2020-2021学年陕西省高考数学三模试卷(文科)及答案解析

1、陕西省高考数学三模试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A=x 1<x<2, 口 _-5I ,则 AH B=()D= IX |V' K JA.(0,+8)B.(T,2)C.(0,2)D.(2,+oo)2 .欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为欧拉时代”.1735年，他提出了欧拉公式：de=cos0+isin0.被后人称为 最引人注目的数学公式若白片二，则复数z=3e对应复平面内的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象

2、限C第三象限D.第四象限3 .某人从甲地去乙地共走了 500m,途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为吉则河宽为()A. 80m B. 100m C. 40m D. 50m4 .设等差数列an的前n项和为Sn,若Sg=54,则曰+&+a二()A. 9B. 15 C. 18 D. 365 .已知京(3, - 1), b= (1, -2),则1与E的夹角为()TT TT TT 7TAV B- V C-石D弓6 .抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l, P是l上一点，连接.并延长交抛物线C一，

3、 一 4 一于点 Q,若 |PF|二一|PQ|,则 |QF|二（A. 3B. 4C. 5 D. 67 .已知如图所示的程序框图的输入值xC -1,4,则输出y值的取值范围是（A.8.设a=（卷）1F, c=l,则a, b, c的大小顺序是（0,2 B. T, 2C. T, 15 D. 2, 15A.b<a< c B. c<b<a C. c< a< b D. b<c< a9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（22兀d. led10.已知双曲线4兀B. 3-V切，则该双曲线离心率等于()A ” B.C., D11.给出下列四个命题:回归

4、直线,”卜量+区包过样本中心点【工，Y)；X=6”是X2 - 5x - 6=0”的必要不充分条件；? x°C R,使得 X02+2xo+3< 0” 的否定是 文寸？ x R,均有 x2+2x+3>0”; 命题pVq”为真命题，则 命题？ pA?q”也是真命题.其中真命题的个数是(A. 0B. 1C. 2 D. 312.设f(x)是函数y=f(x)的导数，f'(x)是f(x)的导数，若方程f'(x)=0有实数解x。，则称点(x°, f (x。)为函数y=f (x)的拐点”.已知：任何三次函数 既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设 f (x

5、) -2/+|x+1,数列 a的通项公式为 an=2n- 7,贝U f (a1)+f (生)+ +f (a8)=()A. 5B. 6C. 7 D. 8二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 11 _ 2 一13 .已知正项等比数列&中，&=1,其前n项和为Sn nCN* ,且一丁，则S4=.14 .将函数片方口(2兀弓)+2的图象向右平移看个单位，再向下平移2个单位所得图 象对应函数的解析式是15 .已知函数 f (x) =ax+b), 0<f (1) <2, - 1<f ( - 1) <1,则 2a- b 的取值范围是.16 .学校艺术

6、节对同一类的A, B, C, D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭 晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：是C或D作品获得一等奖”；乙说：B作品获得一等奖”；内说：A, D两项作品未获得一等奖”；丁说：是C作品获得一等奖若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .在 ABC中,tanA=, tanC=".(I )求角B的大小；(H )设 o+ B=B ( q 0, B> 0),求 Jsin a- sin B 的取值范围.18 .根据国家环保部新修订的环境

7、空气质量标准规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我 市环保局随机抽取了一居民区 2016年30天PM2.5的24小时平均浓度(单位：微克 /立方米)的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图.(I )求图中a的值；(n )由频率分布直方图中估算样本平均数， 并根据样本估计总体的思想，从PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.19 .如图，在四棱锥 P ABCD中，PA，平面ABCD 底面ABCD是菱形，PA=AB=2E为PA的中点，/ BAD=60.(I )求证

8、：PC/平面EBQ(H )求三棱锥P- EDC的体积.一，.1 L 1,20 .已知椭圆C: - 4r =1(a>b>0)的左右焦点分别为 R,电 离心率为万，点A在椭圆C上，|AFi|=2, /FiAF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点，N为P, Q的中点.(I )求椭圆C的方程；(H)已知点M(0，得)，且MNLPQ,求直线MN所在的直线方程. O21 .已知函数f (x)耳.x(I )求曲线y=f (x)在点P (2,)处的切线方程;(n )证明：f (x) > 2 (x lnx).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则

