专题三角函数中的零点问题-江苏省南京市秦淮中学2021届高三数学一轮复习

1、南京市秦淮中学一轮复习专题-三角函数中的零点问题单选题1 .设函数/(x)=cos(x + £),则下列结论错误的是()A. /(x) = cos(x +为的一个周期为-2%B.)，= /*)的图象关于直线x = 4对称c. 丁 = /"+万)的一个零点为xOD. )，= /*)在g,汗卜割调递减2.【2019年高考全国ID卷文数】函数/(x) = 2sinA-sin2x在0, 2司的零点个数为A. 2B. 3C. 4D. 523,已知函数/(x) = Asin()x+0)(其中A>0, 0>0，。夕万)的图象关于点M 3,0成中心对称，且与点M相邻的一个最低点

2、为4,一3),则对于下列判断:直线是函数/(M图象的一条对称轴:点-g，。是函数/(X)的一个对称中心:I /函数y = i与y = /(“一。31212的图象的所有交点的横坐标之和为7K .其中正确的判断是()A.B.D.4. 2020年高考全国I卷理数】设函数/(x) = 8S(s + ：)在卜江，河的图像大致如下图，则/ (%) 6的最小正周期为()95,定义在H上的函数/*)满足/、，若函数jr7C 24F(x) = /(x) k x-有5个零点，则实数攵仕0)的取值范围是( 乙)D. (0,1A.7(x)是偶函数CJ(x)在一兀汨有4个零点D./(x)的最大值为26.将函数/(x)

3、= cosx的图象先向右平移24个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的(。0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(二,三)上没有零点，则口的co2 2取值范围是()77 R福引OQ%-：多选题7 .关于函数/(x) = 2cos2x cos(2x + 2) 1的描述正确的是()2A.其图象可由y = Jsin2x的图象向左平移£个单位得到8 . /(X)在(0,勺单调递增c. /(X)在0,句有2个零点D. /(X)在一奈。的最小值为一8.【2019年高考全国I卷理数】关于函数/(x) = sinlxl + lsin xl有下述四个结论：其中所有正确 选

4、项是()B./(x)在区间(二，兀)单调递增9.已知函数/（x） = Asin（ox+e）（其中A>0, 00, 0<忸|兀的部分图象，则下列结论正 确的是（）.A.函数/（X）的图象关于直线x = q对称B.函数/（X）的图象关于点（一号刀对称 «C.函数/（X）在区间-上单调增D.函数y = 1与），=/（X），54x« 等;的图象的所有交点的横坐标之和为中1乙 /J10.已知函数x） = sinx+sin（G）,现给出如下结论，其中正确的是（）A. /“）是奇函数B. 7（X）是周期函数C. /（X）在区间（0,4）上有三个零点D. /（X）的最大值为21

5、1 .设函数f （x） = 2卜inx| + sinx+2cos2 ,给出下列选项中，正确选项是a./（2）>0； B./（x）在13区一3）上单调递增；仁/（不）的值域为一1 + 28§2,3+28§2；A. “X）在0,2句上的所有零点之和为4.12 .【2019年高考全国HI卷理数】设函数X）=sin（5 +q）（G>0）,已知/（X）在0,2可有且仅有5个零点，给出下列四个结论,其中所有正确选项是A. /（%）在（0,2冗）有且仅有3个极大值点B. /（%）在（0,2冗）有且仅有2个极小值点C. f（x）Ti12 29在（0,）单调递增D. ©

6、的取值范围是一,二）105 1013.已知函数f （x） = sin®x+0）3>0）满足=，且/（外在（/4o + l）上有最小值，无最大值,给出下列四个结论，其中所有正确选项是B.若/=0,则f(x) = sin2门-。6JC. /（x）的最小正周期为3： D. “X）在（0,2019）上的零点个数最少为1346个.三：填空题14屈数/（幻=<：00何十2）在0,旬的零点个数为.615.已知关于x的方程2sirx-巾sin 2x+?一l=0在（g,乃上有两个不同的实数根，则，的取值范围是.16（变式）己知关于x的方程2sii?x-小sin 2x+小一 1=0在 号 兀

