2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.3.2　基本不等式与最大（小）值 Word版含解析

1、32基本不等式与最大(小)值知识点基本不等式与最大(小)值 填一填已知x，y都是正数，则(1)若xys(和为定值)，则当且仅当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当且仅当xy时，和xy取得最小值2.答一答均值不等式可以解决什么问题？提示：均值不等式可以解决定积、定和问题使用均值不等式解决问题时，常见的变形常用的变形公式有：(1)ab2，ab()2(当且仅当ab时取等号)；(2)a2(a>0)(当且仅当a1时取等号)；a2(a<0)(当且仅当a1时取等号)；(3)2(a，b同号)(当且仅当ab时取等号)；(4)(a，br)(当且仅当ab时取等号)类型一利用基本不等

2、式求最值 【例1】(1)若x>0，求函数f(x)3x的最小值；(2)若x<0，求函数f(x)3x的最大值【思路探究】利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：两个正数；其和为定值或积为定值；等号必须成立三个条件缺一不可对(1)，由x>0，可得>0,3x>0.又因为·3x36为定值，且3x(x>0)时，x2，即等号成立，从而可利用基本不等式求最值对(2)，由x<0，得<0,3x<0，所以>0，3x>0，所以对(3x)可利用基本不等式求最值【解】(1)因为x>0，所以>0,3x>0，所以f(x)3x22

3、12.当且仅当3x，即x2时，等号成立所以当x2时，f(x)取得最小值12.(2)因为x<0，所以x>0，所以f(x)(3x)212，所以f(x)12.当且仅当3x，即x2时，等号成立所以当x2时，f(x)取得最大值12.规律方法 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正二定三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解设x>0，求y2x的最大值解：x>0，x24，y2242.当且仅当x，即x2时等号成立，y取最大值2.【例2】(1)求函数yx(52x)(0<x<2)的最大值；(2)求函数y(x>1)的最

4、小值；(3)已知x>0，求函数y(x>0)的最大值【思路探究】(1)中要注意构造2x(52x)为定值；(2)中要注意挖掘出(x1)·为定值【解】(1)yx(52x)·2x·(52x)0<x<2，0<2x<4,1<52x<5，y×2×.当且仅当2x52x，即x时取等号，故ymax.(2)yx12，x>1，x1>0，y222×328.当且仅当x1，即x4时取等号故ymin8.(3)x>0，y.又x24，当且仅当x，即x2时取等号，y.故当x2时，y(x>0)取得最大值

5、.规律方法 运用基本不等式求函数的最值，主要是在定义域中构造出“和为定值”或“积为定值”，同时注意检验是否满足取等号的条件(1)已知x>2，则yx的最小值为6.(2)若0<x<，则函数yx(12x)的最大值是.解析：(1)因为x>2，所以x2>0，所以yxx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以yx的最小值为6.(2)因为0<x<，所以12x>0，所以yx·(12x)×2x×(12x)2×，当且仅当2x12x，即当x时，ymax.类型二利用基本不等式比较大小 【例3】已知a，b，c都是非负实数，试

6、比较与(abc)的大小【思路探究】a，b，c是非负数，两个待比较的式子的结构特征符合基本不等式的变形式：，所以借助它就可以比较大小【解】，(ab)同理可得(bc)，(ca)，(ab)(bc)(ca)(abc)，故(abc)，当且仅当abc时取等号规律方法 利用基本不等式或其变形式比较大小时，一般有两种思路：(1)确定每个式子的范围，用不等式的传递性比较；(2)观察待比较式子的结构特征，合理选取基本不等式或其变形式，利用不等式的性质比较已知a>b>c，则与的大小关系是.解析：观察题中两式的特点，发现(ab)(bc)恰好是ac.ab>0，bc>0，当且仅当abbc即2bac

7、时，等号成立，.类型三利用基本不等式解决有关实际应用问题 【例4】某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元(50<x80)时，每天销售的件数为p，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？【思路探究】首先据题意建立关于利润的函数模型，利润销售件数×(销售价格进货价格)再应用基本不等式解决最值问题【解】解法一：由题意知利润s(x50)·(x50)·.x50>0，(x50)20.s2 500，当且仅当x50，即x60或x40(不合题意舍去)，即x60时，取等号解法二：由题意知利润s(x50)·令x50t，xt50(t>0)，

8、则s2 500.当且仅当t，即t10时取等号，此时x60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多规律方法 1.解实际应用问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题)；(3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值；(4)回到实际问题中，写出正确答案2本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此

9、外，也可以先使用换元法，再拼凑成基本不等式的形式，去求最值现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲地与乙地的距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30 000元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：(1)由题意得，每小时燃料费用为kx2(0<x45)，全程所用时间为小时则全程运输成本ykx2·960·，x(0,45，当x20时，y3

10、0 000得k0.6，故所求的函数为y300(x)，x(0,45(2)y300(x)300×224 000，当且仅当x，即x40时取等号，故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小【例5】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其余各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【思路探究】设每间虎笼长为x m，宽为y m，则问题(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是

11、在xy24的前提下求4x6y的最小值【解】(1)设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则由条件得4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼的面积为s，则sxy.2x3y22，218，解得xy，即s，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大(2)由条件知sxy24.设钢筋网的总长为l，则l4x6y.2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时等号成立由解得故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的

12、宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab9 000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a>0，b>0.广告的面积s(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.当且仅当25a40b时，等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75，即当a120，b75时，s取得最小值24 500，故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.多维探

13、究系列利用均值不等式解恒成立问题不等式的恒成立问题在高中数学中非常重要，在此类问题的解决中，均值不等式和不等式的传递性是最重要的一种方法【例6】已知不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值【规范解答】原不等式化为1a9，而1a1a2，(x>0，y>0)当且仅当yx时取等号，1a29，a280，2，即a4，amin4.若对任意x>0，ax2(4a1)xa0恒成立，则a的取值范围是，)解析：将原不等式等价转化a恒成立，x>0时，a.一、选择题1设x>0，则y33x的最大值是(c)a3 b33c32d1解析：y33x3(3x)3232，当且仅当3x，即x时取“”2已知a>0，b>0，则2的最小值是(c)a2 b2c4 d5解析：因为2222( )4，当且仅当，且，即ab1