与差的正弦公式求值答案 1解析因为sin 3+3/=号,cos x+ cos3,卫=2cos x+ 2 sin x =3尸x所以1 退cos x+ 2cos x+ 2 sin x=淄sin x+ 3广1.三、解答题一一兀3兀 ,1 12.,3 4 .八"，士12 .已知 2< 华 a<-4， COS( “一 3 = , Sin( a+ 份=- 5,求 Sin 2 a 的值.考点两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值解 因为2<仔a<；j, 所以 0< a <- 4 兀4+ <2.又 cos( a12份=石，Sin(a+ 3)=- 5,所以sin( acos( a+ 3 = 1j 1 sin ( a+ 3尸一所以 sin 2 a= sin( a份+ ( a+ 即=sin( a 9cos( a+ 份+ COS( a就Sin( a+ =& x(_ 4 空 x J 315613 I 513 I 5 65.13.已知 cos a= 55, sin( a X10,且飞配o, 2j求：(1)sin(2 a9 的值；(2) 3的值.考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用