2020版高考数学一轮复习第12章选修4系列第4讲课后作业理含解析

1、高考数学一轮复习第12章选修4系列：第12章选修4系列第4讲A组基础关1 .设不等式|2x-1|<1的解集为M求集合M(2)若a, b e M试比较ab+ 1与a+ b的大小.解 (1)由 |2x 1|<1 ,得一 1<2x1<1,解得 0<x<1,所以 M= x|0<x<1.(2)由 和 a, b M可知 0<a<1,0<b<1.所以(ab+ 1) (a+ b) = (a 1)( b 1 )>0 ,故 ab+ 1>a+ b.2 .设不等式一2<|x1| |x+2|<0的解集为 M a, bCM1

2、11证明：-a+-b <-；(2)比较|1 4ab|与2| a-b|的大小，并说明理由.解 (1)证明：记 f (x) =|x-1| -| x+2|3, x<-2,=-2x -1, - 2<x<1 ,-3, x>1.11由2<-2x- 1<0 解得-<x<-,I 1 则 M=-.II 1111111所以 a + b wI a| + I b|< x + x =.1 3631 161 1 3 2 6 2 42 12 1(2)由得a%, b<-o9ooo222因为 |14ab| -4|a-b| =(1 -8ab+ 16a b) - 4

3、(a -2ab+b) =(4a -1)(4 b -1)>0.所以 |1 -4ab| 2>4|a-b|2,故|1 -4ab|>2| a-b|.3 .设a, b, c, d均为正数，且 a+ b= c+ d,证明：若 ab>cd,则班+;(2)、囚+4益加十加是| a- b|<| c- d|的充要条件.证明 (1)因为(,+ 也)2= a+b+(y/c + y/d) 2= c+ d+ 2/cd, 由题设知a+b=c+d, ab>cd,得(y/a + 班)2>( y/c + yfd)2.因此 y/a+ c+ 若 |ab|<| c-d| ,则(abV&l

4、t;(cdp,22.即(a+b) 4ab<(c+d) -4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd；由(i)得血+价>钝+，5,即必要性成立；若5>+d,则(a+b)>(yc+*y'd),即 a + b+ 2 ab>c+ d+ 2 cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a- b)2 = ( a+ b) 2-4ab<(c+d)2- 4cd = ( cd)2.因此| a- b|<| c- d| ,即充分性成立.综上，、/a +好>&+,是 ab|<| c- d|的充要条件.4 .已知函数 f(x) =

5、 |x1|.(1)求不等式f (x) >32|x|的解集；b2>4 a2,一一一，、一 a(2)右函数g(x) = f (x) +1 x+3|的取小值为 m正数a,b满足a+b= m求证：上4解 (1)当 x>l 时，得 x-1 >3- 2x? x>4,x>433当 0Vx<1 时，得 1 x>32x? x>2, 无解；22当 xwo 时，得 1 x>3+2x? xw 耳，x< -. 33，不等式的解集为x x>- 或xW 1.33(2)证明：: g(x) = | x- 1| + | x+3| >|( x-1) -

6、(x + 3)| =4, ，m= 4,即 a+ b= 4.由基本不等式得,b2两式相加得2a ,+ b bb"+b>2a, "a"+a>2b,b2 一 ，一+ a a a n2a+2b,a2 b2 -+->a+ b=4,当且仅当 b aa= b= 2时等号成立.能力关1.已知a, b为正实数.a2 b1.(1)求证：a+ b；(2)利用(1)的结论求函数y =2x："(0<x<1)的最小值.Ixa2 b2,解(1)证明：因为b+ - (a+ b)a3 + b3 a2b ab2一 aba2 a-b b2 a-b a-b 2 a

7、+b = =abab,_,. a b又因为a>0, b>0,所以aba+ b>0,当且仅当a=b时等号成立.a2 b2所以工-l> a + b.b a(2)因为 0<x<1,所以 1 -x>0,. 一、“，1 x由(1)的结论，函数 y=-x，r 1 ，一，当且仅当1x=x即x = 2时等号成立.所以函数 y = -一 + 广三(0<x<1)的最小值为 1. x 1 x2. (2018 芜湖模拟)已知函数 f(x) =|x-1| +|x-5|.(1)解关于x的不等式f(x)>6 ;. 、，.一、，,一 111m.、(2)记f(x)的最

8、小值为 解 已知实数 a, b, c都是正实数，且-十=:，求证: a 2b 3c 4+ 2b+3O9.解 (1) f (x) = | x1| 十 |x5|>6 ,x<1,1< x<5,或1 - x+ 5- x>6x 一 1+5- x>6x>5,或x- 1 + x5>6,解得x<0或x>6.综上所述，不等式f (x)>6的解集为(8, 0) U(6, +8).(2)证明：由 f(x) = |x-1| +|x-5| >| x-1-(x-5)| =4(x = 3 时取等号).f (x) min= 4.即 m= 4,a 2b a

9、3c2b 3ca+2b+3c= a+蚩+ia+zb+g =3+ + + 丁+ + + >9.2b a3ca3c 2b3.设a, b, c为三角形的三边长，求证:(1)1<a b cb+ c+ c + a+ a+ b<2'(2)( a+ b- c)( b+ c- a)( c + a - b) < abc.证明(1) .a, b, c为三角形的三边长，a a_2a b b2bc c2ca b c b c a bc'a b c c a a bc'a b c a ba b c'故 1<惠7+橙;十 <2.b+c c+a a+b(2)a=x + y, b=y+z, c=z+x(x, y, z>0),要证明(a+ b- c)( b+ c-a)(