2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：5.4.2 第2课时　正弦函数、余弦函数的性质（二） Word版含解析

1、第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识探新知基础知识知识点1正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的_定义域_都是实数集r，_值域_都是1,1对于正弦函数ysinx，xr有：当且仅当x2k，kz时，取得最大值1；当且仅当x2k，kz时，取得最小值1.对于余弦函数ycosx，xr有：当且仅当x2k，kz时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kz时，取得最小值1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为r，

2、值域为1,1(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方知识点2正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数ysinx的增区间为2k，2k(kz)；减区间为2k，2k(kz)(2)余弦函数ycosx的增区间为2k，2k(kz)；减区间为2k，2k(kz)思考2：(1)正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？(2)余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x，时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1增大到1；当x，时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k(kz)时，正弦函数ysi

3、nx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，2k(kz)时，正弦函数ysinx是减函数，函数值由1减小到1.(2)观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kz时，余弦函数ycosx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kz时，余弦函数ycosx是减函数，函数值由1减小到1.基础自测1在下列区间中，使函数ysinx为增函数的是(c)a0，b，c，d，22下列函数中在上是增函数的是(d)aysinxbycosxcysin2xdycos2x解析ysinx

4、在上是减函数，不满足条件ycosx在上是减函数，不满足条件ysin2x的周期是，在上不单调，不满足条件ycos2x的周期是，在上是增函数，满足条件故选d3函数y3sin的一个单调递减区间为(b)abcd解析y3sin3sin，检验各选项可知，只有b项所给区间是单调递减区间，故选b4函数y2sinx取得最大值时x的值为_2k(kz)_.解析y2sinx，当sinx1时，ymax3，此时x2k(kz)5函数ysinx(x)的值域为_，1_.关键能力攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间例1 求下列函数的单调递减区间：(1)ycos(2x)；(2)y3sin(3x)分析(1)可采用整体换元法并结合正

5、弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间解析(1)令z2x，而函数ycosz的单调递减区间是2k，2k(kz)当原函数单调递减时，可得2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)原函数的单调递减区间是k，k(kz)(2)y3sin(3x)3sin(3x)令z3x，则y3sinz，由y3sinz的单调递减区间，即为ysinz的单调递增区间2kz2k，kz.即2k3x2k，kz.解得x，kz.所以原函数的单调减区间为，kz.归纳提升与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数yasin(x)(a0，0

6、)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yasinz的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数【对点练习】 求下列函数的单调区间：(1)函数ysin(x)的单调增区间；(2)函数y3sin(2x)的单调减区间解析(1)函数ysinx在2k，2k(kz)上是增函数，函数ysin(x)为增函数，当且仅当2kx2k时，即2kx2k(kz)函数ysin(x)的单调增区间为：2k，2k(kz)(2)令u2x，则u是x的减函数ysinu在2k，2k(kz)上为增函数，原函数y3sin(2x)在区间2k，2k(kz)上递减，2k2x2k

7、，即kxk(kz)原函数y3sin(2x)的单调减区间为：k，k(kz)题型二三角函数单调性的应用例2 比较下列各组值的大小：(1)sin与sin；(2)sin与cos5.分析比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较解析(1)sinsin(4)sin，sinsin(8)sin.ysinx在0，上单调递增，又0，sinsin，sinsin.(2)cos5cos(25)，sincos()，ycosx在0，上递减，又025cos()，cos5sin.归纳提升比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公

8、式把角化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小【对点练习】 比较下列各组数的大小：(1)sin194与cos160；(2)sin与sin.解析(1)sin194sin(18014)sin14，cos160cos(18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70，即sin194cos160.(2)cossin，0cossin1.而ysinx在(0,1)内递增，sinsin.误区警示忽略函数的定义域而致错例3 已知定义在0，上的函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，求f(x)在0，上的单调递增区间错解函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()

9、1，2k，kz.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kz，得2kx2k，kz.f(x)的单调递增区间是2k，2k，kz.错因分析造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间正解函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()1，2k，kz.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kz，得2kx2k，kz.又x0，f(x)在0，上的单调递增区间是，方法点拨解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题学科素养与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题1求形如yasinxb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1

10、)求解2对于形如yasin(x)k(a，0)的函数，当定义域为r时，值域为|a|k，|a|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xr的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性4求形如y，ac0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.例4 (1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：y2sinx1；ysin2xsinx.(2)求下列函数的值域：y2sin(2x)，x，；y.分析(1)先确定sinx的最值再求y的最值；换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值(2)利用ysinx的图象求解；利用分离常数法或|sinx|1求解解析(1)由1sinx1知，当x2k，kz时，函数y2sinx1取得最大值，ymax1；当x2k，kz时，函数y2sinx1取得最小值，ymin3.ysin2xsinx(sinx)2，因为1sinx1，所以当sinx，即x2k或x2k(kz)时，函数取得最大值，ymax；当sinx1，即x2k(kz)时，函数取得最小值，ym