(完整版)初中数学各种公式(完整版).doc

1、数学各种公式及性质1 .乘法与因式分解(D(a+b)(a-b) = a2- b2;(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2;(3) (a+b)(a2-ab+ b2)= a3+b3;(a b)(a2 + ab +b2)= a3 b3 ; a2 +b2 = (a + b)2 2ab ;(a b)2 = (a + b)24abo2 .的运算性n®amXan = am+n；am-an=泗；gm)n = amn ；口)/。y；(') b ba "= ft，特：()=(用a°= l(a #=0)o a3 .二次根式(3= a(a刈; 必=lai;

2、后=展店； 月/a>0, b>0)o4 .三角不等式lal-lbl < la ± bl < lal+lbl (定理)；加 条件：llal-lbll <la ±bl4也lal+lbl成立，个不等式也可称 向量的三角不等式(其中 a, b分 向量a和向量b)la+bl < lal+lbl ;la-bl < lal+lb Jal < b<=>-< a< ;bla-bl > lal-lbl; -lai <a<lal5 .某些数列前n之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+l)/2;

3、 1+3+5+7+9+11 + 13+15+(2n-l)=i?;2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+l); l2+22+32 +42+52+62+72+82+- +n2=n(n+l)(2n+l)/6 ; 3333333 221 +2 +3 +4 +5 +6 +-n=n (n+l)/4; 1 Q+2*3+3*4+4*5+5适+68 + +n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3 ;6 . 一元二次方程于方程：ax2 +bx+ c= 0:2求根公式是x=3 ,其中4 = 62 4ac叫做根的判式。当0 ,方程有两个不相等的数根；当=。，方程有两个相等的数根；当 <0 ,方程没

4、有数根.注意：当0 ,方程有数根。若方程有两个 数根Xi和X2,二次三 式ax2 + bx + c可分解a(x xi )(x X2)o7 . 一次函数一次函数y = kx + b(kW0)的象是一条直(b是直与y的交点的坐，称截距)o当k>0 , y随x的增大而增大(直从左向右上升);当k<0 , y随x的增大而减小(直从左向右下 降)；特地：当b = 0 , y= kx(kWO)又叫做正比例函数(y与x成正比例),象必原点。第1页共7页8.反比例函数反比例函数y=4kW0）的图象叫做双曲线。 A当k>0时z双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；当k< 0时z

5、双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。9. 二次函数（1） .定义：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）,那么y叫做x的二次函数。（2） .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。a的符号决定抛物线的开口方向：当aO时，开口向上；当aO时，开口向下;|等，抛物线的开口大小、形状相同。函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2 y ax /当a 0时 开口向上当a 0时 开口向下x 0 ( y 轴)(0,0)y ax kx 0 ( y 轴)(0, k)2y ax hx h(h ,0)y a x h 2kx h(h,k)y ax 2 bx cbX2ab 4ac b 2(

6、一，-)2a 4a0 o（4） .求抛物线的顶点、对称轴的方法2平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x（3） .几种特殊的二次函数的图像特征如下：2公式法：y ax bx cba x 2a4ac b24ab(2a4ac b 24a2第2页共7页3直线x a。2a配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y axh 2 k的形式,得到顶点为（h,k）,对称轴是直线x运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（xi, y）、（X2,y）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：x(5).抛物线 y ax 2 bxc

7、中，a,b, c的作用a决定开口方向及开口大小，这与 y ax?中的a完全一样。b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线。bbX ，故：b 0时，对称轴为y轴；（2L 0 （即a、b同号）时，对称轴在y轴 2aa左侧；）0 （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。 ac的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置。当x 0时，y c ,，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c ）：c 0 ,抛物线经过原点；c。，与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 -0

8、o a（6） .用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.顶点式：y ax h2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。交点式：已知图像与x轴的交点坐标XI、X2 ,通常选用交点式：y a x XI x X2 。（7） .直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax 2 bx c得交点为（0, c ）。抛物线与x轴的交点。二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 xi、x2 ,是对应一元二次方程 ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式判定：a有两个交点（0

9、 ）抛物线与x轴相交；b有一个交点（顶点在x轴上） （0） 抛物线与x轴相切；c没有交点 （0）抛物线与x轴相离。平行于入轴的直线与抛物线的交点同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等, 设纵坐标为k,则横坐标是ax 2 bx c k的两个实数根。一次函数y kx nk 0的图像1与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的交点，由y kx n不星组的解的数目来确定：<y ax2 bx ca方程组有两组不同的解时1与G有两个交点；b方程组只有一组解时 1与G只有一个交点；c方程组无解时 1与G没有交点。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax

10、2 bx c与x轴两交点为 Ax, , B x,1 0,则 AB XI x10. 统计初步（1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做体的一个 本，本中个体的数目叫做 本容量.在一数据中，出次数最多的 数（有不止一个）,叫做 数据的众数,将一数据按大小序排列，把在最中的一个数（或两个数 的平均数）叫做数据的中位数.（2）公式:有n个数XI, X2, - , Xn,那么：X + X + X平均数：X三 >2一二一n ；n极差:用一数据的最大减去最小所得的差来反映 数据的化范，用种方法得到的差称极 差,即:极差=最大-最小；方差:数据XI

