谢寿才版概率统计习题及其解答

1、习题四1 .设随机变量X的分布律为X-1012Pk0.10.20.3P求 p , E(X), E(2X -1).答案：p =0.4 , E(X) =1, E(2X 一 1) =1 ；2.设随机变量X的分布律为X-101PP1P2P3且已知 E(X) =0.1,E(X2) =0.9,求 p1, p2, P3.【解】因R P2 F3 =1，又 E(X) =(1)R +0LP2 +1LP3 =P3 P =0.1 ，E(X2) =(-1)2LP 02上 12_巳=P P3 =0.9 由联立解得 P = 0.4,P2 =0.1,F =0.5.3.设随机变量X的概率密度为Xx, 0 _ x ： 1, f(

2、x)二 2 x, 1 乞 x 空 2, i 0,其它.求 E(X) , D(X).-be1 22【解】E(X ) = Jxf (x)dx =J0x dx + 1 x(2x)dxX31+X2八 3I.12七° 213227E(X ) = x f (x)dx x dx 亠 1 x (2 -x)dx = 一 0 16故 D(X) =E(X2) -E(X)4.设随机变量X的概率密度为乂2x2 cxex -0,x ： 0.16.0,求(1)c ; (2) E(X) ; (3) D(X).【解】:k2x2C2由 f(x)dx= o cxe 上 dx 2 =1 得 c = 2k I 2k2x2E(

3、X) = f xf(x)d(x) = j0 x_2k xe_ dx上2X2J_oO-2k2:2 上2x2nx e dx =12kE(X2) =x2f(x)d(x) = ° x2|_2k2xe_k2x22 2 1D(XrE(X) 一E(X)肓5.过单位圆上一点 P作任意弦PA , PA与直径PB的夹角d服从区间的长度的数学期望解：弦PA的长为随机变量 X，由任意二的密度函数为1,- p(日)=兀31<0兀 20,其他ji< 2PA 二 X 二 PB cost - 2cosr故EX茁上的均匀分布，求弦PA14二 E(2cos) = 2 2-cosJI6 .设X服从柯西分布，其

4、密度函数为1f(x)二问E(X)是否存在?解：因为be 1 LJxa11 dx“二 1 x2所以EX不存在。且红绿两种7. 一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的, 信号显示时间相同，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求答案：6796&设随机变量 X服从区间1 i上的均匀分布，求 Y=sin(nX)的数学期望与方差< 2,2丿f(x)=17-e 440,x0,x空0.解:1EY = 2.| sin 二xdx 二 0,"2'1DY =EY2 = £sin2 二xdx=1/2。29. 一工厂生产某种设备

5、的寿命X (以年计)服从指数分布，其概率密度为为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备，工厂获利 100元,而调换一台则损失 200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 200元PY=100# P X- -叫 x1/e屮4P Y - -200=P X ： 1> 护塔1/41/41/4故 E(Y) =100 e(-200) (1 -e ) =300e-200 =33.64(元).10.设随机变量X,Y,Z相互独立，且E(X) =5, E(Y) =11, E(Z) =8,求下列随机变量的数学期望(1)U

6、 =2X 3Y -1 ；( 2)V 二 YZ -4X .【解】(1) E(U ) =42 ； (2) E(V) =6811.设随机变量(X,Y)的概率密度为其它.k, 0 c y c x v 1, f(x,y)0 y试确定常数k，并求E(XY).【解】因 ._.f(x, y)dxdy = dx kdy = 1 k = 1,故 k=20"02E(XY)二-bo -bo!(x, y)dxdy1x0xdx.02ydy =0.25.12.设X,Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX(xJx,=它f4Q其它；'-(y-5)厂e , y > 5, Q其它.得到X的概率分布

7、表如下：曰是,X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 E(X) =0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 =0.301.求 E(XY).【解】先求X与Y的均值1 2E(X)= 0 X2xdx| ,e(y)= 5 y 占-4 5)yd令土由X与Y的独立性，得J5ez d 0 z - ez 516.2 E(XY) =E(X)LE(Y)6=4.313.袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，从袋中一个一个地取出(取出后不放回)，设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量X，求 E(X)和 D(X).【解】其分布律，下面求

8、取这些可能值的概率，易知9=00. 75 0,12329=20. 04 1,1 2 1 1 1 0PXPXPXPX小 39=1二12 11”32 =3= 0.204,x-x-=0.005.12 11 10 9E(X2)=02 750 12 0.20 4 22 0.041 3 0.005 = 0.413 D(X) = E(X2)E(X)2 = 0.413-(0.301)2 =0.322.14.设随机变量X的概率密度为0 _ x _ n其它.1 x f(x)T2cos2,i 0,对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于一的次数，求Y2的数学期望.3【解】令1,Y = 0,(i =123,4)y.

