2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.1.1　数列的概念 Word版含解析

1、第一章数列§1数列11数列的概念知识点一数列的概念 填一填按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中数列的第一项a1也称为首项，an是数列的第n项，也叫作数列的通项答一答1与集合中元素的性质相比较，数列中的项有怎样的性质？提示：数列中的项具有以下性质：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性(2)可重复性：数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现(即具有互异性)(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序

2、(即具有无序性)(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素可以代表任何事物，包括数字知识点二数列的分类 填一填项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列知识点三数列的通项公式 填一填如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个式子叫作数列an的通项公式答一答2是否所有数列都有通项公式？数列的通项公式是否唯一？提示：并不是所有数列都有通项公式，数列的通项公式也不唯一，例如，an(1)n也写成an(1)n2，还可写成an.知识点四数列的表示方法 填一填数列是一类特殊的函数，它是以正整数集n或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数anf(n)常见

3、表示方法：列表法表示，图像法表示，通项公式表示，递推公式表示1数列相关概念的理解(1)数列中的数是按照一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列，如数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1就是不同的数列，且在定义中没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现(2)数列的项和项数数列的项是指数列中某一确定的数an，而项数是指数列的项对应的位置序号n，当n是某个确定的正整数时，an表示数列的第n项，an1表示它的前一项，an1表示它的后一项2数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内在的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律反映的

4、是项数与该项的值之间的一种函数关系，通常用第n项an与n之间的关系来表示，即an关于n的表达式数列的通项公式在研究数列的过程中起着关键作用，应切实掌握求数列通项公式的方法有些数列的通项公式不止一个，如数列1,1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成an(1)n2，或ancosn(nn)，或an(kn)有些数列不存在通项公式，如的近似值精确到1,0.1，0.01，0.001，所构成的数列1,1.4,1.41,1.414，.求数列的通项公式时，仅由前几项归纳出的数列通项公式不唯一，如数列2,4,8，通项公式可写为：an2n，也可写为ann2n2.公式不同，由公式写出的后续项也就不同，

5、因此，通项公式的归纳要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出规律，写出通项公式类型一 求数列的通项公式 【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)1,3,7,15，.(2)2，.(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，.(4)1，.【思路探究】求数列的通项公式的步骤：(1)观察符号及各项的特点；(2)分别找出与项数n无关的不变因素和与n有关的变化因素【解】(1)注意和2n进行比较，可得它的一个通项公式为an2n1.(2)将数列的项变形为，观察发现，符号是正负交替出现的，分母是一组平

6、方数，分子比分母大1，因此它的一个通项公式为an(1)n·.(3)将数列中的项与1进行比较，就会发现：a10.91，a20.9911，a30.99911，因此它的一个通项公式为an1.(4)数列中的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(1)n，各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以它的一个通项公式为an(1)n·.规律方法 (1)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，蕴含着从特殊到一般的思想，由这种方法得到的结果不一定可靠，要注意代入值检验(2)根据数列的前几项求一个通项公

7、式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列来求(3)根据数列前几项确定出的一个数列的通项公式可能不唯一，如题(4)的通项公式还可以为an(4)由数列的前几项归纳得到数列的通项公式的方法，称作不完全归纳法，其正确性还需要用数学归纳法加以证明，在今后的学习中会学习到根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)1，；(3)3,33,333,3 333，.解：(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(2)数列每一项分母加上1为：

8、2,4,8,16,32，2n的形式，故an.(3)先来求9,99,999,9 999，的通项公式，注意到各项分别加1后变为10,100,1 000,10 000，则数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1，所以1,11,111，1 111，的一个通项公式为an(10n1)故原数列的一个通项公式为an(10n1)(10n1)类型二数列通项公式的应用 【例2】已知数列的通项公式为an2n2n.(1)分别求这个数列的第5项、第10项(2)试问：15是否是数列an中的项？3是否是数列an中的项？【思路探究】(1)直接将n5，n10代入通项公式，即得a5，a10.(2)已知通项公式

9、，则直接解方程an15，an3，看n是否为正整数即可【解】(1)an2n2n，当n5时，a52×52545，当n10时，a102×10210190.(2)an2n2n，令an15，得2n2n150，解得n3或n(舍去)，15是该数列的第3项令an3，得2n2n30，该方程不存在正整数解，3不是该数列的项规律方法 要判断某一个数是否为数列中的项，实质就是看相应方程是否有正整数解已知数列an的通项公式为an(nn*)，则(1)计算a3a4的值；(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由解：(1)an，a3，a4，a3a4.(2)若为数列an中的项，则，n(n2

10、)120，n22n1200，n10或n12(舍)，即是数列an的第10项类型三数列综合应用问题 【例3】黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖_块【思路探究】观察给出的图案，归纳、猜想【解析】观察图案知，每一个黑色地面砖的周边都有6块白色地面砖，且相邻2块黑色地面砖的中间又重叠了2块白色地面砖，于是得第n个图案中白色地面砖的块数为：an6n2(n1)4n2.【答案】(4n2)规律方法 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法观察以下几方面：(1)各项的符号特征；(2)各项能否拆分；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律等根据下

11、图中各图形及相应的海宝个数，求出第4个、第5个图形中的海宝个数，并写出由海宝个数构成的数列的一个通项公式解：第1个图形只有1行，共3个海宝；第2个图形是在第1个图形的基础上增加了1行，且每行都增加了1个海宝；第3个图形是在第2个图形的基础上增加了1行，且每行都增加了1个海宝，依此规律可得出结论根据前3个图形中的海宝排列的规律可知：第4个图形有4行，且每行的海宝个数为6，所以第4个图形有4×624个海宝；第5个图形有5行，且每行的海宝个数为7，所以第5个图形有5×735个海宝海宝个数组成的数列an的前5项依次为3,8,15,24,35.根据图形及相应海宝排列的规律，数列an的

12、前5项又可以写成1×(12)，2×(22)，3×(32)，4×(42)，5×(52)，故数列an的一个通项公式为ann(n2)n22n.多维探究系列数列通项公式的求法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法1累加法【例4】数列an的首项为3，bn的通项公式为2n8，且bnan1an(nn)若b32，b1012，则a8()a0 b3c8 d11 【思路分析】由已知得an1an2n8，所以a2a16，a3a24，a8a76，由累加

13、法得a8a16(4)(2)02460，所以a8a13.【规范解答】b2累乘法【例5】已知数列an中，a11，sn表示an的前n项和，且snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【规范解答】(1)由s2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由s3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n>1时，有ansnsn1anan1，整理得anan1.于是a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n1个等式中等号两端分别相乘，整理得an.综上可知，an的通项公式an.(1)已知数列an，a12，且an1an2，则an_.(2)已知

14、数列bn，b12，且bn12bn，则bn_.解析：(1)n>1时，a2a12，a3a22，anan12，相加得ana1(n1)×2，an2n.(2)n2时，2，2，2，2, 2n1，bn2n.答案：(1)2n(2)2n一、选择题1下列叙述正确的是(a)a同一个数在数列中可能重复出现b数列的通项公式是定义域为正整数集n的函数c任何数列的通项公式都存在d数列的通项公式是唯一的解析：数列的通项公式的定义域是正整数集n或它的有限子集，选项b错误；并不是所有数列都有通项公式，选项c错误；数列1，1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成an(1)n2，选项d错误故选a.2下列数列的关系是(b)(1)1,4,9,16,25；(2)25,16,9,4,1；(3)9,4,1,16,25.a都是同一个数列 b都不相同c(1)，(2)是同一数列 d(2)，(3)是同一数列解析：三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同3以下通项公式中，不是数