2020届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

1、2020届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学(理)试题一、单选题1 .设集合 A 1,2,3 , BXx2 2x m 0 ,若 A B 3,则 b ()A.1,3B,2,3C.1, 2,3 D. 3【答案】A【解析】依题意可知3是集合B的元素，即32 2 3 m 0 ,解得m 3,由x2 2x 3 0，解得 x 1,3.2 .复数z满足z 1 z 1 i (i为虚数单位，则z的值是()A. 1 iB. 1 iC. iD. i【答案】C【解析】 直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】.21 i 1 i由z 1 z 1 i得：z i1 i 1 i 1 i本题正确选项：C【点睛】本题

2、考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力.3.设函数 f(x)(x R)满足 f( x) f(x),f(x 2) f(x),则 y f(x)的图像可能是A .B.C.D.,UDOV4/-2 X W 2 "【答案】B【解析】 根据题意，确定函数 y f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.由f( x) “刈得丫 f(x)是偶函数，所以函数 y f (x)的图象关于y轴对称，可知B,D符合；由f(x 2) f(xMHy f (x)是周期为2的周期函数，选项 D的图像的最小正周期是 4,不符合，选项 B的图像的最小正周期是 2,符合，故选B.-,，则 sin 2-14 .已知CO

3、S 一 3D.12第3页共19页【解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】Q cos：12 2Sin .1 cos .1 .932'2Sinsin 3本题正确选项：B【点睛】 本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.0.25 .设 a 1 ,b log23,c 2 0.3,则() 2A.bcaB.abcC.bacD. a c b【答案】C【解析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可由题意可得：a0.210,1 , b 10g23 1 , c 220.310,10.3x0.21、，一 1指数函数y 1单调递减，故

4、122综上可得：b a c.故选：C.【点睛】对于指数哥的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因哥的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数哥的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数哥的大小的比较,利用图象法求解，既快捷，又准确.uuv6.在 ABC中，M是BC的中点，AM 1,点P在AM上且满足 APuuuv 口"2PM，则uuv uuv uuv 八PA (PB PC)等于()4A .一9【答案】4B. 一9D.由M是BC的中点，知 AM是

5、BC边上的中线，又由点 P在AM上且满足uurAP2PMu可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解.解：.”是BC的中点，知 AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足APuuuu2PMP是三角形ABC的重心uuu uur uur PA PB PCuur uuuuuur 2PA AP| PA|又AM = 1uuur2 I PA I 23 uurr uur uur PA PB PC故选B.【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点. 性质：PA PB PC 0或AP2 Bp2 up2取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐 标的平均数.7 .设某大学的女

6、生体重 y （单位：kg）与身高x （单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（Xi,yi）（i=i,2,，n）,用最小二乘法建立的回归方程为？=0.85x-85.71 ,则下列结论中不正确的是A . y与x具有正的线性相关关系8 .回归直线过样本点的中心（ X, y ）C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加 0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x -85.71 ,则飞=0.85>0, y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（x,y ）, B正确；该

7、大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加 0.85kg, C正确；该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为 0.85 >170- 85.71=58.79kg , D错误.故选D.2n08.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如21 n N 的素数（如：221 3）为费马索数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）2A . 一15【答案】BB.C.415D.【解析】 基本事件总数n15,能表示为两个不同费马素数的和只有8 3 5,20 317, 22 517 ,共有3个，根据古典概型求出概率.第16页共19页在不超过30的正偶数中随机选取一数

8、，基本事件总数n 15能表示为两个不同费马素数的和的只有8 3 5, 20 3 17, 225 17,共有3个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项：B315本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.9.已知函数f (x) sin x x R, 0的最小正周期为，为了得到函数4g x cos x的图象，只要将y f x的图象()A.向左平移一个单位长度8C.向左平移一个单位长度B.向右平移 一个单位长度8D.向右平移个单位长度4【答案】A【解析】【详解】由f (x)的最小正周期是，得 2 ,即 f (x) sin(2x -)cos 一 22x 4cos 2x 4c

9、os2(x ), 8因此它的图象向左平移 一个单位可得到g(x) cos2x的图象.故选 A.8【考点】函数f(x) Asin( x)的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法：10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(A. 243B.43【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示:其中，底面为直角三角形,AD2,DAE J3 ,高为 AB2. 1.该几何体白体积为 V 12故选A.211.抛物线y4x的焦点为PFF,点P(x, y)为该抛物线上的动点，若点A( 1,0),则PA的最小值为(D.巫3 y PF 工【解析】通过抛物线的定义，转化 PF PN ,要使有最小值

10、，只需 APN最大|PA|即可，作出切线方程即可求出比值的最小值.【详解】解：由题意可知，抛物线y2 4x的准线方程为x 1, A( 1,0),过P作PN垂直直线MN,由抛物线的定义可知PF | PF |PN ,连结PA ,当PA是抛物线的切线时，J1有最小值,|PA|则 APN最大，即PAF最大，就是直线PA的斜率最大,设在PA的方程为:y k(x 1),所以y k(x 1)2/，y 4x解得:2 22k x (2k4)x k2 0,所以_ 22(2 k 4)一 44k 0 ,解得k1,所以NPA 45 ,|PF|PA|cos NPA【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系,