9、按所做的第一题记分.选彳4-4:坐标系与参数方程22.已知曲线。的参数方程为K=5+5costy-4+5sint(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为P=2cos0.(I )把G的参数方程化为极坐标方程；(H )求G与C2交点的极坐标(p>0, 008<2冗).选彳4-5 :不等式选讲23.已知函数 f (x) =|x- 4m|+伙宁| (m>0).(I )证明：f (x) >4;(H )若k为f (x)的最小值，且a+b=k (a>0, b>0),求J W的最小值.a. d高考数学三模试卷(文科)参考答案与

10、试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.t1 .已知集合 A=xT<x<2,芹&|y=q，则 A° B=()A. (0,+8)B.(T,2)C.(0,2) D.(2,+oo)【考点】1E:交集及其运算.【分析】先求出集合B,再根据交集的定义计算即可.【解答】解：集合 A=x|- 1<x< 2=(T, 2),即工|¥=万=(0，+°°)，WJ AH B= (0, 2),故选：C2 .欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的

11、数学家，数学史上称十八世纪为欧拉时代”.1735年，他提出了欧拉公式：de=cos9+isin9.被后人称为 最引人注目的数学公式若白上则复数z=ee对 ,O应复平面内的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C第三象限D.第四象限【考点】A7:复数代数形式的混合运算.1,即可复数位置.【分析】由新定义，可得z=ee=【解答】解：由题意z=e0=2n下 12兀.2兀e-cos-g+sirL2-对应的点为所以在第二象限;故选：B3 .某人从甲地去乙地共走了 500m,途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物 品能被找

12、到的概率为 卷，则河宽为（）A. 80m B. 100m C. 40m D. 50m【考点】CF:几何概型.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解.【解答】解：由已知易得：l从甲地到乙 =500l途中涉水=x>K 4故物品遗落在河里的概率 p=§5o=i5=. x=100 (m).故选B.4 .设等差数列a的前n项和为Sn,若S9=54,则曰+&+a=（A. 9 B. 15 C. 18 D. 36【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】先由等差数列的求和公式，可得 ai+

13、a=16,再等差数列的性质，a+a=2a可求然后代入可得结论.【解答】解：由等差数列的求和公式可得，&=1 (ai+a) =54, . a+O9=12,由等差数列的性质可知，a+a9=2a,&=6,ai+a5+a=18.故选：C.5 .已知主(3, - 1), b= (1, -2),则W与三的夹角为(【分析】利用向量夹角公式即可得出.【解答】解：二大=3+2=5, |1 =，3%-1) 2=/私 |b | =/l%-2)2=.8号< = = b >=.W与E的夹角为 故选：B.6 .抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l, P是l上一点，连接.并延长交抛物线C一

14、， 一 4 一于点 Q,若 |PF|二一|PQ|,则 |QF|二(lJA. 3B. 4C. 5 D. 6【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】运用抛物线的定义，设 Q至仪的距离为d,求出斜率，求得直线PF的方程, 与y2=8x联立可得x=3,禾J用|QF|二d可求.【解答】解：设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得，|QF|二dV|PF|4|PQ|, -pF=47q,直线PF的斜率为一如号尤二一砺.F (2, 0),直线 PF的方程为 y=-2/ei (x-2),与y2=8x联立可得x=3,(由于Q的横坐标大于2) . |QF|=d=3+2=5故选：C7.已知如图所示的程序框图的输入值x

