2014年江苏理科数学高考试题及答案

1、2.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合 A= 2, 1,3,4 , B 1,2,3,则 A B .已知复数z (5 2i)2 (i为虚数单位工则z的实部为5 / 173.右图是一个算法流程图，则输出的n的值是4.8.别为V1 , V2 ,若它们的侧面积相等，且0.0300.0250.020则幺的值是V20.0150.0109.在平面直角坐标系 xOy中，直线x 2y3 0被圆80 90 100 110 120 130 底部周长 /cm （第6题）从1,2,3,6这4个数中一次随机地

2、取2个数,则所取2个数的乘积为 6的概率(第3题)5 .已知函数y cosx与y sin(2x )(0w工它们的图象有一个横坐标为一的交点，则 的值6 .设抽测的树木的底部周长均在区间80,130上淇频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.7 .在各项均为正数的等比数列an中，a2 1, a8 a62a4，则a6的值是设甲、乙两个圆柱的底面分别为Si , S2 ,体积分(x 2)2 (y 1)2 4截得的弦长为10 .已知函数f(x) x2 mx 1,若对于任意 x m,m 1,都有f(x) 0成立，则实数m的取值范围 是.2 b11 .在平面直角坐

3、标系 xOy中，右曲线y ax （a, b为吊数）过点P（2, 5）,且该曲线在点 P处的 x切线与直线7x 2y 3 0平行，则a b的值是.12 .如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB 8 , AD 5 , CP 3PD , AP BP 2 ,则 AB AD 的值是.13 .已知f（x）是定义在 R上且周期为 3的函数，当x 0,3）时,21 .f（x） |x 2x 一|.若函数y f（x） a在区间3,4上有10 2个零点（互不相同工则实数a的取值范围是 .2sin C，则cosC的最小值是14 .若 ABC的内角满足sin A J2sin B二、解答题：本大题共6小题，共计90分

4、.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）已知 （一，），sin2求sin（一 ）的值;4，5(2)求 cos(一 6）的值.（第16题）16 .（本小题满分14分）如图，在三棱锥 P ABC中，D, E, F分别为棱PC, AC,AB的中点.已知PA AC ,PA 6,BC 8,DF 5.求证：直线 PA/平面 DEF ；(2)平面BDE 平面ABC .3y2 1（a b 0）的左、右焦点，顶点 B的 b217 .（本小题满分14分）2X如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分力1J是椭圆 a坐标为（0,b）,连结BF2并延长交椭

5、圆于点 A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结FiC.4 1若点C的坐标为（一,），且BF2 J2,求椭圆的方程; 3 3（2）若F1C AB,求椭圆离心率e的值.18 .（本小题满分16分）如图，为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BG同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河 岸AB垂直;保护区的边界为圆心 M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端。和A到该圆上任 意一点的距离均不少于 80m.经测量，点 A位于点。正北方向60m处，点C位于点。正东方向4170m 处（OC为河岸）,tan BCO .3（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？5/ 1

6、719 .(本小题满分16 分 )已知函数f(x) ex e x ,其中e 是自然对数的底数.证明：f (x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)3x m 1在(0,)上恒成立，求实数 m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在xo 1,),使得f(xo) a( x3 3x0)成立.试比较ea1与ae1的大小, 并证明你的结论.20 .(本小题满分16 分 )设数列an的前 n 项和为Sn.若对任意正整数n， 总存在正整数m ， 使得 Snam，则称an是 “ H数列” .13 / 17(1)若数列a n 的前 n 项和 Sn2n(n N ),证明: an 是“ H 数列”(2)设

7、an 是等差数列,其首项a1 1 ,公差 d 0 .若 an 是“ H 数列” ,求 d 的值；(3)证明：对任意的等差数列an ，总存在两个“H 数列” bn 和 cn ，使得 anbncn( n N )成立 .数学n （附加题）21 .选作题 本题包括A、B、C D,请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A.选修4-1:几何证明选讲（本小题满分 10分）如图，AB是圆。的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。证明：/ OCB=ZDB.选彳4-2矩阵与变换:（本小题满分10分）已知矩阵A= 1 2 , B= 11 ，向量“ =2 ,

