2017全国一卷理科数学高考真题和答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 A=x|x<1, B=x|3x1,则A. AI B x| x 0B. AUB R C. AU B x|x 1 D. AI B2 .如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是Word文档A.花B.一83 .设有下面四个命题访：若复数z满足1 R ,则z R ;z2 一 P2 :若复数z满足z R ,则z R ;P

2、3：若复数 Zi,Z2 满足 ZiZ2 R ,则 Zi Zz ；P4 :若复数z R ,则2 R .其中的真命题为A. P1,P3B. P1,P4C. P2, P3D. P2, P44.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a5 24 , S6 48,则an的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85.函数f (x)在()单调递减，且为奇函数.若f (1)1 ,则满足 1 f(x 2) 1的x的取值范围是A. 2,2B. 1,1C. 0,4D. 1,3A. 15B. 20C. 30D. 357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为

3、等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10B. 128 .右面程序框图是为了求出满足A. A>1 000 和 n=n+1 B.n= n+29 .已知曲线。：y=cos x, C2：C. 14D. 163n- 2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中，可以分别填入A>1 000 和 n=n+2C. A 1 000 和 n=n+1D. A 1 000 和y=sin (2 x+ -),则下面结论正确的是 3A.把。上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移兀一个单位长度,6得到曲线C2B.把。上各点的横坐标伸长

4、到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移兀一个单位长度,12C.把。上各点的横坐标缩短到原来的1一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2兀一个单位长度,6得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2兀一个单位长度,12得到曲线C210.已知F为抛物线C： y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线 h 12,直线11与C交于A、B两点,直线12与C交于D、E两点，则|AB|+| DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 1011 .设xyz为正数，且2x 3y 5z,则A. 2x<3y<5zB. 5z<2 x

5、<3 yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5z他们推出了解12 .几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。 为激发大家学习数学的兴趣,数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2, 1, 2,4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,，其中第一项是 20,接下来的两项是 20, 2：再接下来的三项 是20, 21, 22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N: N>100且该数列的前N项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110二、填空

6、题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知向量 a, b 的夹角为 60°, |a|=2, |b|=1，则| a +2 b |=.x 2y 114.设x, y满足约束条件 2x y 1 ,则z 3x 2y的最小值为.x y 022x y15. 已知双曲线C：-2与 1(a>0,b>0)的右顶点为 A,以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲a2 b2线C的一条渐近线交于 M、N两点。若/ MAN =60 °,则C的离心率为 16. 如图，圆形纸片的圆心为 O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，zDBC, A

7、ECA行AB分别是以BC, CA, AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC, CA, AB为折痕折起空BC, AECA 在AB,使得D、E、F重合，得到三棱锥。当 MBC的边长3变化时，所得三棱锥体积(单位： cm )的最大值为 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。2a17. (12分)2BC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知ZABC的面积为 3sin A(1)求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1 ,

8、a=3 ,求 MBC 的周长.18. （12 分）Word文档如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD,且 BAP CDP 90o.(1)证明：平面 PAB，平面PAD;(2)若 PA=PD=AB= DC, APD 900,求二面角 A-PBC 的余弦值.19. (12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm) .根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 N( , 2) .(1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求P(X 1)及X的

9、数学期望;(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 16 1 161 16经计算得 X Xi 9.97 , s -(xi x)2 J( x2 16x2)20.212,其中为为抽取16 i116i116 1的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16.用

10、样本平均数X作为 的估计值？，用样本标准差s作为 的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0.01).)0.997 4 ,附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2)-UP( 3 Z 30.997 416 0.959 2, 10.008 0.09 .33,),P4 (1,)中恰有 2220. (12 分)x2 y已知椭圆 C： 、=1 (a>b>0),四点 Pi (1,1), P2 (0,1), P3 ( T, a b三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两

11、点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：l过定点.21. (12 分)2xx已知函数 f(x) ae +(a- 2) e - x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. .选彳4Y:坐标系与参数方程(10分)x 3cos ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(0为参数)，直线l的参数方程为y sin ,x a 4t«为参数).y 1 t,(1)若a=- 1 ,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为 田7,求a.2

12、3 .选彳45:不等式选讲(10分)2已知函数 f (x)=)+ax+4, g(x)= x+1 1+ lx-1 .(1)当a=1时，求不等式f (x)为(x)的解集；(2)若不等式f (x)为(x)的解集包含T, 1,求a的取值范围.Word文档2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目Word文档要求的。3. B4. C 5. D 6. C7. B 8.D 9.D 10. A12. A二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 2*14. -515.2.3316. 715cm3

