(1502)黄金分割专项练习30题

1、 精选文档黄金分割专项练习1.定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB ,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC中，AB=AC=1,/ A=36 BD 平分/ ABC AC 于点 D .可编辑(1 )求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (ABAD).4(jcm5(1)若这个矩形的面积等于99cm 2,求AB的长度;(2)这个矩形的面积可能等于101cm 2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由;(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比西-1、),求该矩形的面积.(结果

2、保留根号)9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,，一 ,，1+V5,一如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.精选文档10 .如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB ;以线段AF为边作正方形 AFGH .则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且 AD2=BD?AB ,求的值.14 .五角星是

3、我们常见的图形，如图所示，其中，点 C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm ,求EC+CD的长.可编辑 精选文档可编辑,是比较好看的黄15 .人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？PB为宽和以AB17 .如图，点P是线段AB的黄金分割点，且 APBP,设以AP为边长的正方形面积为 Si,试比较S1与S2的大小.AD- 2 AE,18 .如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点,BE交DC于点F,已知 相求CF

4、的长.精选文档20.（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段 AP和一条较大线段 BP,如果备考，那么称点P为线段AB 的黄金分割点，设里二k ,则k就是黄金比，并且 k- 0.618 .BP AB图I图2图3可编辑（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 APB （如图2）,等腰 AP耿黄金三角形，黄金三角形的定义为:满足0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义:（2）如图1 ,设AB=1 ,请你说明为什么 k约为0.618 ;（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积）a工，那么称直线l为该图形的黄金分

5、割线.（如S，八5S1为S的图形分成面积为 S1和面积为S2的两部分（设SK S2）,如果一S2图3）,点P是线段AB的黄金分割点，那么直线 CP是 ABC勺黄金分割线吗？请说明理由;（4）图3中的 ABC黄金分割线有几条?21 .在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618 ,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m ,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）23 .如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD ,先折出BC的中点E,再折出线段AE ,然后通过折叠 使EB落到线段E

6、A上，折出点B的新位置B,因而EB =EB .类似地，B上折出点B使AB =AB .这时就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.A丁 &25 .如图，在 ABC 点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知/ ACE=108 BC=2 .（1）求/B的度数；（2）我们把有一个内角等于 36。的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比22. 2写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；求AD的长；在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使 PDC黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理

7、由.28.折纸与证明用纸折出黄金分割点:第一步：如图(1),先将一张正方形纸片 ABCD对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的对角线BF.第二步：如图(2),将AB边折到BF上，得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AGGD)PAD(1)29 .三角形中，顶角等于36 的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1,在 ABC,已知：AB=AC ,且/ A=36(1)在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2) BC牖不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)设3二k，试求k的值；(4)如图2,在A1B1C1中，已

8、知 A1B1=A 1C1 , /A1=108 ,且A1B1=AB ,请直接写出 眈 的值.B1C1ffil精选文档30 .如图1,点C将线段AB分成两部分，如果维真,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行 AB AC课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的S So图形分成两部分，这两部分的面积分别为Si, S2,如果二二，那么称直线1为该图形的黄金分割线.S S (1)研究小组猜想：在 ABCK若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是 ABC勺黄金分割线.你 认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也

9、是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/ CE,交AC于点F,连接EF (如图3),则直线EF也是 ABC黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD,交DC于点F,显然直线EF 是平行四边形 ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形 ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD 各边黄金分割点.可编辑黄金分割专项练习30题参考答案)=721 . (1 )证明： AB=AC=1ABC=Z C=( 180 - Z 2 BN分/ AB咬AC于点D/ A

10、BD= / CB丛/ ABC=36 2BDC=180- 36 - 72 =72 DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 BDCA ABC,BC:AC=CD : BC,即 BC2=CD?AC ,A=CD?AC ,.点D是线段AC的黄金分割点；(2)设 AD=x ,贝U CD=AC - AD=1 x, A吴CD?AC ,2，x2=1 - x ,解得 X1 =, X2=kiilj t Vs -1即AD的长为22 .解：(1)设 AB=xcm ,贝U AD= (20 x) cm ,根据题意得x (20 - x) =99 ,整理得 x2 - 20x+99=0 ,解得 x1 =9 , x2

11、=11 ,当 x=9 时，20 - x=11 ;当 x=11 时，20-11=9 ,而 AB AD,所以x=11 ,即AB的长为11cm ;(2)不能.理由如下:设 AB=xcm ,贝I AD= (20 - x) cm ,根据题意得x (20 - x) =101 ,整理得 x2- 20x+101=0 ,因为 =202 - 4X 1014BD）,AD=； Ub=10 Vs- 10, EC+CD=AC+CD=AD ,EC+CD= （10 后-10 ） cm .15 .解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x： 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X 0.618 =1m1）