8、x,y为实数，若A a1x21y=B 3 ,求x+y的值。C.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系 xOy中,已知直线l的参数方程为2（t为参数）刍2,直线l与抛物线2y 4x相父于A、B两点,求线段AB的长。D.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）已知 x 0, y 0,证明：1 x y2 1 x2 y 9xy【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 .（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。从盒中一次随机取出 2个球，求取出的2个球颜色相同的概

9、率 P;X,x2,x3,随机变量 X表示从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为Xl,X2,X3中的最大数，求 X的概率分布和数学期望 E(X)23 .(本小题满分10分)sin x已知函数fo Xsn3(X0),设fn X为fn 1 X的导数，n NX求 2fl _f2 222证明：对任意的n N*,等式nfni fn 迎都成立4442数学I试题参考答案一.填空题1本麓考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计加分.6. 24IU.IL. -3工2215.本小国主要考壹三甭函数的基本关察式.两甯和与差及二倍皓的公式，害查运算求解能 力.满分14分.解XI)因

10、为ICI，由( I ) H 内色北三，iMm nyi 2k一娉)?7T> in2a66-2o故sdnITH ,-+ I* slfLtt0ft2b =1 - 2 s in" a =tr e 宣痴i】ctx§. 所0=im,.5 ITxijKJa + s所以jtH + txH)=-4十3百Ti拈 本小题主要考查直线与直垓、直域与平面以及平面与平面的位置关系.考查空间想象靠力 和推理论证熊力.满分14分.证明；（I）因为小K分别为桢P（ M；的中点，所以OAPl.又因为/J.t5千面DEk. 平面阳， 所以支线凡1/平面U£K（2）因为"& F分

11、别为域PC, AC, AB的中点,P4=6, 二=岂,W U DE/fPA. JJA = J-P4 = 3 T tl =-y-i/r = 4. ，乂因为DF=5,故"尸=口心十£匕所以3EF=州,即摄工££ 又! Lia i）Ef/PA,所以 DEL AU. 因为 AC Fl EF=£ ACC 平面"二 EFU平面 ABC, 所以比，平面MC.乂。EU平面由就.所以平面幽注，平面，诂C.I第U)17.本小题主要考查摘图的标准方程与几何性质、直坡与直线的位置关系等基础知识.考查运 算求解能力.满分14分.解:设推圈的焦距为儿则储Ln。）

12、.广式乙。）.（1）因为赵（。，川，所以白上二=/卜<7? =& 乂 "5=6故=A-16因为点今宁）在描剧上，所%+L解得t;=L 故所求椭回的方程为十1 L（2）因为MQ, &）, F式j 0）在门理 W上.所以点月的坐标为（学M.<O 4 CH （能"题）所以在线,卬的方程为-t =L c b乂北,垂克于支轴，由幡园的对称性，可得点。的坐标为（母冬.年学 f c “F r J因为直线F£的斜翠为 序'=砥LL直缓AH的斜率为-T字鼻_p/且£C_LAE.所以0人?f-l=-I. 乂# =/J.整理得了二短.故虱、

13、+ J I w/5因此一n）如图，以“为型标蛆点j此所在直线为，轴.建立平间立再坐林系*"由条件知乂（0. &J）, CCI7«, 0） T， HC 的制率m tan£JJCf）=又因为力HLHf；.所以在线,1#的斜率%4-设点月的坐标为g.外.riH 6 y。4HH« = 17O = -3解得荏=K（）, A = 20.所以 KC=J（6J 二 KU）4 10 - 120壬=J5（l 因此新桥弁匚的长是15。m（2谟保护区的边扉阿M的半律为r m, QH = inHOWMW（ML 由条件知.直线依的方程为j =-义-170）,即4X + 3y

14、 - 6KO = （）, 曲于阙H与直线昵相切，故寰 阳0.8到直线际的距离是人因为0和.1到回V上任意一点的距离均不少于3。m.所以r- (-3孑S0 .即-(60 - if)'涮 3d解得附*dW35.故当d=】U时，,=6-;3d最大,即凰面枳最反 所以当（JW=】。m时，哒形保护区的面积最太 解法二,1如商，延长04, £户交于有K（第1n题）1免本小盘主要考查初等函戴的基*桂质、鼻数的应用等基酬知识，考查蝗合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力,满分16分. "）证明£明为对任意工修装.都行/t=L+ e-P =尸+ 一人兀所以八G是r上的偶函

