《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案

1、高中数学rr高二适用1,|1适用年级S . 学科1,|1 . 1 . .1 适用区域T苏教版区域课时时长（分钟）11 2课时左、l 一 !直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题（交点个数问题、 知识点1中点弦问题）弦长问题、* J、/111 .掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法.教学目标: 2.掌握有关椭圆弦长问题的求解方法. .1I 教学重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解 .MiHIBBMl MB 1 BIM M:M: MB 1M MB教学难点 数形结合思想的应用【教学建议】本节课采用创设问题情景 一一学生自主探究 一一师生共同辨析研讨 一一归纳总结组成的四环节”探究式学习方式，

2、并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气.【知识导图】!教学过程）、导入【教学建晶人直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想：直线与椭圆有哪些位置关系， 能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？I二、知识讲解【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线l与椭圆C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0（A, B不同时为0）代入椭圆C的方程F（x, y）=0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量Ax+By+ C=0,y）的一元方程，即消去y,得ax2+bx

3、+c= 0.F（x, y） = 0,设一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式为 A,则 60直线与椭圆C相交；A= 0 直线与椭圆C相切；/0 直线与椭圆C相离.【梅&2】施治油K相交时，弦长怎么求？【提示】设斜率为 k(kw0)J直线l与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(xi, yi), B(x2, y2), 贝U AB|J X1 X2y1 y22. XX22kx_kx22 k2 1Xix21Jk2 1,XX2-4x1x2或2.;2211ABI -!Xi X2y1 y2 ky1 ky22y1y2e 1y1 y2 9 1f y1 y2 43y2 -然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量x(

4、或变量y)的一元二次方程，运用韦达定理求第3页/共12页弦长.类型一直线与椭圆的位置关系2已知椭圆* + y2=1.4(1)当m为何值时，直线y=x+m与椭圆有两个不同的交点?(2)当m=2时，求直线被椭圆截得的线段长.【思路探究】联立，消 y得二次方程 一 A判别式一 m的范围一根与系数的关系一由弦长公式求弦长.X2 ,2 Y二十 y2= 1【自主解答】(1)联立4消去y得，5x2+8mx+ 4(m21)=0.y= x+ m因为A= 64m280(m21)0,所以/5my5,所以当5m0.类型二求中点弦所在的直线方程八、一x2 y2八，已知(4, 2)是直线l被椭圆36+y9= 1所截得的线

5、段的中点，则 l的方程是.x2 y2【自王斛答】方法一：设直线 l与椭圆相父于A(x1，y1), B(x2, y2),则正+4=1，且36 9xl + y2= 1,两式相减，得36 9y1 y2 x1 x2x1+ x24(y1+ y2)y1 y21又 x1+x2=8, y1+y2=4,所以 =7, x1 x221 一故直线l的万程为y-2=-2(x- 4),即x+2y-8=0.方法二：设直线l与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2, y2),设直线方程为 y 2 k x 4 ,即y kx 2 4k .y kx 2 4km 2_2_联立万程22，得x2 4 kx 2 4k 36 0,x2 4y

6、2 36 0一 222即 4k2 1 x2 8k 2 4kx 4 2 4k 36 0 .8k 2 4ki 1又 xi+x2=8,所以 8 x1 x22,解得 k 一 .4 k2 121故直线l的方程为y2= 2(x 4),即x+2y8=0.【总结与反思】处理中点弦问题常用的求解方法1 .点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1 +y1 y2x2, y1 + y2,-匚三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 x1-x2得斜率.2 .根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.注意：中点

7、弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.类型三直线与椭圆位置关系的应用22设A1, A2与B分别是椭圆E：上+=1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2+y2=1 相切.11,(1)求证：/+ b7= 1;(2)直线l与椭圆E交于M, N两点，且OM ON =0,试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由.x2 V2【解】(1)已知椭圆E： /+ b2= 1(ab0), A1, A2与B分别是椭圆E的左、右顶点与上顶点，x y所以 A1(a, 0), A2(a, 0), B(0, b),直线 A2

8、B 的万程是 一十：= 1 . a b因为直线 A2B与圆C： x2+y2=1相切，所以 一J 1= 1,即2十上=1.11a bj+b(2)设 M(x1, y1), N(x2, y2).若直线l的斜率存在，设直线l: y=kx+m.,、x2 y2x2 (kx+ m)2将 y= kx+ m 代入 a+ b= 1,得+ b2= 1，化简，得(b2+ a2k2)x2 + 2a2kmx+ a2m2 a2b2= 0(A0).所以X1 + X2 =2a2kma2m2-a2b2b2+a2k2 X1X2= b2+a2k2，故 乎乎=(kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1 X2 + km(x1 +

