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文档简介

1、2021届河南省新乡市高三第一次模拟考试理科数学试J一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.L 己知集合人=刈2、>4, B= x|0<x-l <5,则(CrA)cB=()A. x2<x<5 B. x|x<5 C. x|l <x<2 D. x|x>l【答案】c2 .若复数z满足限-i) = 18 + 1 li,则z的实部为()A. 一5B. 5 C. 一8D. 8【答案】B3 .为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了 7天的训练计戈点第1天跑5000m,

2、以后 每天比前1天多跑200m,则这个同学7天一共将跑()A. 39200m B. 39300m C. 39400m D. 39500m【答案】A4 .若二项式x7的展开式存在常数项,则正整数n的最小值为()A. 7 B. 8 C. 14 D. 16【答案】B5 .设函数Kx) =e'-5x,则不等式f(x?) + f(-x-6) < 0的解集为() 乩(一3,2) B. (-<»-3) U (2, + oo) C. (一2.3) D.(一吗一2) U (3,4 8)【答案】D6 .如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面枳

3、为()A. 28 B. 30 C. 36 D. 42【答案】Dx-4<0x + yz37 .设不等式组y-l>0 ,表示的可行域M与区域N关于y轴对称,若点P(x,y)WN,贝ijz = 2x + y的最小值为()A. -9 B. 9 C. -7 D. 7【答案】C8 .镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共 1200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )119160958289A. W

4、77B. 359C. W77D. 359【答案】C9 .已知点M(x,y)是抛物线y? = 4x上的动点,则底了不孑十辰了行的最小值为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A%10 .将函数f(x)=sin"x + cos4x的图像向左平移8个单位长度后,得到g(x)的图像,则g(x)=()3 11 33 11 3sin4x sin4x cos4x cos2xA. 4 4b. 4 4c. 4 4D. 4 4【答案】A11 设好喧3, b = log34,。=嘻8,则()A. a > b > c B. a > c > b c. c>a>b

5、 D. c > b > a【答案】B12 .已知函数ax + 3,x<0 ,若函数g(x) = f(f(x)-2恰有5个零点,且最小的零点小于-4,则a的取值范闱是()A. (一8,-1) B. (O, + oo) C.(0.1) D.(1,+ 8)【答案】C二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13 .若向量而满足间=3,且(a + 6) (aB) = 4,则向=.【答案】布14 .设P为曲线2x = y6?上一点,A(-技0), B(而,若|PB| = 2,则|PA| =.【答案】415 .设、是数列忆/的前n项和,且= 1 (n+lN+LS-DSu,则S

6、=2-1【答案】V16 .己知AJ3两点都在以PC为直径的球。的表而上,AB1BC, AB = 2, BC = 4,若球。的体积为又私,则异而直线PB与AC所成角的正切值为.【答案】3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步凌.)17 . AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4csinC = (b + a)(sinB-sinA).(1)试问:&b、c是否可能依次成等差数列?为什么?(2)若b = 3c,且AABC的周长为4 + S 求AABC的面积.叵【答案】(1)不可能依次成等差数列;(2) 4 .【解析】【分析】(1)由条件结合正弦

7、定理可得4c2 =利用反证法即可得到a,b、c不可能依次成等差数列:5),cosA = 一(2)由4c =b1屋,b = 3c可得a = q5c,利用余弦定理可得6,进而得到AABC的面积.【详解】解:(1) V 4csinC = (b + a)(sinB - sinA),4sm*C = sii2B - sin2A,.4c2 = b2-a2,a + cb =假设abc依次成等差数列,则 2 ,)a + c)4c2 + aw = (yo o则2,即 15c +3a- = 2ac, 又 15c2 + 3a2 > 6Sac > 2acA 15c2 + 3a* * 2ac,从而假设不成立,

8、故abc不可能依次成等差数列.(2) V4c2=b2-a:, b = 3c, .a2 = 5c2,则a =版, 则a十b十c = (4十、8)c = 4十昆 即c = 1.cosA = 从而3,俨5_52x1x3 6,sinA 一则 6 .1 和故AABC的而积S = 一 bcsinA =24 .【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理的综合应用,解题时注意分析角的范同对于余弦定理一定要入2, 2 2 b * c -a2 21cosA =熟记两种形式:(1)&“ = b +c-2bccosA: (2)2bc .另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还要记住30°, 45。