13、三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17. ( 12 分)2BC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知ZABC的面积为3sin A(1)求sinBsinC;6cosBcosC=1 , a=3 ,求 MBC 的周长.解：（1）2a3sin A，-一 1 .由题息可得S ABC bcsin A 2化简可得2a 3bcsin2 A ,c 22 "根据正弦定理化简可得:2sin A 3sin BsinCsin A sin BsinCsin

14、 BsinC由cos B cosCcos Acos A Bsin BsinC cosBcosC因此可得将之代入sin BsinC2，一一中可得:3sin - C3.八 ,3 一 八 1. 2csinC sinCcosC -sin C220,化简可得tanC C ,B , 366 a31利用正弦定理可得 b sin B 一J3,sin A .3 2T同理可得c J3,故而三角形的周长为 3 2曲。18. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD,且 BAP CDP 90o.(1)证明：平面 PABL平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB= DC,APD 900,求二面角 A-P

15、BC 的余弦值.(1)证明：QAB/CD,CD PD AB PD ,又 AB PA, PA PD P,PA、PD 都在平面 PAD 内,故而可得AB PAD。又AB在平面PAB内，故而平面 PABL平面PAD。(2)解：不妨设 PA PD AB CD 2a,以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P 0,0, J2a , A J2a,0,0 ,B J2a,2a,0 ,C J2a,2a,0 ,因此可得uur _ uuuPA :2a,0,、,2a ,PB-2a,2a,一 uur.2a ,PC/2a,2a, V2a ,ur假设平面PAB的法向量Ruux,y,1

16、 ,平面PBC的法向量n2m,n,1 ,故而可得WA WBuup 皿 pLrnllrnlay 2oy1oXao 一 211TJ3Auun2uuur PC、.2am2an,2a 0m 0uu同理可得uun2uuuPB2am2an、,2a 0J2 ,即 n2 n 2-2 .a-p1。Word文档ir uu因此法向量的夹角余弦值：cos n1,n2很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为19. (12分)检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量为了监控某种零件的一条生产线的生产过程： 其尺寸(单位：cm) .根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N( , 2

17、).(1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95_116 1161 16经计算得X Xi 9.97 , s J (xix)2J(x

18、216x2)20.212,其中为为抽取16 i 1；16 i 1 16 1的第i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 .用样本平均数X作为的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2)-UP( 3 Z 3 ) 0.997 4,0.997 416 0.959 2, -0.008 0.09 解：（1） P X 11 P X 01 0.9974161 0.9592 0.0408由题意可得，X满足二项分布 X B 16,0.0016 ,因此可得

19、 EX 16,0.001616 0.0016 0.0256(2)由(1)可得P X 10.0408 5%,属于小概率事件,故而如果出现(3 ,3 )的零件，需要进行检查。C2 由题意可得 M 9.97, M 0.212 M 3M 9.334, M 3M 10.606,故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时:x 9.97 16 9.22 10.02, 1520. (12 分)1 1515i 1x x 0.09。2 .一 X已知椭圆C： a2y 一，彳=1 (a>b>0),四点 P1 (1,1), P2 (0,1), P3 ( T, b23一

20、 、3 -)，R (1,)中恰有22三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过沁点且与C相交于A, B两点。若直线 RA与直线沁B的斜率的和为-1,证明：l过定点.解：(1)根据椭圆对称性可得，*1,1)-1，9)不可能同时在椭圆上,P31, 0 P4d,鸟22定同时在椭圆上,因此可得椭圆经过 R (0,1),P4(1,23 y)，、"口1代入椭圆方程可得：b 1, a2x 2故而可得椭圆的标准万程为：一 y(2)4不妨设直线P2A为:y kx 1 RB 为：y 1 k x1.y kx 1联立, 2 , 2 -4k1 x 8kx 0 ，2x 2假设A X1, y1 ,X2

21、,y2此时可得:A8k 1 4k2A2, 24k2 1 4k2 1,B此时可求得直线的斜率为:化简可得kAB21 2k21. (12 分)已知函数解:f(x)214 1kyi1 i 一时,21 i2时,AB两点重合，不合题意。直线方程为：.2.4k 4k 1 x2k8k4k2 12,当 x1 2k2时,2xae +(a 2) e - x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围对函数进行求导可得c 2x2ae(2)1 减，在 ln ,axae 1xae 1上单调递增。函数有两个零点，故而可得 a 0 ,1 4k24k2 18k4k2 11 4k24k2 1因此直线恒过定点2,xxae 1 e 1 。0恒成立，故而函数恒递减此时函数有极小值要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0,1故而可得ln a 一 1 0 a 0,令g a对函数进行求导即可得到g' a,1ln ,故而可得函数在 af ln- a0,故而函数恒递增,1,ln 一a上单调递又 g 10 , g a In a因此可得函数有两个零点的范围为 a 0,1。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所