2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试(二)数学文科试题(含解析)

1、开卷教育联盟 2020届全国高三模拟考试（二）数学（文科）时量：120分钟 满分：150分注意事项:1 .答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）.21 .已知集合A x |xx 2 0 , B Z ,则 AI BA. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. 12 . i是虚数单位，复数202067

2、iii，那么zB. 3C. 1D. ,24 .下列说法正确的是（A.在ABC中，a,c分别为角A,B,C的对边,a2 b2C2是ABC为锐角三角形的充要条B.2X01 0,x R,C.若p q为假命题，则P,q均为假命题D.若 一，则sin6的否命题是若4.已知点F1，F2分别为椭圆M在椭圆C上，线段MF1的22C : -2 221(a b 0)的左、右焦点，点a b中点在y轴上，若 F2MF160°,则椭圆的离心率为（）1A. 一 6B.C 11C.65.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（A. 12B. 4P 8.2C. 3D.166.若曲线yxe在x 0处的切

3、线，也是 ylnx b的切线，则bA. 1B. 1C. 2D.7.已知uurABuurADuuir 口 uuurAC，且 ACuurBD门" uur则AB1A.一2B.1C.一2D.1a b28.已知函数f（x）g (x)cosf （x）是周期为的偶函数,g x可以是（）A. cosxB.sin xC.cosD. sin x 一49.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A. 一3B.163C.203D. 810.四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面ABCD是正方形，且PA AB 2,则直线PB与平面PAC所成角为（）A.一6B.-4c.一3D.一211.若对于

4、任意 xC R 都有 f (x) + 2f ( x) =3cosxsinx,则函数 f (2x)图象对称中心为（）A. (kk -, 0) ( kCZ)kB. ( kp- J 0) (kJ)(kJ)D.0)28(kJ)12.已知函数2x2 10g22,x 1,则函数F x fx 1 ,x 12f3心小人的零点个数是（2A. 4B. 5C. 6D. 7、填空题（本题共每小题5分，共20分.）13.设函数f2x1,x 07,x 0214.直线l将圆x2x 4y0平分，且与直线x 2y 0垂直，则直线l的方程为x15 .设变量x, y满足约束条件 xy 0y 1 ，则z 22x y的最大值为2y 1

5、2 A7一16 .在 ABC 中，A, B , C 的对边分别为 a, b, c,且满足 4cos cos2(B C) a 2,则 ABC 22面积的最大值为.第1721题为必考题，每三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.设数列an的前n项和为Sn,且41n 2 时，n 1 Sn 2nSnSc.1 n n 1 .证明 1为等n比数列，并求数列 an的通项公式.18.由507名画师集体创作的 999幅油画组合而成了世界名画蒙娜丽莎，某部门从参加创作的 507名画师中随机抽出100名

6、画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示2015 加.5 40 »军龄，岁(1)求a , b的值，并补全频率分布直方图;(2)根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；(3)在抽出的 20,25岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少?分组(岁)频数频率20,2550 05025,30a0.20030,3535b35,40300.30040,45100100合计10019 .如图，已知三棱锥P ABC的平面展开图中，四边形为ABCD边长等于J2的正TBE和BCF 均为正三角形，在三棱锥中P ABC :(I

7、 )证明：平面PAC 平面ABC ;(n)求三棱锥P ABC的表面积和体积20 .设抛物线C: y2 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A, B两点，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.21.已知函数ln x 1(1)求函数的单调区间和极值;(2)证明:ln 222ln 3322ln n 2n n 1、,* 八2- n N , n 2 .n 4 n 1(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第题计分.x22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 参数方程为y4cos4sin为参数)，以。为极

8、点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(I)求曲线C 极坐标方程;(n)设直线l与曲线C相交于A, B两点，求23.设函数f (x) 5AB的值.xx) 0的解集(1)当a 1时，求不等式(2)若f(x) 1恒成立，球x a的取值范围一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.) .21 .已知集合 A x|x x 2 0 , B Z,则 AI B ()A. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. 1【答案】C【解析】 【分析】求出集合A的范围，根据集合 B为整数集，即可求得 A B .【详解】解不等式可得集合A x| 1 x 2因为集合B Z所以A B

9、0,1所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题.2 . i是虚数单位，复数z i2020 i6 i7 ,那么z ()A. ,.5B. 3C. 1D. . 2【答案】C【解析】【分析】 n*根据i n N 的取值即得.【详解】i4 1,.台物.2020. 6.7.4505.4.2.4.3/.2.3.>里数 ziiii i ii i1iii ,那么 z 1 .故选：c.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3 .下列说法正确的是()A.在 ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，则a2 b2 c2是 ABC为锐角三角形的充要条 件B.若

