4.6正弦定理和余弦定理

1、4.6正弦定理和余弦定理、考点梳理1.正弦定理:ab_sin A sin Bsnc=2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)a : b : c= sin_A : sin_B : sin_C; (2)a=, b=, c= ;(3)sin A= 2aR， sin B= 2R, sin C= 2R等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理:,b2=,c2=.余弦定理可以变形:2,22 2,222,22.b + c aa + c ba + b ccos A=, cos B =, cos C =2bc2ac2ab3.10 abc= gabs in C= gbcs in A= qacs

2、 in B =abc iNR = 2（a + b + c） r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R、r.A为锐角A为钝角或直角图形Aa d关系式a = bs in Absin Aa bab解的个数一解两解一解一解4. 在厶ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下:难点正本疑点清源1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大, 即在 ABC 中，AB? ab? sin Asin B.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径:（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.、典例研析题型一利用正弦定理解三角形例1 在厶ABC中

3、，a=3, b= 2, B = 45求角A、C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.解由正弦定理得 誌=孟，snA=sdrsin A =/ ab, A = 60或 A= 120当A= 60时,C= 180 45 60 = 75bsi n C = V6+V2sin B =2当 A= 120时，C= 180 45 120= 15,bsi n C6 2c= nB =厂.题型二利用余弦定理求解三角形在厶ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且cos Bcos Cb2a+ c(1)求角B的大小；若 b =13, a + c=

4、4,求厶ABC的面积.思维启迪：由举 =，利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+ c解(1)由余弦定理知：a2+ c2 b2a2+ b2 c2cos B =2ac ，cos C = 20b :将上式代入cos B =cos Ca2+ c2 b22abb2aca2+ b2 c22a + c，/ cos B=a2+ c2- b22acac2ac/ 0Bn, B= I n整理得：oooa2+ c2 b2= ac.(2)将 b = ,13, a + c= 4, B= |n代入 b2= a2+ c2 2accos B, 得 b2= (a+ c)2 2ac 2accos B,13= 16 2

5、ac 1 2 , - ac= 3. S = 1 口 3也-SAabc= 2acsin B= 4题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2012课标全国)已知a, b, c分别为 ABC三个内角 A, B, C的对边，acos C +;3as in C b c= 0.(1) 求 A;(2) 若a = 2, ABC的面积为，3,求b, c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A;面积公式和余弦定理相结合，可求出 b, c.解 (1)由 acos C + . 3asin C b c= 0 及正弦定理得 sin Acos C + . 3sin As in C sin B sin C

6、 = 0.因为 B = n A C,所以 3si n Asi n C cos As in C sin C= 0.由于sin Cm 0,所以sin A扌=2.n又 0A n,故 A=.31 ABC 的面积 S= 2bcsin A = . 3,故 bc= 4. 而 a2= b2+ c2 2bccos A,故 b2 + c2= 8.解得b= c= 2.三、真题精选1. （2012福建）已知 ABC的三边长成公比为,2的等比数列，则其最大角的余弦值为2 .（ 2013年高考湖南（文）在锐角也ABC中，角A,B所对的边长分别为 a,b.若2sin B= Jb.则角A等于()Jt31JI71A.B.C.D

7、.346123 . （ 2013年高考陕西卷（文）设厶ABC的内角A, B, e所对的边分别为a, b,c,若bcosC ccosB 二 as in A,贝忆ABC勺形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定31314 .（ 2013年高考课标H卷（文） ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b=2,B=.6Q,则厶ABC的面积为()A. 2+2B.+1C.2 -2D.-15 . （ 2013年高考课标I卷（文）已知锐角 ABC的内角A, B,C的对边分别为2a, b,c , 23cos A cos2A = 0 , a = 7,c=6,则 b二A. 10B.6

8、. （ 2013年高考北京卷（文）D. 5 1)在厶 ABC 中，a =3,b = 5 , si nA ,则 sin B =3C. 81A.-5B.eV3D. 17.【2012高考广东文6】在厶ABC中，若 A =60 , - B = 45 , BC二2，则AC =A. 4 ,3B. 2 3C. 3D.8. 【2102高考北京文11】在厶ABC中，若a=3, b= 3 , /,则/ C的大小为 。39. 【2012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为 a, b, c,若a=2 ,B= ，c=2、3，则 b=.6 四、课时训练一、选择题一、选择题（每小题5分，共20分）

9、1. （2012 东）在厶 ABC 中，若/ A= 60 / B = 45 BC= 3*2,贝U AC 等于 （）A. 4 ,3B . 2 3C. 3Dr2. （2011浙江）在厶ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c若acos A= bsin B,贝U2sin Acos A+ cos B 等于（）1 1A . 2B*2C. 1D . 13. 在厶ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边，若 a= 2bcos C,则此三角形一定 是A 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4.(2012 湖南) ABC 中，AC = 诉，BC =

10、 2, B= 60 贝U BC边上的高等于( )A汁B晋_3 + . 6_ . 3+ . 39C. 2D.45.已知圆的半径为 4, a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc= 16 ,2,则三角形的面积为( )A. 2 .2B. 8.2C. 22二、填空题（每小题5分，共15分）n16. （2011 北京）在厶 ABC 中，若 b= 5，/ B= 4, sin A= 3,贝V a=.7. （2011福建）若厶ABC的面积为（3, BC = 2, C = 60则边AB的长度等于 & 在厶 ABC 中，若 AB = 5, AC = 5,且 cos C=彩，贝卩 BC =.三、解答题洪22分）9. （10分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足cos A=攀，AB AC=3.求厶ABC的面积；（2）若b + c= 6,求a的值.2B + C710. （12分）在厶ABC中，a、b、c分别为角 A