12、.（答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16 .解：（1）在Rt AP砰,AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知 PD= 好+研2=山讦！=粕,AM=AF=PF - AP=PD - AP=f/T,DM=AD - AM=3 -网.故AM的长为诋-1 , DM的长为3-加；（2）点M是AD的黄金分割点.点M是AD的黄金分割点.17 .解：二.点P是线段AB的黄金分割点，且 APBP,Af2=BP X AB,又. SimAP 2, S2=PB X AB,S1=S 2.18 .解：二四边形ABCD为平行四边形,/ CBF= / AEB , / BCF= / BAE , . BCFs ea

13、b,区普前ad ctCP BA AE 四可编辑 精选文档把AD= 在二！他，AB= 限1代入得，由二厘_, 2 他2y+1解得：CF=2 .故答案为：2 .19 .解：矩形EFDC是黄金矩形，可编辑证明：:四边形ABEF是正方形,20 .解:(1 )满足长宽十长0.618的矩形是黄金矩形;(2)由(孑k得,即 k2= (1 - k) x 1 ,BP=1 x k=k ,从冰P=1 k,解得k= k4, 0.618(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以AP BP.BP阻设 ABC勺AB上的高为h,则精选文档工二理一史工 %EPC 23Pxh BF saabc 曲Xh 期AAPC AEPC2AB

14、PC AABC,直线CP是 ABC勺黄金分割线.W,则过(4)由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点 Q,则AQ也是黄金分割线，设 AQ与CP或点W的直线均是ABC金分割线，故黄金分割线有无数条.21 .解：根据已知条件得下半身长是160 x 0.6=96cm设选择的高跟鞋的高度是xcm ,则根据黄金分割的定义得:96打160+x解得： x= 7.5cm故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22 .解：设正方形 ABCD的边长为2a,在Rt AE呻，依题意，得 AE=a , AB=2a ,由勾股定理知EB= Ha，AH=AF=EF -AE=EB - AE= (“T) a,HB

15、=AB - AH= (3 -V5) a；AH2= (6 -2近)a2,AB?HB=2a x (3-) a= (6-2 诉)a2,AH2=AB?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.23 .证明：设正方形 ABCD的边长为2,E为BC的中点,BE=1AE私西i*瓜又 B E=BE=1 ,AB =AE -君n-1 ,ABV 出工（五-1） : 2点8是线段AB的黄金分割点.24 .证明：二正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点,BE=1ae=/.AB2+BE2=居， EF=BE=1 ,AF=AE -EF=相-1 ,AM=AF= V5- 1 ,AM: AB= （V5- 1）:2,.点M是线段

16、AB的黄金分割点.25.解：（1） ; BD=DC=AC .则/ B=Z DCB, / CDA=Z A.设/ B=x ,则/ DCB=x , / CDA=Z A=2x .又/ BOC=108 ,x+2x=108x=36B=36 ;（2）有三个：BDC, ADC, BAG. DB=DC, / B=36 , . DBG黄金三角形，（或: CD=CA, / ACD=180 - Z CDA- Z A=36 . . CDA黄金三角形.或 : /ACE=108 , ./ ACB=72 ,又/ A=2x=72 ,. A=/ACB.BA=BC . . BAG黄金三角形. BAG1黄金三角形，出巫二BC- 2

17、? BC=2 , A诋1 . BA=BC=2 , BD=AC=立-1 ,AD=BA -BD=2 -（代T） =3 -质，存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3.i）以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线 AB、BC得到点P1、P2 .ii）以CD为腰的黄金三角形：以点 C为圆心，CD为半径作弧与 BC的交点为点 P3.可编辑精选文档可编辑26.证明：在正方形 ABCD中，取AB=2a , N为BC的中点，NCBC=a .2在 Rt DNO，阳印附之（2a）二泥口又 NE=ND,OE=NE -NO= （lx/1- 1） a. CE_-1）a_VT.三CD- 2a - 2故矩形

18、DOEF为黄金矩形.27 .解：（1）（2） OM=AB （4 分）28 .证明：如图，连接 GF,设正方形ABOD的边长为1 ,则DF=在 Rt BO中,BF= 7eC+CF则Ak/5 F=BF - BA- 1 .2设 AG=A G=x ,则GD=1 x,在 Rt A和FRt DG中，有 AF 2+AG 2=DF 2+DG 2即-1) % J 6)4 (1 - K ) 2解得x= 三二-2即点G是AD的黄金分割点（AG GD ）.G29.解：（1）如图所示;(3)设 BC=x , AC=y ,由(2)知，AD=BD=BC=x. / DBC=Z A, Z C=Z C, . BDCA ABC,.必里，即二q,AC K y r整理，得 x2+xy - y2=0 ,解得1因为x、y均为正数，所以;石)Y 23 -屈v理由：延长 BC至Ij E,使CE=AC ,连接AE. . / A=36 AB=AC , ./ ACB=Z B=72 , ./ ACE=180 - 72 =108 , ./ ACE=/A1C1. . AiBi=AB ,AC=CE=A1B1=A 1C1 , . ACEA1C1,