10、p ： Xo R, x； x 1 0,则 p ： x R, x2 x 1 0C.若p q为假命题，则p , q均为假命题D.若1 ,人-”的否命题是若2【答案】D【解析】【分析】对选项逐个验证，即得答案【详解】对于A, a2 b2 c2,则C为锐角，但C为锐角时ABC不一定为锐角三角形，是必要不充分条件，故A错误；2对于 B,命题 p : Xo R, Xo X0 1 0,则 p ： x R, x2 x 1 0, B 错误;对于c,若p q为假命题，则p, q至少有一个为假命题， c错误；1 .1 .对于D,右 ，则sin -的否命题是 若石，则sin - , .1. D正确.故选：D.【点睛】

11、本题考查充分必要条件、命题的否定、命题的真假及否命题，属于基础题22x y4.已知点F1，F2分别为椭圆C ： 1(a a bb 0)的左、右焦点，点M在椭圆C上，线段MF1的中点在y轴上，若 F2MF160°,则椭圆的离心率为(1A.一6【答案】D【解析】【分析】B.3C.6D.Jb2由题意,，在直角F2MF1中，得到知点 M在椭圆C上，线段 MF1的中点在y轴上，求得 M (c,)'aF1F2 石|MF2 ,整理得V3e2 2e 73 0,即可求解，得到答案【详解】由题意，知点 M在椭圆C上，线段MF1的中点在y轴上，可得点 MF2 x轴,且点Mb2（c,一），a所以在直

12、角 F2MF1中,FR2c,且 F2MF1 600,所以FRV3|mf2 , b4即 2c x/3 2ac T3（a2 c2）,整理得 T3c2 2ac J3a2 0, a两边同除a2得房2 2e 有 0,解得e Y3或e73 （舍去），故选D.3【点睛】本题考查了椭圆的几何性质一一离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是c解答的关键.求双曲线的离心率（或离心率的取值范围）,常见有两种万法：求出 a,c，代入公式e ；a只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式）,解方程（不等式），即可得e（e的取值范围）.5.一圆锥的侧

13、面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A. 12B. 4C. 8、2D. 1633【答案】A【解析】【分析】1 一设底面圆的半径为r,则2 r - 2 4,所以r=2,再求圆锥白表面积.2 1【详解】设底面圆的半径为r,则2 r 2 4, r 2,21 o所以圆锥的表面积为22 + 42=12 .2故选A【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.若曲线y ex在x 0处的切线，也是 y ln x b的切线，则b （）A. 1B. 1C. 2D. e【答案】C【解析】y lnx b相切的切点为（m, n）,得【分析】 求出

14、y ex的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线m, n,进而得到b的值.y Inx b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得【详解】函数y ex的导数为y'=ex,曲线y ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1,则曲线yex在x=0处的切线方程为 y-1 = x;1 一. 1 一函数y lnx b的导数为y =,设切点为(m n),则一 =1,解得m= 1, n=2, xm即有2=ln1+b ,解得b=2.故选A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题.uur uuruur 厂uuiurruurr iuur7 .已知 AB ADAC，且ACa，B

15、Db，则 AB()A.B.D. 1a b【答案】A【解析】【分析】根据向量的加减法运算，列方程组即可求AB.uuu 1 rAB - a2uuuvuuuvv，八ABADv【详解】根据条件uuuvuuvv ,ADABb故选：A.偶函数，则g x可以是()【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题8 .已知函数f(x) g(x)cos x ,若函数f(x)是周期为4A. cosxB. sin xC. cos x 4D. sin x 一4【答案】D【解析】【分析】分别代入化简.【详解】当 g(x) c0sx 时，f(x) cosx cos x 41-sin 2x2当 g(x) cos x 时，f (x

16、)4coscos1sin2x 2此时f(x)是非奇非偶函数，周期为 当 g(x) sin x 时，f(x) sinxcos x此时f(x)是非奇非偶函数，周期为此时f(x)是非奇非偶函数，周期为当 g(x) sin x 一时, 4f(x) sin x cos x 一 441 .一 sin22x 21cos2x , 2此时f(x)是偶函数，周期为 故选D.【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质9 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(【答案】BD. 8由图可知该几何体底面积为 8,高为2的四棱锥，如图所示: 116，该几何体的体积V 8 2 33故选B 点睛：思考三视图还原空间

17、几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽2,则直线PB与平10 .四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD ,底面 ABCD是正方形，且 PA AB面PAC所成角为（）A.B.一4C.一3D.一2【答案】A【解析】【分析】连接AC交BD于点O ,连接OP ,证明BO 平面PAC ,进而可得到 BPO即是直线PB与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接 AC交BD于点O ,因为PA 平面ABCD,底面ABCD是正

18、方形，所以BD AC , BD PA ,因此BD 平面PAC ;故BO 平面PAC ;连接OP,则 BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA AB 2,所以PB 2后，BO J2.一.BO 1所以 sin BPO 一，所以 BPO .PB 26故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型11.若对于任意xC R都有f (x) +2f ( x) =3cosxsinx,则函数f (2x)图象的对称中心为(A. (kL0)(kCZ)C. (kL0) ( k”)【答案】D【解析】【分析】利用解方程组的方法求函数f (x)解析式，可得图象的对称中心.kB.