11、转化思想的应用,属于基础题.,PA 平面ABC, ABC是边PC与平面PAB所成角的正12 .已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球 。的球面上 长为2 J3的等边三角形，若王。的表面积为20 ，则直线切值为（）A. 3B.无C. 3"D.叵4374【答案】C【解析】 设D为AB中点，先证明CD 平面PAB ,得出 CPD为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD，得出结论.【详解】设D,E分别是AB, BC的中点AEI CD FQ PA 平面ABCPA CDQ ABC是等边三角形CD AB又 PAI AB ACD A平面PABCPD为PC与平面PAB所成的角Q ABC是边长为2 J3

12、的等边三角形- 2CD AE 3, AF -AE 2且F为 ABC所在截面圆的圆心 3Q球O的表面积为20球O的半径oa 75OF ,OA2 AF2 1Q PA平面ABCPA 2OF 2PD , PA2 AD2.7tan CPDCDPD33、77 V本题正确选项：C本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所 求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题.、填空题213.已知双曲线x2 41(b 0)的一条渐近线为 y 2x,则焦点到这条渐近线的距离 b2为.【答案】2.2【解析】由双曲线x2 I 1(b 0)的一条渐近线为y 2x ,解得b .求出双曲线的

13、b2右焦点c,0 ,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】y2- bQ双曲线x231(b 0)的一条渐近线为y 2x - 2解得：b 2 c .7V ,5双曲线的右焦点为5,0焦点到这条渐近线的距离为:本题正确结果：2【点睛】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题.14 .函数y axex的图象在x 0处的切线与直线 yx互相垂直，则a 【答案】1.【解析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程 关系进行求解即可.【详解】Q函数y axex的图象在x 0处的切线与直线 y x垂直，函数y axex的图象在x 0的切线斜率k

14、 1Q f x aex axexf 0 a 1本题正确结果：1【点睛】根据条件建立方程关系是解决本题本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，的关键.15 . ABC内角A, B , C的对边分别为a , b, c,若2ccosB 2a b,则C .【答案】12022.2【解析】2ccosB 2a b,，2c a-c 2a b,即 a2 b2 c2ab ,2ac cosC2ab316 .已知定义在 R上的函数f x的图象关于点1,1对称，g x x 11 ,若函数f x图象与函数g x图象的交点为(X, y1)，(x2, y), ( x2019 , y2019 )，则2019xiyji 1

15、【答案】4038.【解析】由函数图象的对称性得：函数f x图象与函数g x图象的交点关于点1,1对称，则 x1x2019x2*2018x3*20172x10102 ,y1y2019y2y2018y3y201720192y10102,即xi yj 4038,得解.i 1【详解】,3由 gx x 11 知：gx g 2 x 2得函数y g x的图象关于点1,1对称又函数f x的图象关于点1,1对称则函数f x图象与函数g x图象的交点关于点 1,1对称x2019x2x2018x3x20172x1010y1y2019y2y2018y3y20172 y10102x2018x20192019, y1 y

16、2y2018y201920192019即xi yj 4038i 1本题正确结果：4038【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题.三、解答题17 .已知等比数列 an，其公比q 1,且满足a2 a3 12 ,a2和a4的等差中项是10.(I)求数列 an的通项公式;n 1(n )若bn nan ,Tn是数列bn的刖n项和，求使Tn n 214 0成立的正整数n的值.【答案】(I ) an 2n.(n) n 3.【解析】(i )由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(n)bn nan n 2

17、n，由数列的错位相减法求和可得 Tn,解方程可得所求值.【详解】(I )等比数列 an，其公比q 1，且满足a2a3 12,a2和a4的等差中项是102即有aqaq312 , 20 a2 a4 a1q a1q解得：a q 2an 2n(n)由(i)知：bn nan n 2n贝U Tn1 22 223 23n2n234n 12Tn1 22 23 2n2相减可得：Tn 2 22 23化简可得：Tn 2 n 1 2n 12n n 2n 12 1 2n1 22nTn n 2n 1 14 0 ,即为 16 2n 1 0解得：n 3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求

18、和，以及方程思想和运算能力，属于中档题.18.每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名，用“1吩制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图 淇中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为很幸福” .(I )求从这18人中随机选取3人,至少有1人是 很幸福”的概率;(n)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人, 记X表示抽到 很幸福”的人数，求X的分布列及E X .(i )199. (n)见解析.204(I )18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆

