在实际应用中柯西积分公式的用途_正文

1、在实际应用中柯西积分公式的用途1 前言 复变函数论是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展，其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；

2、柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义 通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对复变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去 2 预备知识 2.1 柯西积分定理 设函数在平面上

3、的单连通区域内解析，为内任一条周线，则 2.2 推广的柯西积分定理 设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则 2.3 复周线柯西积分定理 设是有复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则 2.4 柯西积分公式设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解析，在上连续，则有 () 3 柯西积分公式的推论 3.1 解析函数平均值定理如果函数在内解析，在闭圆上连续，则 ， 即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数 证：设表示圆周，则， 即 ， 由此 ， 根据柯西积分公式 3.2 高阶导数公式设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有 这是一

4、个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明引理 设是一条可求长的曲线，是上的连续函数，对于每个自然数及复平面上的每个点，定义函数 那么每个在区域上解析，且 证明：首先证明是区域上的连续函数，即要证明，对于内的任意点，不论多么小，总存在，只要（在内的点），就有因为 (1) 所以 （2）因为在上连续，所以存在某个常数，使得对于上一切点，设与的距离为那么对于任意及，有于是有（2）得 ，其中为曲线的长令 取 那么，当，就有其次证明在区域上解析，且满足

5、，在内任取一点，设，由（1）得 ，因为，所以对于满足不等式的每个，在上连续根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在上定义了一个变量的连续函数，因此，当时的极限存在，即 对于内的一切均成立下面使用这个引理证明高阶导数公式:证明：由柯西积分公式，对于内的任意点，有 ，记根据引理， 即 3.3 柯西不等式设函数在区域内解析，为内一点，以为心作圆周，只要及其内部均含于，则有 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式应用上面得到的定理，则有 注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关3.4

6、刘维尔定理有界整函数必为常数 证：设的上界为，则在柯西不等式中，对无论什么样的，均有于是命时有 ，上式对一切均成立，让，即知，而是平面上任一点，故在平面上的导数为零，所以，必为常数3.5 摩勒拉定理若函数在单连通区域内连续，且对内任一周线，有 ， 则在内解析证：在假设条件下，即知 在内解析，且但解析函数的导函数还是解析的即是说在内解析 4 奇点在积分路径上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复

7、杂，甚至求不出结果下面结合Holder条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式定义1 设是复平面内的简单逐段光滑曲线，函数在上连续，在附近无界，在上的两边各取一点，若 存在，则称此极限值是沿的奇异积分，记为 定义2 设是复平面内的简单逐段光滑曲线，函数在上连续，在附近无界，以为心、充分小的正数为半径做圆周，使它与的交点恰为，若极限存在，则称此极限值是沿的柯西主值积分，记为 定理1 设施光滑曲线，取正向，若满足Holder条件，即 （其中都是实常数，是上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有 证：又 （其中为上任意连续分支，），为当从沿变动到时的

8、幅角改变量，当即时，它的极限值为又因为满足Holder条件，即 而，则积分 存在于是，得 定理2 若是简单逐段光滑曲线，是以为边界的有界单连通区域，在内解析，在上连续，在的邻域有 为常数 则 证：以为心，充分小的为半径作圆，在上取下一小段弧，在内得到圆弧，取正向，有柯西积分定理 设的参数方程为 故 定理3 设区域的边界是周线（或复周线），在内解析，在上连续，且在上满足Holder条件，则有 此式称为在边界上的柯西积分公式证：满足Holder条件，则有 那么由定理1知： 而 于是由定理3得 故有 另外，当是复平面内的简单逐段光滑曲线，函数在上连续，在附近无界，以为心、充分小的正数为半径做圆周，使

9、它与的交点恰为，若极限不一定存在因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时在边界上的柯西积分公式也不能确定5.3 柯西积分公式的方法与技巧 柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数在内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域内存在到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求

10、解能力的培养当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线内含有分母的一个零点而分子在内处处解析（即对，或，在内，而在内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分而在有理函数情形，若内含有分母一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积6 举例应用 例1 计算积分 解：化为，即内有奇点，作以和为心的位于内的互不相交且互不包含的小圆周和，依复闭合定理与柯西积分公式，有 例2 计算积分 （1），（2）分析：（1）和（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，（1）的结果很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯

11、西积分定理（2）应为奇点在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3条件，可利用定理3求值解（1）直接用柯西积分定理得 （2）因为 又有柯西积分公式有 由定理3有 所以 例3 计算积分分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了解： （其中经过定积分的计算可以得到积分） 设，满足Holder条件，且的奇点在积分路径上，由定理3得 （其中是连接和的一段弧，则是闭曲线） 由约当引理知所以 例4 求积分 （1）（2）（3）解：（1），则由于选取在内解析，在上连续，故由柯西积分公式有： （2），可见，而因此将被积函数做如下变形：

12、选取，在内解析，在上连续，故由柯西积分公式有： （3），则这样内有两个点依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之，有： 例5 计算积分 解：有高阶导数公式可得： 例6 计算积分 解：被积函数 在区域内有两个奇点，运用挖奇点法，分别以为圆心作互不相交的小圆且包含在内由柯西积分公式和高阶导数公式有 例7 求积分，其中为整数 解：当时，在上及其内部解析，由柯西积分定理得 当时，由柯西积分公式得 当时，由高阶导数公式知： 参考文献 1 钟玉泉.复变函数论M.北京:高等教育出版社,2009 2 孙清华,孙昊.复变函数内容、方法和技巧M.武汉:华中科技大学出版社,2003 3 西安交大.复变函数第四版M.西安:高等教育出版社,2007 4 杨丽,张伟伟.柯西积分公式的应用J.沧州师范专科学校学报.2006,22 (3):65-67 5易才凤,潘恒毅.柯西积分公式及其在积分中的应用J.江西师范大学学报.2010,34 (1):5-7,12 6 邱双月.复积分的计算J.邯郸学院学报.2009,19 (3):57-60 7 朱茱,刘敏.在积分路径上的柯西积分公式J.阜阳师范学院学报.2004,21 (4):60-63 8 完巧玲.周线上复积分的几种算法J.陇东学院学报.2010,21 (2):7-99 张庆.Cauchy积分公式及其应用J.唐山师专学报.2000,22 (2)