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文档简介
1、第十一章第十一章 无穷级数习题课无穷级数习题课 (一一)常数项级数常数项级数 解题方法流程图解题方法流程图 Yes判断判断 的敛散性的敛散性1nna 比值法比值法根值法根值法比较法比较法 1 找正项收敛找正项收敛级数级数1nnb 找正项发散找正项发散级数级数1nnc 用其它方用其它方法证明法证明0na lim0nna No 1|nna 1limnnnaa limnnna 1 1 ( 1)nnnau 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 nnab YesNoNoNoYesNoYesNoYes 为正项级数为正项级数1nna 为任意项级数为任意项级数1nna 发散发散1nna 收敛收敛1nna 收敛收敛1n
2、na 发散发散1nna 条件收敛条件收敛1nna 绝对收敛绝对收敛1nna 为交错级数为交错级数1nna 收敛收敛1|nna 且且 lim0nnu 1,nnuu nnca 三、典型例题三、典型例题 ,由定义,由定义 2231223341(1)()()()3333333nnnnnS 113nn 1limlim(1)13nnnnnSS 所以原级数收敛,且和为所以原级数收敛,且和为1。【例【例1】判别级数】判别级数 的收敛性,并求级数的和。的收敛性,并求级数的和。1213nnn 解:解: 由于由于12131133333nnnnnnnnnnna 11limlimnxnxnx 01e 11lnlimln
3、limxxxxxxee1lim01xxeelim10nna由级数收敛的必要条件,原级数发散。由级数收敛的必要条件,原级数发散。【例【例2】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。111()nnnnnnn 解:解: 因为因为11211()(1)nnnnnnnnnannn 而而212211lim(1)lim(1) nnnnnnn6175limlim165( )1( )77nnnnnnn 故由比较审敛法的极限形式,原级数收敛。故由比较审敛法的极限形式,原级数收敛。 【例【例3】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。1675nnnn 解法解法1:此级数为正项级数,:此级数为正项级数,675nnnna
4、 而级数而级数 为等比级数收敛,为等比级数收敛, 16( )7nn 解法解法2:由比值审敛法:由比值审敛法1111675limlim675nnnnnnnnnnaa 116(75 )lim75nnnnn 156(1( ) )67lim1571( )7nnn 故由比值审敛法知原级数收敛。故由比值审敛法知原级数收敛。111 211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn 12nnn 收敛,故由比较审敛法,原级数收敛。收敛,故由比较审敛法,原级数收敛。【例【例4】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。21cos32nnnn 解:此级数为正项级数,解:此级数为正项级数, 2cos322nn
5、nnnna 2nnnv 令令 【例【例5】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。1!nnna nn 解:令解:令 !nnna nun 111(1)!(1)limlim!nnnnnnnnanuna nun limlim11(1)nnnnnaaanen 由比值审敛法,当由比值审敛法,当 时,原级数收敛;时,原级数收敛; ae 当当 时,原级数发散。时,原级数发散。 ae 111(1)nnnueun 1lim0nnnnuuu 所以,原级数发散。所以,原级数发散。 当当 时,时, 比值审敛法失效,注意到比值审敛法失效,注意到 ae 1lim1nnnaa nnn11limlimlim01ln(1)ln
6、(1)nnnnunn故由根值审敛法,原级数收敛。故由根值审敛法,原级数收敛。【例【例6】判断级数】判断级数 的敛散性的敛散性. 1)1ln(1nnn解:此级数为正项级数,解:此级数为正项级数, 1)1ln(1nnnnu【例【例7】判断级数】判断级数 收敛?如果收敛,是条件收敛收敛?如果收敛,是条件收敛 还是绝对收敛?还是绝对收敛? 1( 1)lnnnnn 解:此级数为交错级数,因为解:此级数为交错级数,因为 , 而而 发散发散,11lnnnn 11nn 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛. 因为因为 为交错级数为交错级数, 由莱布尼玆定理由莱布尼玆定理1( 1)lnnnnn 由比较审敛法知由比较审敛法知 发散发散11( 1)1lnlnnnnnnnn 1( )10 (1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛。所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛。 所以所以 在在 上单增,即上单增,即 单减单减 ,( )
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