2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.1.1 正弦定理 Word版含解析

1、第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理11正弦定理知识点一正弦定理 填一填(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2r(r为abc的外接圆半径)(2)正弦定理的三种等价形式：a2rsina，b2rsinb，c2rsinc；sina，sinb，sinc；abcsinasinbsinc.答一答1在abc中，角与角的关系，边与边的关系，边与角的关系，分别有哪些？(请简单总结)提示：(1)角与角关系：在abc中，abcc(ab)2c22(ab)；(2)边与边关系：ab>c，bc>a，ca>b，ab<c，bc<a，ca<b；(3)边与角

2、关系：正弦定理2r(r为外接圆半径)由正弦定理可推出三角形面积定理：sabcbcsinaacsinbabsinc，利用它可以解决许多与正弦定理及三角形面积相关的问题知识点二利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题填一填已知两角和一边，求其他边和角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(进而求出其他边和角)答一答2在abc中，已知边a，b和a时，三角形的解有几种情况？提示：a为锐角时，解的情况如图(1)所示a为直角或钝角时，解的情况如图(2)所示1正弦定理的理解(1)正弦定理反映的是三角形的边角关系，使用时一般写成：；.每一个等式都表示了三角形两个角和它们对边的关系(2)在三角形中恒等变换

3、时，常见的边角转换如下：absinasinb；abcsinasinbsinc；2bac2sinbsinasinc；b2acsin2bsinasinc；a>b>ca>b>csina>sinb>sinc等2已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可先判断解的情况若有解，再由正弦定理求出另一边的对角，进而由三角形的内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边.类型一已知两角及一边解三角形 【例1】已知在abc中，c10，a45°，c30°，求a，b和b.【思路探究】运用正弦定理的关键是分清已知和所求，选择一个与正弦定理相关的等式因为c

4、10，c30°，a45°，所以选择等式可求出a，进而由内角和定理及正弦定理可求出b，b.【解】c10，a45°，c30°，b180°(ac)105°.由，得a10.由，得b20sin75°20×55.规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边在abc中，已知a60°，b45°，bc，则ac.解析：如图

5、：由正弦定理得，即，即，故ac.类型二已知两边和一角解三角形 【例2】已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a7，b8，a105°；(2)a10，b20，a80°；(3)b10，c5，c60°；(4)a2，b6，a30°.【思路探究】本题所提供的条件是两边和其中一边的对角，由于互补角的正弦值是相等的，所以有时会产生解的多样性解题时要有分类讨论的意识，如本题的第(4)小题的三角形有两解，需分类讨论【解】(1)a7，b8，a<b，又a105°>90°，此三角形无解(2)b20，a80

6、°，bsina20sin80°>20sin60°10，又a10，a<bsina，此三角形无解(3)b10，c5，b<c，又c60°<90°，此三角形有一解sinb，b45°，a180°(bc)75°，a5(1)(4)a2，b6，a30°<90°，bsina6sin30°3，bsina<a<b，此三角形有两解sinb，b60°或120°.当b60°时，c90°，c4；当b120°时，c30

7、6;，c2.b60°，c90°，c4或b120°，c30°，c2.规律方法 已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤第一步利用几何法判定三角形解的情况，有时利用“大角对大边”可作简单的判断；第二步当三角形有解时，利用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，根据三角形解的个数求角；第三步利用三角形内角和定理求出第三个角；第四步利用正弦定理求出第三边(1)在abc中，a，bc3，ab，则c(c)a.或b.c.d.(2)已知abc中，若a6，b12，a60°，则此三角形解的情况为(c)a一解 b两解c无解 d解的个数不确定解析：(1)由正弦定理得sinc.因

8、为bc>ab，所以a>c，则0<c<，故c.(2)方法一：由正弦定理和已知条件，得，sinb.>1，此三角形无解方法二：a6，bsina6，a<bsina.故此三角形无解方法三：在角a的一边上确定顶点c，使acb12，作cad60°，以顶点c为圆心，cba6为半径画圆，如下图所示，该圆与ad没有交点，说明该三角形无解类型三运用正弦定理求有关三角形的面积问题 【例3】在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.已知a，b2a2c2.(1)求tanc的值；(2)若abc的面积为3，求b的值【思路探究】(1)利用正弦定理化边为角，由已知角通过三角

9、恒等变形即得tanc；(2)由(1)结合a求出sinb，利用正弦定理建立b，c之间的关系，再由面积即得b.【解】(1)由b2a2c2及正弦定理的推广得sin2bsin2c，所以cos2bsin2c.又由a，即bc，得cos2bcossin2c2sinccosc，所以tanc2.(2)由tanc2，c(0，)得sinc，cosc.因为sinbsin(ac)sin，所以sinb.由正弦定理得cb，又a，bcsina3，所以bc6，故b3.规律方法 有关三角形面积问题的解题途径无论是求三角形的面积，还是已知三角形的面积，其关键是结合已知条件选择适当的面积公式，以建立三角形的面积与三角形边角之间的关系