11、、X2，Xn的方差S2 , 轻222S- 膈（X I -X）+（X2 X）+ +（ X n X ）n曦准差:方差的算平方根。数据XI、X2,Xn的准差S ,/T 2 22S= 、/一蝙（XI -X）+ （ x 2 -X ） + .+ （ X n - X ）“n月鼓一数据的方差越大，数据的波越大，越不定。11. 率与概率12. 率频数率=,各小的数之和等于数，各小的率之和等于1 ,率分布直方中各总数个小方形的面各率。13. 概率如果用P表示一个事件A生的概率，O<P（A）<1;P （必然事件）=1； P （不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意,运用列法（包括列表、画状）算事件生

12、的概率。大量的重复率可事件生概率的估；乙恸对边斜边/A的余弦：cosA=12.角三角形/ A是ZSABC的任一角，/ A的正弦：sinA=/ FI4郑I，边j 22/ A的正切：tanA= 的邻边.并且sin A+cos-A=l。0<sinA< 1, 0< cosA< 1, tanA>0. /A越大，/A的正弦和正切越大，余弦反而越小。 余角公式：sin(90o A)=cosA, cos(90o A)= sinA0特殊角的三角函数：sin30o= cos60osin45o - cos45o- , sin60o = cos30o 22tan30o,tan45o =

13、l, tan6ao铅垂图度h斜坡的坡度：i= = .设坡角/ 度厂13,正(余)弦定理a ，则 i =tan a(1 )正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形的外接圆半径。正弦定理的变形公式:(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC ； (2) sinA ： sinB ： sinC = a ： b ： c(2)余弦定理 b2=a2+c2-2accosB； a2=b2+c2 -2bccosA； c2=a2+b2-2abcosC；注：NC所对的边为c, NB所对的边为b, NA所对的边为a14 .三角函数公式(1)两角和公式sin(A+

14、B)=sinAcosB+cos AsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcos Acos(A+B)=cos AcosB-sinAsinB cos(A-B)=cos AcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(l-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(l+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-l)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+l)/(ctgB-ctgA) (2)倍角公式tan2A=2tanA/(l-tan2A) ctg2A=(ctg2A-l)/2ctgacos2a=cos2

15、a-sin2a=2cos2a-l = l-2sin2a(3)半角公式sin(A/2)=V-(lcosA)/2) sin(A/2)=- V (l-cosA)/2)cos(A/2)= V (l+cosA)/2) cos(A/2)=- V (l+cosA)/2)tan(A/2)= V -cosA)/(l+cos A) tan(A/2)=- J (1 -cos A)/( 1 +cos A)ctg(A/2)= V (1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=- J (1 +cos A)/( 1 -cos A)(4)和差化积sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cos

16、A+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cos AcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cos AcosBctgA+ctgBs in(A+B)/s in As inB -ctg A+ctgBs in(A+B)/s in As inB(5)积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cos AsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15 .平面直角坐标系中的有关知识(1)对称性：若直角坐标系

17、内一点P (a, b),则P关于x轴对称的点为Pi (a, -b) , P关于 y轴对称的点为P2 (-a, b),关于原点对称的点为P3 ( -a, -b) o(2)坐标平移：若直角坐标系内一点P ( a, b)向左平移h个单位，坐标变为P (a-h, b), 向右平移h个单位，坐标变为P (a+h, b)；向上平移h个单位，坐标变为P ( a, b + h),向下 平移h个单位，坐标变为P (a, bh)汝口：点A (2, - 1)向上平移2个单位，再向右平移5个 单位，则坐标变为A ( 7, 1) o16 .多边形内角和公式是正整数），外角和等于360。多边形内角和公式：n边形的内角和等

18、于（n 2）180。（n23, n17,平行线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：abc,直线11与12分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F,贝l用LAR-DEDE”C EF_BC EF AC DF AC DFDB EC AB AC BC AB AC如图：RtA ABC 中，ZACB = 90°, CD±AB 于 D,（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如图：ABC中，DE/7BC , DE 与 AB、AC 相交与点D、E , 则有：18 .直角三角形中

19、的射影定理则有:(1)2CD _ AD BD直角三角形中的射影定理:2( )2AC AD AB 3 BC BD ABADB19 .圆的有关性质（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦;平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性 质.注：具备，时，弦不能是直径。（2）两条平行弦 所夹的弧相等。（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（4） 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（5）圆周角等于它所对的 弧的度数的一半。（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（8） 90o的圆周角所对的弦是 直径，反之，直径所对的圆周角是90o,直径是最长的弦。、（9）圆内接四边形的对角互补。20 .三角形的内心与外心（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三