9、,60。等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.18.如图,在三棱锥P-ABC中,PA,底而ABC, AB = AC = 3, CE = 2EA, BD = DC.(1)证明:平而PBC 1平面PAD:9(2)若三棱锥P-ABD的体积为Z,且AB,AC,求平面PAB与平而PDE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2) -iT.【解析】【分析】(1)由adbc, pa,bc得到bc«l平面pad,从而得证:T _9求出平而PDE(2)因为- 1所以pa = 3.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A 与平而PAB的法向量,代入公式即可得到锐二面角的余弦值.【详解

10、】(1)证明:因为AB=AC, BD = DC,所以AD_LBC,又PAL平面ABC, IlllJPAlBC,因为AD CPA = A,所以BCL平而PAD.又BC u平面PBC,所以平面PBC 1平面PAD.1 1 19 p . ard = - x-x-x3x3x PA =-(2)因为P 3 2 24,所以PA = 3.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,33 D(-O) 则A(0Q,0), B(3,0,0), C(0,3,0), E(0,l,0),2 2 ,现0,0,3),n 3 1则即飞万,PE = (0,1,-3).设平面PDE的法向量为n = (xyz),31n-E

11、b = O 2X + ?1 = ° 则 nEE = O ,即 y-3z = 0 ,令z= 1,得n = (- 1、3J), 平面PAB的一个法向量为A =(0,L0),3 3画cos < m,n > =-;=则旧 U ,3何故平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系:(2)写 出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量:(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列 出方程组求出法向量:(4)将空间位置关系转化为向量关系:(5)根据定理结论求出相应的角和距离.19.某面包推出一款

12、新面包,每个面包的成本价为4元,售价为10元,该款面包当天只出一炉(一炉至少 15个,至多30个),当天如果没有售完,剩余的面包以每个2元的价格处理掉,为了确定这一炉面包的个 数,该店记录了这款新面包最近30天的日需求量(单位:个),整理得下表:日需求量151S212427频数108732(1)根据表中数据可知,频数y与日需求量x (单位:个)线性相关,求y关于x的线性回归方程:(2)以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率,若该店这款新面包出炉的个数为24,记当日这款新而包获得的总利润为X (单位:元).(i)若日需求量为15个,求X:(ii)求X的分布列及其数学期望.nn2代厂司

13、673) Xjy-nxy i=li=lb =a = yv2(、尸)2x-nx2相关公式: i =1i=l 【答案】(1)y =-0.7X + 20.7; (2) ( i ) 72元;(ii )详见解析.【解析】【分析】AA(1)求出正斤及b,利用回归直线经过样本中心点得到a,即可得到结果;(2) ( i )日需求量为 15 个,贝IJX=15x(104) + (24.15)x(24) = 72元:(ii) X可取72, 96, 120,144,计算相应的概率值,即可得到分布列及期望.【详解】(1) x = 21, y = 6,(15-21)(10-6)+ (18-21)(8-6)+ (24-2

14、1)(3-6) +(27-21)(2-6)63)=-=-0(15-211 + (18 2D? + (24 - 2以 + (27- 21)290a = y-bx=6 + 21 x 0.7 = 20.7,A故y关于x的线性回归方程为y = o.7x + 20.7(2) ( i )若日需求量为 15 个,则x= 15 X (10-4) + (24-15) x (2 - 4) = 72元(ii)若日需求量为 18 个,赃=18”10-4) + (24-8),(24) = 96 元若日需求量为21个,则X = 21x(10-4) + (24-21)义(2 - 4)=120元若日需求量为24个或27个,则

15、X = 24 x (10.4) = 144元故分布列为X元)7296120144P10308307305301087572 x + 96 x + 120 x + 144 x =30303030EX =304830= 101.6【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可 能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是:“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常 见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的 概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率:第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列

16、,并注 意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确:第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机 变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型 分布(如二项分布XB(n, p),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.X* V*C:一 =l(a>b>0)20.已知椭圆a2 b2的左、右焦点分别为耳F?, |FF= 2,过点I,;的直线与椭圆。交于a,B两点,延长BF?交椭圆C于点M, .F?的周长为&(1)求C的离心率及方程;(2)试问:是否存在定点式X/),使得PPfe为定值?若存在,