15、-1,4,则输出y值的取值范围是(A. 0, 2 B. T, 2C. T, 15 D. 2, 15【考点】EF:程序框图.工 2- ai【分析】算法的功能是求y= f 1的值，分段求出输出值xC - 1, 4时y的范围，再求并集.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求 y=,、的值，1口名产上了工当 4>x> 1 时，可得：0<y=log2x02,当10x< 1 时，可得：-1&y=x2-100,可得：-1&x&0.故输出值y的取值范围为：-1, 2.故选：B.8 .设 a= (-r)b= (y)1F, c=l,则a, b, c的大小顺序是（A

16、. b<a<c B. c<b<a C. c< a< b D. b<c< a【考点】4M:对数值大小的比较.【分析】利用指数函数的单调性即可得出.<0,>b= (y) T>1, c=l【解答】解：a=得)a> b>c.故选：B.9 .某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(2兀4兀4兀，几、A. 16上厂 B. 8- C.D. 16(1)【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥;结合图中数据，计算它的体积即可.【解答】解：根据几何体的三视图知，

17、该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥；画出图形如图所示，结合图中数据，计算该几何体的体积为:V=V四棱柱V圆锥 =22 >4-4 12?44兀 =16 - -.故选：C.10 .已知双曲线三5-看=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均与圆 C: x2+y2-6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于()A. 一 BC.D【考点】KJ:圆与圆锥曲线的综合.【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线b2=1 (a> 0,b>0)的两可建立几条渐近线均和圆C: x2+y2-6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径,何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.【

18、解答】解：双曲线 ab2=1 (a>0, b>0)的渐近线方程为y=x,3.即 bx day=0圆 C: x2+y2- 6x+5=0化为标准方程(x- 3) 2+y2=4yb2.C (3, 0),半径为 2=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均和圆 C: x2+y2- 6x+5=0相切 9b2=4b2+4a2 5 5b2=4a2b2=c2 a2 5 (c2 - a2) =4a29a2=5c2双曲线离心率等于等 故选：D.11.给出下列四个命题:回归直线y二卜尺+且包过样本中心点【工，Y）;X=6”是X2 - 5x - 6=0”的必要不充分条件；? x°C R

19、,使得 X02+2xo+3< 0” 的否定是 文寸？ x R,均有 x2+2x+3>0”；命题pVq”为真命题，则 命题？ pA?q”也是真命题.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2 D. 3【考点】2K:命题的真假判断与应用.【分析】根据回归直线的定义判断即可；根据概念判断；存在命题的否定是把存在改为任意，再否定结论；得出p, q至少有一个为真，得出？p, ?q则至少一个为假，得出结论.【解答】解：回归直线包过样本中心点（I，V）,由回归直线方程定义可 知，正确;x=6”能推出X2-5x-6=0"，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误；？ XoC R,使得

20、Xo2+2xo+3< 0”的否定是对？ xC R,均有x2+2x+3>0,故错误； 希题pVq”为真命题，则p, q至少有一个为真，则？p, ?q则至少一个为假，故 命题？ pA?q”也是假命题，故错误.故选B.12.设f(x)是函数y=f(x)的导数，f'(x)是f(x)的导数，若方程f'(x)=0有实数解x。，则称点(x% f (x。)为函数y=f (x)的拐点”.已知：任何三次函数 既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设 f (x) hK-Z/Ax+l,数列 a的通项公式为 an=2n- 7,贝U f (a1)+f (a) + +f (a8)=()A.

21、 5B. 6C. 7 D. 8【考点】63:导数的运算.【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(2, 1)对称，即f (x) +f(4-x) =2,即可得到结论.【解答】解：= f (x) = ,1- x+1,2. f (x) =x - 4x+J,. f ' (x) =2x- 4,令 f" (x) =0,解得：x=2,一 .-88 . _而 f (2) l- 8+耳2+1=1,故函数f (x)关于点(2, 1)对称, f (x) +f (4-x) =2,; an=2n- 7, 8=-5, a8=9, f (ai) +f (as) =2,同理可得 f (a) +f (

22、8)=2, f (a3)+f 3) =2, f (国)+f (a5)=2, .f (aO +f (a?) + +f (as) =2>4=8,故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）, .，一一一 ,一丁 12 1 一13 .已知正项等比数列a中，ai=1,其前n项和为Sn nCN* ,且一二工一，则 al a2 a3S4= 15.【考点】89:等比数列的前n项和.【分析】由题意先求出公比，再根据前 n项和公式计算即可. 一 112【解答】解：正项等比数列a中，ai=1,且一一1,即 q2 - q - 2=0,解得q=2或q=- 1 （舍去）,1-24故答案为：15.