10、在abc中，已知b60°，cosc，ac3，求abc的面积解：设ab，bc，ac的长分别为c，a，b，则b3.b60°，sinb，cosb.又sinc，由正弦定理，得c8.sinasin(bc)sinbcosccosbsinc××.故所求面积sabcbcsina×3×8×68.类型四三角形形状的判定 【例4】在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且，则abc的形状是()a等腰三角形 b直角三角形c等边三角形 d等腰直角三角形【思路探究】利用2r化边为角，结合已知得到三个角间的关系即得【解析】方法一：根据正弦定理的推

11、广2r(r为abc外接圆的半径)得a2rsina，b2rsinb，c2rsinc，代入，可得，所以tanatanbtanc，又a，b，c是abc的内角，所以abc，所以abc是等边三角形方法二：因为，所以acosbbcosa，根据正弦定理的推广，得a2rsina，b2rsinb，所以sinacosbsinbcosa，则sinacosbsinbcosa0，所以sin(ab)0，则ab0，所以ab.同理可得bc，所以abc，所以abc是等边三角形【答案】c规律方法 判断三角形形状的方法当已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，可化边为角，通过三角变形简化角的关系从而作出判断，这种处理方式对于

12、简单的三角恒等变形提出了要求一般来说，这个方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等在abc中，若sina2sinbcosc，sin2asin2bsin2c，试判断abc的形状解：方法一：根据正弦定理及sin2asin2bsin2c，得a2b2c2，a是直角，bc90°，0°<b<90°.2sinbcosc2sinbcos(90°b)2sin2bsina1，sinb，b45°，abc是等腰直角三角形方法二：根据正弦定理及sin2asin2bsin2c，得a2b2c2，a是直角a180

13、°(bc)，sina2sinbcosc，sin(bc)sinbcosccosbsinc2sinbcosc，sin(bc)0.又90°<bc<90°，bc0°，bc，abc是等腰直角三角形类型五正弦定理在证明中的应用 【例5】如图所示，在abc中，bac的平分线为ad，求证.【思路探究】利用正弦定理把线段比转化为角的正弦比【证明】adbadc180°，sinadbsinadc.在abd中，.在adc中，.baddac，即.规律方法 解决本题的关键是由adbadc180°，得到sinadbsinadc.在abc中，三内角a，b

14、，c成等差数列，对应三边a，b，c也成等差数列，求证abc为正三角形证明：a，b，c成等差数列，2bac.abc，3b，b.a，b，c成等差数列，2bac，2sinbsinasinc，2sin2sincos.b，ac.2×2×cos，cos1，0，ac.abc为等边三角形类型六正弦定理在三角形中的应用 【例6】已知abc的面积为1，tanb，tanc2，求abc的三边及abc的外接圆的直径【思路探究】abc的面积sabsinc，由题设tanc2，tanb，可求出sinc，sinb.而b可由正弦定理用a与sinb表示这样可列出一个关于a的方程，从而求得a的值，其他量即可迎刃而

15、解【解】由tanc2，知c为钝角，且cosc，sinc.由tanb，知b为锐角，且cosb，sinb.所以sinasin180°(bc)sin(bc)sinbcosccosbsinc.又因为b，所以sabcabsinca2.所以a2×(××)1，得a23.所以a.所以b，c.再由2r，得abc外接圆直径2r.规律方法 本题是一道解三角形的综合题，需要综合考虑已知条件与所求量的关系，结合三角函数的有关公式探求已知量与未知量之间的“桥梁”，寻求解决问题的思路在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且tana，cosb.(1)求角c的值；(2)若ab

16、c最长的边为1，求b.解：(1)cosb>0，b为锐角，sinb，tanb.tanctan(ab)tan(ab)1.0<c<，c135°.(2)由(1)知c为钝角，所以c是最大角，所以最大边为c1，c135°，sinc.由正弦定理：得，b.易错警示系列解三角形忽视解的讨论而出错已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求出其他的角和边时，考生要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无解三种情况【例7】在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a1，c.(1)若角c，求角a；(2)若角a，求b.【错解】(1)由正弦定理得，sina，

17、a或.(2)由得sinc，c，b，b2.【错解分析】在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sina后，得出角a或a；在第(2)问中没有考虑角c有两解，由sinc，只得出角c，所以角b，解得b2，这样就出现漏解的错误【正解】(1)由正弦定理，得，所以sina.又a<c，所以a<c.所以a.(2)由，得sinc，所以c或c.当c时，b，可得b2；当c时，b，可得b1.abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知cos(ac)cosb1，a2c，则c(b)a.或b.c.或d.解析：因为cos(ac)cosb1，故cos(ac)cos(ac)1，可得2sinasinc1.由已知a2c，根据正弦定理，得sina2sinc.所以sinc.所以c或c.因为a>c，所以a>c.所以c.一、选择题1在abc中，下列等式总能成立的是(d)aacoscccosabbsinccsinacabsincbcsinbdasinccsina解析：由正弦定理易知，d正确2在abc中，a60°，a，b，则b等于(b)a135