17、求X。;若不存在,请说明理札1 2 2I x y11【答案】2, 4 3;(2)存在点R且28.【解析】【分析】(1)由已知条件得c=l, a = 2,即可计算出离心率和椭圆方程(2)假设存在点P,分别求出直线BM的斜率不存在、直线BM的斜率存在的表达式,令其相等,求出结果【详解】(1)由题意可知,FiF= 2c = 2,贝胫=1,又AABF?的周长为g,所以4a =8,即a = 2,C 1 e=_=_ .2 2 2 贝|J a 2, b"=a -c =3.x- fi = 1 故C的方程为4 3.(2)假设存在点P,使得亦小而为定值.33B(l-)若直线BM的斜率不存在,直线BM的方

18、程为x = 1,2 ,2,设BM的方程为y=k(x1),X v-4 =4 3PMPB = (x0- I)2- 则4.若直线BM的斜率存在,设点 卜1位2,丫2),联立卜= k(x-l), W(4k2 + 3)x2 - 8k2x + 4k2 -12 = Ot8k24k2- 12X + X)= x 凶=根据韦达定理可得:-4k2+ 3, 41? +3, 由于PM = (X2Xo、y2), PB = (x1-xoy1)>,1,(4xJ-8x0-5)k2 + 3xJ-12-1= (k- + l)xtx -(Xo + k j(Xi + x,) + k* +- Xa =则 PMPB=xlX2(Xi+

19、x2)% + q + yiy2-4k2+34xq-8x0- 5 3xJ- 12因为扁而为定值,所以一41,_ II_ 11解得"一3,故存在点P,且飞 一 3.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题,在解答定值问题时先假设存在,分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式,令其相等求出结果,此类题型的解法需要掌握21 .己知函数f(x) = xa-alnx-a(a * 0).(1)讨论f(x)的单调性;1对婀,对任意”凶取尸皿公-2恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)详见解析;(0J.【解析】【分析】“、呦 - 1)l(x)=(1)函数f(x)的定义域为9 + 8),求出导函数

20、X ,对a分类讨论,解不等式即可得到f(x)的单调性:(2)因为1财)-的)除曲)2欧温,所以-')皿.聆焉±-2,由 可得f(x)的最值,进而得到a的取 值范同ar a a(xa -1)/ s i(x) = ax -=【详解】解:(1)函数f(x)的定义域为(0, + 8),X X ,当a<对,x6(0,l), f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减;X 6(1, +co), f(X)>0,所以f(x)在(L + oo)上单调递增.当a>(W, x(0,l), f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减:xG(l, + co),

21、 f(X)>0,所以 f(X)在(L + oo)上单调递增.(2)因为恪)-咯)心心)皿蚁)皿 所以飒皿一a%向父-2,由 知,f(x)在卜”上单调递减,在(1同上单调递增,所以a)向 =*1)=】-,1 a1m-a % f(x)niax = maxf(-),f(e)因为e与f(e)-e 2a,所以eg(a) = f(e).f(-) = ea-e-a-2a(a > 0)设e,则或 a)=ea-e-a_2>2、干-2 = 0,1所以g(a)在(0, + g)上单调递增,故g(a)>g(0) = 0,所以' J,从而f(x)max =2产 ea - 2a,所以e&q

22、uot;-2a-a)<e-2t 即e"ae + 1 <0.设(p(a) = ea.a-e+l(a>0),则s'(a) = eL 1,当a>0R4, ©(a)>0,所以谈)在Q +上单调递增,又改1) = 0,所以e*-a-e+1 W喏价于cp(a)Ws,则a$l.因为a>0,所以a的取值范围为91.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出 最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围:也可分离变量,构造函数,直接把问题转 化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选

23、一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.y = 2 + t22 .在直角坐标系xOy中,直线1的参数方程为I2(t为参数),以坐标原点。为极点,以戏由正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为pcos%=sin。.(1)求直线1的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)若直线1与曲线C交于A,B两点,P(-l,2),求PAHPBI.【答案】 x+y-l=0, y = x2;(2) 2.【解析】【分析】(1)运用消参方法求出直线1的普通方程,结合公式代入求出曲线C的直角坐标方程(2)运用参量代入计算,求出IPAI IPBI的结果 【详解】(1)直线1的普通方程为:x + yl=0.由pcos) = sinG, 得p%os2。= ps】ne,则y = x)故曲线C的直角坐标方程为y = x)

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