9、 X2) + m2a2k2m2-a2b2k22a2kmb2+ a2k2+km b2+a2k2+ m2 =因为b2m2- a2b2k2 b2 + a2k2 .=0,所以 Xix2+yiy2=0.把 X1X2, yy2 代入上式，得(a2 + b2)m2a2b2(1+k2)= 0.结合 上+击=1,得 m2=1+k2. a b圆心到直线l的距离为d =|m|1 + k2=1,所以直线l与圆C相切.若直线lx2的斜率不存在，设直线l：x= n.把直线1代入X2+y2,a2b2-b2n2研=1,信丫=一 -a所以|n| =a2b2- b2n22,所以a2n2= b2(a2- n2),解得n= 土，所以

10、直线l与圆C相切. a综上所述，直线l与圆C相切.【总结与反思】研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.2X在平面直角坐标系 xOy中，过点A(-2, 1)的椭圆C: a2 y b21 a b 0的左焦点为2F,短轴端点为 B1、B2, FB1 FB2 2b .求a、b的值;(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点 为Q,与y轴的交点为R,过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为 P.若AQAR = 3OP2,求直线l的方程.【解】(1)因为 F( c,0),B(0, b),B2(0,b),所以 F

11、B1 c, b因为 FB1 FB2 2b2,所以 c2-b2=2b2.因为椭圆C过A(2, T),代入得1. a b由解得a2= 8, b2= 2,所以a=2，2, b = 42.(2)由题意，设直线l的方程为y+1 = k(x+ 2).y+ 1 = k (x+ 2),由 X2 y2得(x+2)(4k2+1)(x+2)(8k+4) = 0.3+ 5=1，828k+48k+ 4因为 X+2WQ 所以 x+2=4k2+ 1,即 XQ+2=4k2+ 1.得(1 + 4k2)x2=8,则 xP=-8-. 1 + 4ky= kx,由题意，直线 OP的方程为y=kx.由x2 y26十 万=1, 82因为

12、AQAR=3OP2,所以 |xq(2)| |0( 2)|=3xP.8k+ 44k2 + 1X2=3X1+84k2,解得 k= 1,或 k= 2.当k=1时，直线l的方程为x- y+1=0,当k= 2时，直线l的方程为2x+ y+ 5= 0.【总结与反思】涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.【如、课堂运用,x2 y21.直线y= kx- k+ 1与椭圆g+彳=1的位置关系是X2 y22,已知椭圆C: O2 + b2=1（ab0）, F（g2, 0）为其右焦点，过

13、F且垂直于X轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为答案与解析1 .【解析】由于直线y=kx-k+1 = k（x- 1）+1过定点（1, 1）,而（1, 1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交.【答案】相交2 .【解析】由题意,c= ,2,b21=1，a2= b2+ c2, 口 a=2, 广X2 V2解得be 所以椭圆c的方程为X4+y2=1-X2 y2 【答案】24+y2=1x2 *1 1 一. 一 1.椭圆，+y2=1的弦被点 1,平分，则这条弦所在的直线方程是2.焦点分别为(0, 5或)和(0, 5也)的椭圆截直线y=3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标，1， 一一、，一为2,求此椭圆方

14、程.答案与解析1.【解析】设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x+x2=1,y+y2=1. x2 cx2 c因为A, B在椭圆上，所以+y2= 1, + y2= 1.(XI + X2)(X1 X2)y1 y2x1 + x211+ (yiy2)(y1 y2)即=-2y =-?即直线 AB 的斜率为一?所以直线111r一AB 的万程为 y-=- 2 x-2 ,即 2x + 4y-3=0.2x+ 4y3 = 02.【解】x2/设 言+ = 1(ab。)，且 a2b2 =(5/2)2=50.x2 y22+ 12= 1由 b a ,得(a2 + 9b2)x212b2x+ 4b2-a2b

15、2=0,y= 3x- 2x1+ x2因为-216b211,所以1,所以a/,此时Z0,1.设椭圆x2C：尹y2b2= 1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A, B两点,3a2+ b2第9页/共12页直线l的倾斜角为 60 , AF = 2FB.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果AB = j,求椭圆C的方程.答案与解析1.【解】设A(xi,(1)直线l的方程为y1), B(x2, y2)(y10),y= V3(x c),其中 c= x/a2 b2.y联立 2xa3 x2Lb2c消去 x,得(3a2+b2)y2+2y3b2cy3b4=0,解得 y1=一,3b2(c+ 2a)43b