23、14 .将函数丫二口（2k）+2的图象向右平移看个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是y=sin2x .【考点】HJ:函数y=Asin (以+小)的图象变换.【分析】根据函数图象平移变换左加右减，上加下减”的原则，结合平移前函数的解析式及函数平移方式，可得答案., 7T兀TT【解答】解：将函数y=sin(2x-H-)+2=sin2 (x+)的图象向右平移7个单位， JOO. I冗 |兀.一一-可得函数 y=sin2 (x+-+2=sin2x+2 的图象，再向下平移2个单位可得函数y=sin2x的图象.故答案为：y=sin2x.15 .已知函数 f (x) =ax+b), 0<

24、;f (1) <2, - 1<f ( - 1) <1,则 2a- b 的取值范围【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】由题意可得0<a+b<2, - 1<-a+b< 1,作出可行域如图，设z=2a- b,利用z的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解.【解答】解：f (x) =ax+b, 0<f (1) <2, 1<f ( T) < 1,0<a+b< 2, - 1< - a+b< 1,作出可行域如图 设z=2a- b,得b=2a- z,则平移直线b=2a- z,则由图象可知当直线经过

25、点 B时，直线b=2a- z得截距最小,3 可得a可，b=2止匕时z最大为z=2司一2=2，当直线经过点A时，直线b=2a- z得截距最大,a+b=O/曰T可得-a+b-1此时z最小为z=2X (；2a- b的取值范围是故答案为:16 .学校艺术节对同一类的A, B, C, D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：是C或D作品获得一等奖”；乙说：B作品获得一等奖”；内说：A, D两项作品未获得一等奖”；丁说：是C作品获得一等奖若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B .【考点】F4:进行简单的合情推理.【分析】根据学

26、校艺术节对同一类的 A, B, C, D四项参赛作品，只评一项一等奖,故假设A, B, C, D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断.【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意, 若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在 ABC中,tanA片,tanC（I ）求角B的大小；

27、（H ）设 o+ B=B （ a> 0, B> 0）,求Esin a- sin B 的取值范围.【考点】GR：两角和与差的正切函数.【分析】（I ）由已知利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可求tanB的值, 结合范围0V B<阳可求B的值.（H ）由（I ）知。十曲=二，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 Jsina- sin B=sin（a-工），结合范围1利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围.【解答】解：（I ） V A+B+C=t,又 tanC=,则以必二也门1兀-（&式0=-1犯（性9）二_t a口A+tanC l*tariAtanC.B为AABC的

28、内角,3=(H ) = o+B=B ( a>0, B>0),V2sinCL *sin B 二诉minS -sintQ ) =V2sinCL - (-cos Cl -r-sin )Sinta4又 o+B=B ( oO0, B>0),则打E 3,号)zinlQE-当1),即也sinQ-s塞力目的范围是. 1)18 .根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我 市环保局随机抽取了一居民区 2016年30天PM2.5的24小时平均浓度(单位：微克 /立方米)的监测数据，将这

29、30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图.(I )求图中a的值；(n )由频率分布直方图中估算样本平均数， 并根据样本估计总体的思想，从PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.加因工，力更J3【考点】B8:频率分布直方图.【分析】(I)由频率和为1,列方程求出a的值；()利用频率分布直方图计算平均数，比较即可.【解答】解：(I )由题意知(0.006+0.024+0.006+a >25=1,解得 a=0.004;(n )计算平均数为：x=25X 0.006M2.5+0.024>37.5+0.006>62.5+0.004>87.5