15、st2解；由条件知阳Y十一T- 1）df - I在 9上恒成立令y/（工。）.则el.所以一笔-二三时任意01成也r-1 4 1, . 1 ,1 i + jt 因为' f - I + -T + 1 2 /（f - I ） - -r + I ，所以-j号-J 1nJ 1, I . jf - I + + Jt 1当且仅当I 北即mu M2时等号成立，因此实数m的取值范圉是（-肛-y.3 卜解：?函救 #1）=eJ4 - - a（- i4- 3外.则以'（H）=1 一 4 式（J 1）. t?11当文#1时./_，（, /_】#0,又20.故U”0.所以则乃是I.+ «0上

16、的甲潮 e*增函数，因此晨）在】，+工）_L的最小值是（1） =? 4 p- ' - 2u.由于存在与eI, +e）,使4+%j）0成立.当且仅当最小值孤l）a 故十k 一 2日0.即a-7今函数 * )=工-(v 1 ) Llv - 1 9 则 %'(才) = 1 -争 A'(工)=0. j =(:-,lst当玉w(0, r - I)时，术<0,故人是r - 1 )上的单谢减函数；当主-1J 与时”5)>0.故心外是O - I. *M)上的单刑增函数一所以A(£)所(0. * m)上的最小值是h(e - 1 ).注意到 A叫*)叫 所以当xe(1

17、 . e - 1)C(O, e - 1>时，i(eI I)<A(r)<A(1) =0；(1。成立.(J1 ：(<1 + e) G(e1, + 时！* (-1)&(七)=工所以 A(jc) < 0 时任意的 j e工与(匚弋；,1) U (1.t?时.人(状卜 <。* 即状-1< (r - 1 ) luri,从而当"=中日，产L M"一，当。(-，+ no) C(p-L +m)时.A()亍。，即a-> (I) Ino.故山一、肛1 踪上所述,当/E / +；.)时.小马*片7；当时，心Al=fT；当力后(乙+ H) 口

18、¥ 口 一 I y M- 1 BT * f > o .加一本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考量原究能力及推理论证能力.满分 16分.(I)证明：由已知.当nMlHt. “，产3向-立=尸：2、”于是豺住总的亚整数口，总存 在正整数m=« + L使彳3$.=2"= J 所以是“数列】(2)解;南已知，得多=窥产d = 2 +比因为恒"是"丹数列二所胤存在正整数小 使得 S产心,即2+ (tn - l)</t于是-2评三.因为d t0,所以m - 2 q。，故 阳L从而d= T.当心-1时.丫2 f. 0 =晅/是小于2的

19、整数，M N .于是对任意的正移数以 总存在正整我露=2邑=2迫/使得S. = 2 相=%.所以卜/是1数舛T. 因此的值为-LC)证明；设等差效到川的公差为凡则 * = %+(*-】)d = H/X吁1 )(-,> (flCNf ).令 &.二以叫，e尸(n - 1) (4 一口.),则%="* n e N * ) T 下证1力是”/数列二设1%的前日项和为了.'二J5：(“且N* X于是对任意的正趋数以总存 在正整数冏=三巴户.使得二=%.所以I力是一数列1£同理叮证|也是"“数列1所以，豺任意的等差数列I%、总存在阚个5H数列口儿|和I

20、qL使得口.=6.十r<”号N* ) fe.数学n (附加题)21.选作题 本题包括A、B、C D,请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答 时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB是圆。的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。证明：/ OCB=ZDOCB= ABC= D第21 A题1B.选彳4-2矩阵与变换:（本小题满分10分）已知矩阵A= 1 2 , B= 11 x 22,x,y为实数，若 Aa = B3 , X+ x+y的值。y解析：1 222+2yA a =1 x y 2 xy1122 yB3 =21 y4 y所以由Aa=B3得:-2+2y 2 y2 xy 4 y1x 解得2y 4C.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为2 （t为参数），直线l与抛物线y2马24x相交于A、B两点,求线段AB的长。把直线方程22 （t为参数）代入到y2*t24x中,得 2 -2t2% ,解得 t10,t2所以，AB t1 t28冠D.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）已知 x 0, y 0,证明：1 x y2 1 x2 y 9xy提示利用