19、0) ( kC Z)kD. ( 一 ，0) ( kC Z)f (2x)的解析式，再根据正弦函数的对称性，可得f (2x)【详解】.对任意xCR,者B有f (x) +2f ( x) =3cosx sinx，用一x 代替 x,得 f ( x) +2f (x) = 3cos ( x) - sin ( - x),即 f ( x) +2f (x) = 3cosx+sinx；由组成方程组，解得 f (x) = sinx+cosx= 72sin (x+ 一),4. f (2x) = 72sin (2x+).4k令 2x+ - = k& k Z,解得 x=一，函数f (2x)图象的对称中心为(k, 0

20、), kC Z,28f (x)的解析式是解题的关故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，其中利用解方程组的思想求函数键.x2212.已知函数f xA. 4,x 132,则函数F x f | f x 2 f x 一的零点个数是(log2 x 1 | ,x 1B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：令 t=f (x) , F (x) =0,(t) - 2t - - =0, 23分力1J作出y=f (x)和直线y=2x+ ,由图象可得有两个父点，横坐标设为2t1, t2,则 t1=0 , 1vt2<2,即有f (x) =0有一根；1vf (x) <2时，t2=f (x)有3个

21、不等实根，综上可得数 F (x) =ff (x) - 2f (x)-的零点个数是 4.2点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x.F (x) =0的实根个数为4,即函、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.设函数f x【答案】3【解析】【分析】2x 1,xx 7,x根据解析式，讨论m0和m 0两种情况，即求m的值.【详解】函数f x2x 1,x 0 r,若fx 7,x 07,当m 0时,2m7 ,解得m 3.当m 0时，m 7 7,解得m 0,舍去.故答案为：3.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题14.直线l将圆x2 y2 2x 4y 0平分，且与直线

22、x 2y 0垂直，则直线l的方程为【答案】y 2x【解析】0化为,所以试题分析：设与直线x 2y 0垂直的直线方程：2x y b 0 ,圆x2 y2 2x 4y22_x 1 y 25,圆心坐标1,2 .因为直线平分圆，圆心在直线2x y b 0上2 1 1 2 b 0,解得b 0,故所求直线方程为 y 2x.考点：1 .直线与圆的位置关系；2 .直线的一般式方程与直线的垂直关系.【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知 直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可.x y 015.设变量x , y满足约束条件 x y 1 ,则z 2

23、2x y的最大值为.x 2y 1【答案】4【解析】【分析】作出可行域.设m 2x y ,得y 2x m.当m取得最大值时，z取最大值，数形结合即得.【详解】设m 2x y,得y 2x m,作出不等式组对应的可行域（阴影部分），x y 1x 2y 1平移直线y 2x m,由平移可知当直线 y 2x m经过点C时,直线y 2x m的截距最小，此时 m取得最大值,1，即 C 1,0 .0将C的坐标代入m 2x y,得m 2 ,此时z 22x y的最大值z 2 4,即目标函数z 22xy的最大值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题16.在 ABC中，A, B, C的对边分别为

24、面积的最大值为.【答案】,3【解析】 A+B+C=,2 A 4cos cos2(B C) 2(1 cos A) 221-2cos A 2cos A - 0 . cosA 2. a 2,由余弦定理可得：4b2c21 .1.bc 4 S aabc - bcsin A - 4 一2 22 A7,b,c,且满足 4cos cos2(B C) 一，a 2,贝 U ABC2227cos2A 2cos A 2cos A 3 一 , 2一，sin A 22bc 2bc bc bc ,（当且仅当b=c=2,不等式等号成立）点睛：本题是解决解三角形问题，需用到二倍角公式，三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点

25、多,计算需要细心，特别是注意边角互化的应用.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.Sn .、17.设数列an的前n项和为Sn，且a1 1, n 2时，n 1 Sn 2nSn 1 n n 1 .证明1为等 n比数列，并求数列 an的通项公式.【答案】见解析，an n 1 2n 1 1【解析】Sn1n等比数列.求出Sn,再求an.【详解】证明：数列an的前n项和为Sn,且ai2nSn 1 n n 1 .S所以Sn2nSm所以数列Sn2_Sn_!n 1是以1,即邑