7、上有实根，则，的取值范围是17,若函数/（x） = sin（3t + 2）（GA0）满足/（0） = / 1,且函数在。，£上有且只有一个零点, 6I ”L 2 _则/（"）的最小正周期为.18已知函数兀v）=sin（3x+0 3>0,0三歌兀）是R上的偶函数，若其一个零点是* = 一，且在区间4。，工上是单调函数，则3的值为.219,若函数/(x) = sin g + | ®>0)在。啜 O ) lo /存在唯一极值点，且在兀上单调，则口的I N /取值范围为乃兀兀20.己知函数/（幻=5山（5+9）（。>0,同45）,刀=-4为於）的零点，刀

8、=4为尸於）图象的对称轴，且yu）在 ，三 上单调，则3的最大值为lo Jo ）处 1121.已知函数於）=$而万"+因1】3-，（3>0）,不£11.若兀¥）在区间（兀，2兀）内没有零点，则3的取值范四：解答题22.己知/(x) = 2sinxcosx + 26cos x- cos x +上有唯一零点，求实数k的取(l)求函数/(x)的单调递减区间;(2)若关于的函数g(x) = /(x) - 2(2& + sin2x)在区间值范围.三角函数中的零点问题单选题1 .设函数/(x)=cos(x + £),则下列结论错误的是()A. /(x)

9、 = cos(x +为的一个周期为-2%B.)，= /*)的图象关于直线x = 4对称c. 丁 = /"+万)的一个零点为x OD. )，= /*)在g,汗卜割调递减【答案】D.解：人 函数的周期为2/or,当k=-l时，周期T=-2m 故A正确，8.当工=这时，cos + -)=cos3w= -1为最小值，此时y=f (x)的图象关于直线工=也对 3333称，故B正确，G一c"lx = g时，/(£+/)=cos(/)则/ (x+n)的一个零点为x = ”，故c正确， o 626jr57r4/r。.当7YXY)时，hYX + ；Y_1此时函数f(X)不是单调函数

10、，故。错误， 2633故选：D.2.【2019年高考全国DI卷文数】函数/(x) = 2sinr - sin2x在0, 2网的零点个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】f (%) = 2 sin x - sin 2x = 2 sin x - 2sin xcos x = 2 sin x(l - cos x) = 0 ,得sinx = 0或8sx = 1, ,.,xe0,2兀I，.户。、兀或27r.)/(x)在0,2可的券点个数是 3,故选B.3 .已知函数/(x) = Asin(Z¥+e)(其中A>0, co>0,。<0</)的图象关于点m|卷

11、,0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N；斗,一3),则对于下列判断：直线4 = 1是函数/(X)图象的一条对称轴：点-*,。；是函数/（X）的一个对称中心: 1N /函数y = i与y = /")、1212的图象的所有交点的横坐标之和为7万.其中正确的判断是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为“倍,0）为对称中心，且最低点为N 仔,一3）,所以 A=3,且丁 = 4x =一等 | =% fh = - = - = 2I 3 12 JT 加2 -所以/(x) = 3sin(2x+o),将N 三,一3卜带入得夕=工，V 3)62x + ?由此可得错误，正确，当一二2时，0&l

12、t;2工十2<6乃，6J12126所以。丫 = 1有6个交点，设各个交点坐标依次为X/2，&，、4，匕，/，则 x+x2+x3+x4+x5+x6=7 9 所以正确 所以选C4 .【2020年高考全国I卷理数】设函数,f（x） = cos3x + 3在F,可的图像大致如下图，则/（X）6的最小正周期为（）【答案】C41T47r TC【解析】由图可得：函数图象过上一丁，°，将它代入函数COS -6?+- =0,乂 一丁,0是函数“X）图象nX轴 曲的第一个交点.4分丁 2冗 2冗 4ti*JTJTJTS/ 所以一飞_-3+7 = -5,解得3 .所以函数f（x）最小正周期0

13、33sinx,xe 0,-5 .定义在R上的函数/(x)满足/(1+ ?) = /(x一£J,且/« = <,若函数cosx+l.xe .712 )21(3211一, B.,. C.冗TC)( 冗冗)7tL7tFW = f（x）-k x -三 有5个零点，则实数攵（攵<0）的取值范围是（）± _±,|2M 34）【答案】D【解析】由/ （X + ） = / （ X - ?得/（X +4）=/（X）,所以/ （力是周期为万的周期函数作出函 2）2）数f （力的图象如图所示，直线，：V = %经过点p1,。），由图知，当直线/夹在宜.线2A与直线