16、2(c2a)y2=3a2+b2一 一x/3b2(c+ 2a)因为AF=2FB,所以一yi=2y2,即3a2十标-V3b2(c-2a)- c 2=2 q 2 b2，斛仔曷心率 e，= = 3 3a i ba 312 4 ：3ab2(2)因为 AB =、y1 + 3|y2 yi,所以 忑 3+b2=15 4 c 25515t-由a=3倚 b= 3a-所以4a=T,倚 a第11页/共12页=3, b = 55.所以椭圆C的方程为L直线话船覆I的判断、 有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及

17、设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.【厮课后作业22x y1 .若椭圆 y- 1的弦被点(4, 2)平分，则此弦所在直线的斜率为36922 .过点M(2, 0)的直线m与椭圆X+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1W0)直线OP的斜率为k2,则kk2的值为.2X9 一 一 一3 .斜率为1的直线l与椭圆一 y 1相交于A、B两点，则AB的最大值为.434.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-V3, 0)和F2(V3, 0),且椭圆过点1, -2 (1)求椭圆的方程;l交椭圆于M, N两点，A为椭圆的左顶点，试判断6(2)过点一,

18、 0作不与y轴垂直的直线5/MAN的大小是否为定值，并说明理由.答案与解析2.3.4 1054.(1)由题意，即可得到x4+y2=1.6(2)设直线MN的万程为x=ky-,5联立直线 MN和曲线C的方程可得,6 x= ky-5,Z+y2=i,/口 22 1264得(k2 + 4)y2ky五=0, 525设 M(xi, yi), N(x2, y2), A(2, 0), yiy2=6412k25 (k2+4) yi+y2=5(k2+4)第i0页/共i2页则AM AN=(xi+2, yi) (x2+2,C .、4i6 . rr 一 兀y2)= (k2+ i)yiy2 + 5k(yi+ y2) + 2

19、5= 0,即可得 / MAN =2.【巩固】i,已知椭圆4x2+ y2= i及直线y=x+ m.(i)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 叵,且椭圆经过点M(4, i),直线2l:y x m交椭圆于不同的两点 A, B.求该椭圆的方程;(2)求实数m的取值范围.3.椭圆ax2+by2=i与直线x+yi = 0相交于A, B两点，C是AB的中点，若 AB=2V2,2OC的斜率为七,求椭圆的万程.答案与解析4x2+ y2 = i,i.【解】(i)由得 5x2+2mx+m2i = 0.y= x+ m,

20、因为直线与椭圆有公共点，所以A= 4m220(m2i)邛 解彳导乎5故m的取值范围为(2)设直线与椭圆交于 A(xi, yi)、B(x2, y2),由(i)知，5x2+2mx+m2i = 0,2m i -所以 xi+x2=-y, xix2=-(m2-i).设弦长为 d,且 yi y2= (xi +m)(x2+m) = xi x2,所以 d = V(xi x2)2 + (yi y2)2 = ,2(xi 一 x2)2 = y2(xi+ x2)2 4xix2=24m 4, 22725-5(m2-i)=5、8m2.所以当m=0时，d最大，此时直线方程为 y=x.2. (1)由题意可设椭圆的方程为2 y

21、 b2第15页/共12页4b2.又因为椭圆过点M(4,1),所以162 a1b2由解得b2 5, a220,2 x 故椭圆的方程为一202y_5(2)将 y2 xx m代入一 202 y_ 5-1 ,整理，得5x2 8mx4m2 20 0,由题意知28m 20一 24m 200,解得 5 m5,所以实数m的取值范围为3.【解】解法一：设 A(x1, y1)、B(x2, y2),代入椭圆方程并作差，得a(x1 +X2)(X1 X2)+b(y1+y2)(y1 y2)= 0./一y2 而 x1 x2y1 + y2=-1,= koc =x1+ x2岑，代入上式可得b = V2a.由方程组ax2+by2 = 1,x+ y1= 0得(a+ b)x2 2bx+ b- 1 = 0,所以x1 +2bb- 1x2=, x1 x2 =a+ba+ b2b再由AB=1 + k2侬一刈=42恒2 刈=242,得o .a+b-4b1 =4,a+b将b=42a代入得a =；所以b=9 .所以所求椭圆的方程是 x2+等ax2+ by2= 1,解法二：由x+ y= 1得(a+ b)x2 2bx+ b-1 = 0.设