26、1n2为首项,2为公比的等比数列.则Snn,On2 ,2时,anSnSn 11,1时,a11 (符合通项公式)，Sn ,由 n 1 Sn 2nSn 1 n n 1 ,得1 n故an【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题18.由507名画师集体创作的 999幅油画组合而成了世界名画蒙娜丽莎，某部门从参加创作的 507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示楹帛(1)求a , b 值，并补全频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；(3)在抽出的 20,25岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画

27、比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？分组(岁)频数频率20,2550.05025,30a0.20030,3535b35,40300.30040,45100.100合计1001.003【答案】(1) a 20,b 0.350,见解析；(2) 33.5岁；(3)-.5【解析】【分析】(1)由频率分布表可求 a , b的值；(2)平均数等于频率分布直方图中所有小矩形的底边中点乘以其面积的和；(3)列举法求出五人中任选两人的所有基本事件数，一男一女所包含的基本事件数，根据古典概型的概率 计算公式，即得所求概率.【详解】(1)由频率分布表得 a 100 0.200 20,35b 0.350 ,100

28、补全频率分布直方图如图所示.(2) 507名画师年龄的平均数的估计值为22.5 0.05 27.5 0.2 32.5 0.35 37.5 0.3(3)三名男画师记为 a , b , c ,两名女画师记为 五人中任选两人的所有基本事件如下：a,b , a,c , a,1 , a,2 , b,c , b,1 ,其中一男一女的是a,1 , a,2 , b,1 , b,242.5 0.1 33.5 （岁）.1, 2,b,2 , c,1 , c,2 , 1,2 ,共 10 个基本事件,c,1 , c,2 ,共6个基本事件，63选出的恰好是一男一女的概率 p 3.10 5【点睛】本题考查频率分布直方图和古

29、典概型，属于基础题19.如图，已知三棱锥PABC的平面展开图中，四边形为ABCD边长等于 J2的正方形,ABE和 BCF均为正三角形，在三棱锥中 P ABC :(I )证明：平面PAC 平面ABC ；(n )求三棱锥P ABC的表面积和体积.1【答案】(I )详见解析(n)表面积2 J3,体积-3【解析】【分析】(I )由题意知 APC和 ABC为等腰三角形，可取AC中点O,连接PO,OB可证明PO 平面ABC,然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；(n)求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由 po 平面ABC ,利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：(I )设AC的中点为O ,

30、连接BO , PO.由题意，得 pa pb pc 72, PO 1, AO BO CO 1.因为在 PAC中，PA PC , O为AC的中点，所以PO AC.因 在 POB 中，PO 1, OB 1, PB 42,PO2 OB2 PB2 ,所以 PO OB.因为 AC OB O, AC, OB 平面 ABC ,所以PO 平面ABC ,因为PO 平面PAC ,所以平面PAC 平面ABC .(n)三棱锥P ABC的表面积S亚无2 虫.2 22 33,1V 一 Sabc PO 3由(I )知，PO 平面ABC ,所以三棱锥 P ABC的体积为11:12 -.2 1 3 23【点睛】本题考查线面垂直，

31、面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空 间想象能力和计算能力.20.设抛物线C: y2 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A，B两点，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程. 2222【答案】 y=xT,(2) x 3 y 216或 x 11 y 6144.【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得 AB x1 x2 p,再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；(2)先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，

32、最后写出圆的标准方程 详解：(1)由题意得F (1, 0) , l的方程为y=k (xT) (k>0)设 A (x1，y1)，B (x2, y2)y k x 12 222由 2 得 kx 2k 4 x k 0 .y2 4x16k2 16 0，故 x1 X22k2 4k2所以 AB AF BF x 1x2 14k2 4k2由题设知4k2 4k28 ,解得 k= -1 (舍去)，k=1.因此1的方程为y=x T.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为(X0,y0),贝Uy。x。5,/y。x。1x。 12解得16.X0XoV。yo11,6.因

33、此所求圆的方程为22x 3 y 216 或2x 11144.D E、F的方程组,进而求出DE、F的值.21.已知函数In x 1(1)求函数的单调区间和极值;(2)证明:In 2In 32In n 2nn24【答案】(1)增区间为0.11,极大值为1,无极小值；(2)见解析.(1)函数fx的定义域为0,.求(x) = 0,求出极值点，就x, fx , f x的变化情点睛：确定圆的方程方法(i)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心a,b和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b, r的方程组，从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于况列表即得;(2)由(1)可得fIn x 1x max,2In n ,11-2.由裂项法得n nIn n1n2212n2 ,即可证明结论.【详解】（1） .函数f xInx 1In x因此增区间为0,1 ,减区间为1,极大值为1,无极小值.（2）证明：由（1）可得f xIn x 1 fmax1,由f ' x 0,得x 1 ,列表如下:x0,111,f' x+0-f x单调递增极大值1单调递减In