14、PB之间时，。函数/（x）的图象仃5个交点易知A -J LB 、乙）6 .将函数/（x） = cosx的图象先向右平移之4个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的6上（/>0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在（：,一）上没有零点，则口的co2 2取值范围是（）2B. (OR28D. (0,1c. (o,UJ【答案】A5/5 、JfW = cosx的内象龙向)i平移 打个单；2葭,可得y = cos x-三 的肉象，再66 7将图象上每个点的横坐标变为原来的，(刃0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x) = cos sCD的图象，周期丁 =工工，co若函数g(x

15、)在(二,)上没有零点, 2 2con 5454 3防 54< cox- <26626又n f + k/r>12con 5 4"2 r3a) 冗 57rco728222 8当 k=o 时，解一<G一，当 A=-l 时,0<0«1,可得 0V3W二，0 £(0,U二，一.39993 9故答案为：4 -：多选题7 .关于函数/(x) = 2cos2xcos(2x + E) 1的描述正确的是()2A.其图象可由v = J7sin2x的图象向左平移三个单位得到8B. /(M在(0,勺单调递增c. /(M在。，句有2个零点D. /(x)在一&#

16、163;,0的最小值为一【答案】ACD【解析】由题:/(%) = 2cos2 x - cos(2x + ) -1 = cos 2x + sin 2x = >sin(2x + ) 2由y = "sin 2x的图象向左平移个单得到 y = V2sin(2(x + -) = V2sin(2x + -),所以选项 A 正确： 84令2k冗一上W2x +上W2k冗+三,k eZ ,得其增区间为内笈一？2/4十三次w Z 24288/(%)在(0,1)单调递增，在邑。单调递减，所以选项B不正确： 88 2解/(M = 0,2x + C = Z/r,A£Z,得：x = -eZ, x

17、e。4. 428所以工取包，石，所以选项C正确； 8 8xe-,0,2x + e-，一,sm(2x + ) e-L，/(x) e->/2J, 244 442所以选项D正确.故选：ACD8.【2019年高考全国I卷理数】关于函数/(x) = sinlxl + lsin xl有下述四个结论：其中所有正确选项是()A.f(x)是偶函数B./(x)在区间(工，兀)单调递增2CJ(x)在一兀汨有4个零点D./(x)的最大值为2【答案】AD【解析】【方法一】v/(-x) = sin|-x|+ sin(-x) = sin N + |sin x| = /(%), ：.f (x)为偶函数,时，x) = 2

18、sinx,它在区间 不兀单调递减，故错误.I z /当0<x<n时，/(x) = 2sinx ,它有两个零点：0,冗：当一兀时， /(x) = sin(T)-sinx =_2sinx,它有一个零点：一兀，故/(x)在一九，可有3个零点： 一九，0,兀，故错误.当x£2Zti, 2%兀+冗(攵 wN*)时，f(x) = 2sinx；工£2攵兀 + 兀，2女冗+2冗(攵£)时， f(x) = sinx-sinx = O,又f(x)为偶函数，.J(x)的最大值为2,故正确.综上所述， 正确，故选C.【方法二】本题也可画出J(.x) = sink|+卜inx|

19、的图象(如下图)，由图象可得®正确.9.已知函数f（x） = Asin（ox+9）（其中A>0. 00, 0<同兀的部分图象，则下列结论正A.函数/（X）的图象关于直线x = g对称B.函数/（刈的图象关于点一亮,。对称C.函数/（X）在区间-找 上单调增D.函数丁 = 1与），= /（x） -gwxK 詈1的图象的所有交点的横坐标之和为?【答案】BCD,一2 ,【解析】由函数f（x） = Asin®x+p）（其中J>0, ©>0, 0<（p<n）的图像可得:A = 2,工=.一' =巳，因此T = 7r.:.co =

20、= 2,所以 f (x) = 2sin(2x+(p),过点 4312 44A<因此上三+ 0 =三+ 2肛k £Z.又0<阀<兀，所以 326.，./(x) = 2sin 2x + .),当X = 3时，f y =7,故A错;=0,故3正确;,-Ix + e，所以/(x) = 2sin 2x + 1 (,x e上单调递增，.3 oJ o L 2 2J o)L36_故C正确：当一展WxW等时，2x + *10,4可，所以y = l与函数y = f(x)有4的交点的横坐标为$,x2,打，兀4 , % + X）+ Aj + -% = X 2HX2 = 故 D 正确.663