19、事件，即3人都认为不很幸福的概率,再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可；(n)根据题意，随机变量,列出分布列，根据公式求出期望即可.(I)设事件A抽出的3人至少有1人是很幸福”的,则A表示3人都认为不很幸福(n)根据题意,随机变量C3C38520419920423GX的可能的取值为0,1,2,3C30C33C；4； P 93C；27X0123P1248279927所以随机变量的分布列为： 1248所以X的期望EX 0 1-2-3 2 279927【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型.19.已知 ABC是等腰直角三角形,ACB -

20、, AC 2. D, E分别为AC,AB的中 2点，沿DE将 ADE折起，得到如图所示的四棱锥 A BCDE .(I )求证：平面 ADC 平面AiBC .(n )当三棱锥C ABE的体积取最大值时，求平面ACD与平面AiBE所成角的正弦 值.【答案】(I )见解析.(n)立.【解析】(I)证明DE平面AiCD得出BC,平面A1CD ,根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当AD 平面BCDE时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的 法向量，计算法向量的夹角得出答案.【详解】(I)证明：Q ACB - AC BCQ D,E 分别为 AC, AB 的中点 DE /BC DE ACDE C

21、D, DE AD ,又 AD I CD DDE 平面ACDBC 平面A1CD，又BC 平面ABC平面AiDC 平面A1BC(II) Q Vc ABE VA1 BCE , SvbCE 为定值当AD平面BCDE时，三棱锥C ABE的体积取最大值以D为原点，以DC ,DE , DAi为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz则 B 1,2,0 ,E 0,1,0 ,Ai0.0,1uuvuuvBE 1, 1,0 , EA0, 1,1v设平面ABE的法向量为nx, y, zvmvmuuvBE 0 uuv EA1 0Q DE平面ACDcosr rm, n1可得iv1,1, 1v 0,1,0是平面ACD的一个法向量

22、1 _J,3 13平面A1CD与平面ABE所成角的正弦值为 卜 叵比33本题考查了面面垂直的判定， 二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题.20.已知定点A 30 , B 3,0 ,直线AM、BM相交于点M ,且它们的斜率之积1为一，记动点M的轨迹为曲线 C 。9(1)求曲线C的方程;(2)过点T 1,0的直线与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点 S %,0 ,使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在，求出 S坐标；若不存在，请说明理由。2【答案】(1) y2 1 x 3 ; (2)存在定点S 3,0 ,见解析 9

23、1【解析】(1)设动点M(x, y),贝UkMA ，kMB (x x 3 x 33），利（用 kMAkMB(2)由已知直线l过点T (1,0),设l的方程为xmy 1,则联立方程组x my 1x2 9y2 9消去x得(m2 9)y2m), Q(x2, y2)利用韦达定理求解直线求出曲线C的方程.第17页共19页的斜率，然后求解指向性方程，推出结果.【详解】解：(1)设动点 M x, y ,则 kMA y x 3 , x 3kMB -x- x 3 ，x 3，1 y y 1Q kMA kMB-',即 "" 二，9 x 3 x 392化简彳导:A y2 J92由已知x 3

24、,故曲线C的方程为y2 1 x 3 o9(2)由已知直线l过点T 1,0 ,设l的方程为x my 1,则联立方程组x2 x9my1,2my 8 0,%丫2设 P x1，y1 , Q X2N2 ,则yy22m m2 9 8 m2 9又直线SP与SQ斜率分别为kSPy1XiXoy1my11 Xo 'kSQAX2Xoy2my2 1 Xo '贝U kSP kSQV1V2my 1 x0 my2 1 x0822x09 m 9 1x082当 Xo 3时， m R, kSP kSQ 2 二9 1 x09当 Xo3时，m R, ksp ksQ812 二 °9 1 x018所以存在定点S

25、 3,0，使得直线SP与SQ斜率之积为定值。本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中 档题.lnx21.已知函数 f x .x(I )求函数f x的极值；(n )若 m n 0 ,H mn nm,求证：mn e2 .【答案】（i ）极大值为：1 ,无极小值；（n）见解析.e【解析】（I ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数f x的极值；（n）得到f m f n，根据函数的单调性问题转化为证明2 e m nlnne,即证 nn 2 lnn，令GIn x 2x22 .x In x 1第21页共19页据函数的单调性证明即可.In

26、x(I )Q f x xx的定义域为0,1 ln x0,得f x在0,e上单调递增，在 e,上单调递减函数f x的极大值为f eJne 1 ,无极小值e e(n )Q m n 0 , mn nm n In m mln nIn mmIn n，即f m由（i）知f x在0,e上单调递增，在 e, 上单调递减且 f 10,则 1 n e m一一ce2要证mn e2,即证m e,即证f mnn 2 ln n2e由于1e ,即0 ln n 1,即证e22ln n 2n2 .n ln nQ1In x4x22.，2x x lnx 1 x2xln x2 e x x0恒成立2x Inxe x e x 1 2x ln x1,e递增1,e恒成立mn本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想,考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题.22 .在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.2x 1 t2知直线l的参数方程为_ 2.2 .y Tt（t为参数），曲线C的极坐标方程为4cos（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程;1（2）若直线l与曲线C交点分别为A