30、) =42.5 (微克/立方米),因为42.5>35,所以该居民区的环境质量需要改善.19 .如图，在四棱锥 P ABCD中，PA，平面ABCD 底面ABCD是菱形，PA=AB=2E为PA的中点，/ BAD=60 .(I )求证：PC/平面EBQ(n )求三棱锥P- EDC的体积.B【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(I )连接AC, BD相交于点O,连接OE.由三角形中位线定理可得 OE/CP,再由线面平彳T的判定可得PC/平面BDE;(H)由E为PA的中点，可求 PCE的面积，证出DO是三棱锥D-PCE的高并求得DO=1,然后利用等积法求得三棱

31、锥 P-EDC的体积.【解答】(I )证明：连接AC, BD,设AC与BD相交于点0,连接OE由题意知，底面ABCD菱形,则0为AC的中点，又E为AP的中点，. OE/ CP,. OE?平面 BDE, PC?平面 BDE,.PC/平面 BDE;(H )解:E为PA的中点,111逐PCE 或 SA 际丁四边形ABCD菱形,A AC± BD,又: PA1平面ABCD .PAL BD,又 PAA AC=A DOL面 PAC,即DO是三棱锥DPCE的高，DO=1,20 .已知椭圆C:岂万也 =1 (a>b>0)的左右焦点分别为 R, E,离心率为4，点 a 上A在椭圆C上，|AF

32、i|=2, /FiAF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点，N为P, Q的中点.(I )求椭圆C的方程；(H)已知点HS,春)，且MNLPQ,求直线MN所在的直线方程. O【考点】KL:直线与椭圆白位置关系；K3:椭圆的标准方程.【分析】(I )通过离心率以及由余弦定理，转化求解椭圆C的方程.(H)因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k (x-1), P (xi, y。，Q(X2, vMry=k(x-l)联立又2 y2 ,由韦达定理求解N, M的坐标，MN'PQ,转化求解即可I 3 1【解答】解：(I )由日总，得a=2G因为 |AF|=2, |

33、AE|=2a 2,由余弦定理得|AFj I ?+融小2 |仃1|,|AF218sA二解得 c=1, a=2,b2=a2- c2=3, 22椭圆C的方程为高一+1=1.(H)因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k (x-1), P (Xi, yi), Q(X2, y。,ry=k(x-l)联立 产 , 整理得(3+4k2) x2-8k2x+4lc- 12=0,I 4 3 1£ k 2- 6k由韦达定理知叼十匕2、,2 , ¥十=k(X+x“-2k=2 ,3+4k。+4k, w 4 k J Wk 此时必上：，一3+4kM+4k/九又乳0尚),则&344c24k*尹4k

34、2卜 MN =2 -2c 4k2M2k工013-H4k21I 3'., MN± PQQ七阳=二,得到kf 或5一，、2 ，贝U kMN= 2 或k1m 二片，MN 的直线方程为 16x+8y 1=0 或 16x+24y 3=0.21 .已知函数f (x) =.x2(I )求曲线y=f (x)在点P (2,勺)处的切线方程；(n )证明：f (x) > 2 (x lnx).【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(I )通过导函数求解切线的斜率，得到切点坐标，然后求解切线方程.x(产一7)/(H )设函数式6中2/2：

35、LnK ,(必二， x (0,+OO),设h (x) =ex - 2x, x (0, +00),求出导函数，通过导函数的符号，求解 g (x) min=g (1) =e- 2>0,从而证明结果.hJfD22【解答】解：(I )二寸(必二W-,.f'(6=h(2)二月厂，又切点为(2,央),工工4222所以切线方程为y-="(x-2),即e2x-4y=0.(H)证明：设函数式工)三f G)-2( x-lnx)-2/21 mi,氢(心=>,xXY0 ( 0, +00)，设 h (x)=ex- 2x, x (0,+00),贝(Jh' (x) =g2,令 h' (x)=0,贝U x=ln2,所以 xC(0, ln2), h' (x)<0;x(ln2, +8), h' (x) >0.则 h (x) >h (l