21、故选：BCD10.已知函数/（x） = sinx+sin（G）,现给出如下结论，其中正确的是（）A. /（X）是奇函数B. /（X）是周期函数C. /（X）在区间（0,4）上有三个零点D. /（X）的最大值为2【答案】AC【解析】xeR，f （-） = sin（-x） + sin（-/rx） = - sinx-sin7tx = -f （x）,（x）是奇函数，A正确：），= sinx的周期7； =2攵4，y = sin（G）的周期4=2，neZ,.7；17；=2女乃,丘20与1n=2儿£2 = 0,./（刈不是周期函数，8错误:令 f (x) = sin x+sin(x¥)=

22、 0,得$由(公)=一$由犬=$皿(一)，/. 7rx = -x+2k7r, eZ,或加丫一x = 2k/r+;r, k eZ.“r2k亢f a (2k + l)4 f 解得x =， £2或1=- > kwZ,万+ 1 万一 1又工£（0,乃），x = 21或工=上二或工=/一 , C正确:笈 + 14 + 1乃一 1当sinx = l时'，工=2攵乃 +。，k eZ, 2当sin(/rx) = l时，x = 2k + ；, k eZ,< x x = 2k冗+ ,k2x = 2k + -,keZ> = 092即）,，= sin"” = s

23、in（G）不川.能同时取得最大值1,故。错i）.故选：AC.A./(2)>0； B./(x)在 一3乃,11.设函数f （x） = 2卜inx| + sinx+2cos2 ,给出下列选项中，正确选项是上单调递增；cj(x)的值域为-1 + 2cos2,3+2cos2；B.在0,2句上的所有零点之和为4 .【答案】ABD2【解析】/(2) > 0<=> 3sin2 > -2cos2 <=> tan2>-.332因为V 2 V ，所以 tan 2 < tan = -1,所以 tan2 < .收 A 正确.2443.3sinX,2k7r &

24、lt;x< 2kk + n.“、设y = 2 sinx +sinx = .攵eZ显然/(")是以24为周期的周期1 1一sinx,2上乃+ %<X<2攵乃 + 2乃，' 7函数.作> =2卜inx| + sinx, xe0,2;t|的图象，如佟I所示：由图可知”力的值域为2cos2,3+2cos2,即C 由f(x)的函数图象可知,f(x)在“X)在-3肛一行|上单调递增，即B正确.又因为。2兰，所以cos2v0,所以028S2cL 232f(x) = OU2卜in+sinx = 2cos2.由图象可知，f(x)在2,2句内有四个零点.且 ；"

25、-=2 , ：'!；乜=彳,所以$+%+当+，口=4乃，所以DiE确 222212.【2019年高考全国HI卷理数】设函数/(X)=sin (8+g ) (G 0),已知/(上)在。,2可有且 仅有5个零点，给出下列四个结论,其中所有正确选项是A. /(x)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点 B./(x)在(0,2冗)有且仅有2个极小值点C. f(x)Ti12 29在(0,)单调递增d.。的取值范围是=,示)I Vz。 X J【答案】ACD解析如图，根据题意知，X/iW27TV.xz,根据图象可知函数/（X）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点，所以247r29兀1229A正确；但可能会

26、有3个极小值点9所以B错误；根据为W27r<xb,有买万，得m"Wscj5,（ 二 7t 7t con n 1229 con 7t 49兀 n所以D正确；当TSj时，5<+5<Io+5，因为亍忘3<而，所以而+5<而5<2,所以函数/（X）13 .已知函数 f （工）=$11（5 + 0）3>0）满足 /（x0） = y（x0 + l） = - ,且 /（x）ii（Xo，Xo + l）上有最小值，无最大值.给出下列四个结论，其中所有正确选项是A. f 飞+1） = -1；B.若/=0,则/（x） = sin（24工一.：C. /（"