9、p=PX -=1 -PX - n 及 PX -33n3 1X1cos dx = 一 0 2221 1 1所以 E(Y) =2，D(Y) =4，e(y)=4 2=2,11 2 2D(Y)=4仁 E(Y 1 1E(X Y)2 =0 - 42,2 22 2所以 D(X YE(X Y) -E(X Y) =2.17.对随机变量 X 和 丫，已知 D(X) =2,D(Y) =3,cov(X,Y) =1，求 Cov(3X - 2Y 1,X 4Y - 3).【解】Cov(3X -2Y 1,X 4Y-3) =3D(X) 10Cov(X,Y)-8D(Y)_(EY)2,从而 E(Y2) =D(Y) E(Y)2 =1

10、 22 =5.15.设随机变量X的数学期望E(X)存在，对于任意x，求函数f (x)二E(X - x)2的最小值，并说明 其意义.解：f (x)二 E(X -x)2 = E(X2) -2xE(X) x2=2x -2E(X)，dx当史0 =2x -2E(X) =0时，有唯一驻点x二E(X)，dx2又d 呼)=2.0，所以在x二E(X)时，取极小值，也是最小值：dx2fE(X)= E(X -E(X) HDX这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为其方差。16.设随机变量U服从区间-2,2上的均匀分布，随机变量_1 X ='1,若 U z； T,若U -1

11、,若U叮, 若U 1.试求D(X Y).【解】因D(X YE(X，Y)2-E(X Y)2,而 X+Y及(X+Y)2的概率分布相应为-2 0 20 4X +Y 11 1 , (X +Y)2 1 124 一2 一11从而 E(X Y) =(-2) 20,44=3 2 10 (-1)-8 3 一28求 cov(X,Y)18设二维随机变量(X ,Y)在以(0, 0) , (0,1),( 1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 及相关系数2【解】如图,Sd= 1，故(X，Y)的概率密度为2f(x"二 0'0,(X, y) D,其他E(X)= xf(x, y)dxdy10dx0 xL

12、2dy=311_x2211 -x 2E(X ) = x f (x, y)dxdy = °dx 0 2x dy 从而18同理1 1E(Y)=3，D小1811 -aE(XY) = xyf (x, y)dxdy = 2xydxdy0 012xyd"芯12 3 336所以Cov(X,Y)二 E(XY) - E(X)LE(Y)从而Cov( X,Y).D(X,D(3618181119.设随机变量X的概率密度为1f(y(1) 求 E(X)及 D(X)；(2)求cov(X, X),并问X与X是否不相关?(2)【解】(1) E(Z)=E Y323(3)问X与X是否相互独立，为什么？1【解】(

13、1)E(X)二 x edx=0.2D(X)二：(x-0)2Lledx=0 ： x2edx -2.2- o(2) Cov(X,|X) = E(XMX I)-E(X)_E(|X |) = E(X|X|)=x| xL-e4x|d = 0,2所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域00<x<+ a中的子区间(0,+ a)上给出任意点X0,则有 Xo : X : X。 =| X I：: X。 X : X。.所以 0 ： P| X b： Xo : P X < Xo < 1.故由PX :：: X0,| X 卜：x。 =

14、P| X 卜:X0 P| X 卜 x°LPX :：: x。得出X与|X|不相互独立20.已知随机变量 X和Y分别服从正态分布 N(1,32)和N(1,42)，且X与Y的相关系数：丫=0.5, Z也丫.3 2(1)求 E(Z),D(Z); 求X与Z的相关系数：z ,并判断X与Z是否相互独立.D(Z) =D X D - 2Cov ,Y13丿12丿 U 2丿=1 9 丄 16 2 - 1 93尹0必丫),Cov( X,Y)二XY所以D(Z) =1 4_6 1 =3.3z x y 因 Cov(X,Z) =Cov IX,-1 132Cov X,X -Cov X,Y119宁以)2(6r-3=°,所以n由Pxz =0，得X与Z不相关又因Z N,3 ',X N(1,9)，所以X与Z也相互独