27、的最小正周期为3；D. 75）在（0,2019）上的零点个数最少为1346个.1（1A【答案】A,C【解析】（飞,陶+1）区间中点为与 + 一，根据正弦曲线的对称性知/ %+不=-l.A正确.若/=。,则/（%）=/（玉）+1） = 一?,即打9 = 一?，不妨取9 = 一工，此时226x） = sin（2今），满足条件，但吗）=1为（0,1）上的最大值，不满足条件，故B错误.不今3x°+（p = 2k兀-咚,3（% + 1）+。= 2%一乡，两式相减得刃=?.即函数的周期6637 = 2工=3 .故C正确.区间（0,2019）的长度恰好为673个周期，当/（0）= 0时，即%时，

28、co/（X）在开区间（0,2019）上零点个数至少为673x21 = 1345，故D错误.故正确的是A, C三：填空题14 .函数/（x） = cos（3x + C）在0,旬的零点个数为.6答案：315 .已知关于x的方程2sin?x-/sin 2r+?- 1=0在3，江）上有两个不同的实数根，则，的取值范围是答案（-2, -1）【解析】方程2sin2x一巾sin2x+m-l=0可转化为?= 1 2sin?x+/sin 2x=cos 2x+/sin 2x=2sin（2x+4）, xc（5， J.兀（生 13mm（Tn 13兀、设Zr+不=，则出8, 句，题目条件可转化为，=sinTj有两个不同

29、的实数根.m（7ti 13 冗）=5和丁=力】1, rel石，Tj的图象有两个不同交点，如图:由图象观察知,1, 3）,故机的取值范围是（一2, 1）.16（变式）已知关于x的方程2sin%一/sin 2+6一1=0在 三,式上有实根，则？的取值范围是答案-2J）17.若函数x） = sin3+2）3A0）满足/（0） = /三），且函数在0，£上有且只有一个零点,则/（X）的最小正周期为.答案冗©n（n n 5 H，工=%是/（外图象的一条对称轴，.八2=±1，&义3+不=，+桁，k£Z,兀 我兀T 兀 兀2兀，8=6女+2, k£Z

30、,，T=3k+l（k£Z）.又/（x）在|_0, 2上有且只有一个零点，不.,手4- 2n 兀4兀11<rT，T<3k+1 "l"（T>0）,，一万忘<不，又,：kGZ,，k=0, /.T=n.18已知函数/U）=sin（3x+0）（s>0,0三夕夕）是R上的偶函数，若其一个零点是x = ,且在区间 40»|上是单调函数，则3的值为.2答案：，或2【解析】因为，人V）在R上是偶函数，所以，当X=O时，./U）取得最大值或最小值.nn（史 、（3n n即sin 8=±1,得 S,kGZ,又0£彷兀,所以，9

31、=由图象关于 9彳，对称可知，5武彳3+列4 2 412兀=0,解得3=被一？，£Z.又.”）研0,上是单调函数，所以4兀，即高沙所以，处2,又30,2所以,当k=1时，»=3；当k=2时，3=2.19.若函数/（x） = sin的+ 9®,。）在0, 存在唯一极值点，且在：,乃上单调，则啰的 18 /2 ）取值范围为.64【答案】一3一 53，一.八5%) 乃(乃54n ，乃 57r 冗，3冗6,24【解析】xe 0- >则0工+三金 7，=。+丁，故彳解得=,18)6 6 186；2 186255故丁之)，co<2, -<co<2.22

32、 25(7T 7T(7t 7t 7t 7t( 237r 77Fxe ,7t , iiii iyx + e co + ,7tco + , 故一67 + e , .12 )61 266)26 I 30 6 J则乃。+二工上，解得口工士；6236464综上所述：一<。一.故答案为：-<<y<-.5353%兀兀20.已知函数/（幻=5山（5 + 0）（。0,阕一）,尸一也/於）的零点，x=Z为y="）图象的对称2轴,且危）在上单调，则3的最大值为兀n7t （ n T k答案：9【解析】因为一以的的零点，日为用的图象的对称轴，所以丁卜小丁57所以g=2k + l也£N）又因为於）在5兀 兀 兀丁 2兀上单调，所以不一任=衣42=而，即302,4-此时人刈在上不单调，不满118 36J.11, fit 7t7t16y=11 时，- - 7r +(p = k k eZ.v (p<-:.(p = - 足题意:9&