完整版球面三角形的面积与欧拉公式

1、§6球面三角形的面积与欧拉公式问题提出1 .如何计算球面三角形的面积球面三角形面积与平面三角形面积 有什么区别2 .如何利用球面三角形面积公式证实球面多面体的欧拉公式3 .如何利用球面知识证实简单多面体的欧拉公式6.1球面二角形与三角形的面积我们知道,假设球面半径为R,那么球面面积为S = 4nR2,现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小局部叫 做一个球面二角形.,一一 .一, A"一一、一 .,如以下图,大圆半周PAP和PBP所围成的阴影局部就是一个球面AAA二角形.显然P和P'是对径点,大圆半周PAP'和PBP称为球面二角形的边.

2、球面角/p=/p,称为球面二角形的夹角.如果大圆弧 AB以p和p,为极点,AB所对的球心角为 * 那么/p=/pj.例i计算地球上一个时区所占有的面积.解 如以下图,设o为地心,N s为北极点和南极点,A、B为赤道上两点,且/AOB=15,地球半径为R=6400km根据地理知识,地球共分为 24个时区,一个时区跨越地球外表15、所以由经线NAS与经线NBS围成的二角形就是一个时区,它所 占面积为地球外表积的 也二,360 244 二 R2122即=64002 ： 21446605.85km2246如何计算一般球面二角形的面积1. 二角形的夹角色 ,就是平面PAP'与PBP'所夹

3、的二面角的平面角；A f2. 这个二角形可以看成半个大圆PAP,绕直径PP'旋转口角所生成；3. 球面二角形的面积与其夹角成比例.设这个二角形得面积为U ,那么U：_4 二 2即U =2:抽象概括：球面上,夹角为a的二角形的面积为U =2a如何计算球面三角形的面积设S(ABC)表示球面三角形ABCW面积,A1. 对球面三角形ABC分别画出三条边所在的大圆2. 设A、B、C的对径点分别是A B'、C',那么S(ABC) S(A BC) =2. A3. 球面三角形 ABC +球面三角形 ABC +球面三角形 ABC +球面 三角形ABC,构成半个球面,所以S( ABC )

4、+ S(A BC) +S(ABC ) + S( A BC ) =2 ; HHH(1)又由于S(ABC) S(A BC) =2. AIHHK2)S(ABC) S(ABC) =2 BS(ABC) S(ABC )=2. C所以(2) 一得到2S(ABC) =2(A B C) -2二抽象概括定理6.1球面三角形的面积等于其内角和减去五.球面三角形的三个内角和大于冗.即球面三角形 ABC的面积S=/A+NB+NC-冗,其中/A/B/C是 球面三角形ABC的内角.例2计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积N解 根据地理知识,北京位于北纬39 56'、东经116 20', 上

5、海位于北纬31 14'、东经121 29',重庆位于北纬29 30'、 东经106 30'的经纬度,地球半径为 R=6400km如以下图,设N为北极点,B为北京,S为上海,C为重庆,在球面三角形 NBC NBNC =116.3, -106.5 =9.8 士 0.17 弧度,50.1 3NB =nxR 之 0.87MR = 5.6M10 km, 180NC=60也二 R 1.06 R = 6.8 103km , 180解球面三角形NBC有BCcos = cos0.87 icos1.06isin 0.87)isin1.06 cos0.17 ,R即BC : 0.24R

6、 =1.5 103km ,同理BS ： 0.16R = 1.0 103km , CS ： 0.22R = 1.4 103km解球面三角形BSC有cos0.22 =cos0.24cos0.16 sin0.24sin0.16cos / CBS ,同理/BSC士1.34弧度,/SCB上0.71弧度,所以球面三角形 BSC的面积为(1.11+1.34+0.71-n )R2 =7.5x105km2.练习1. 证实：半径为 R的球面上,夹角为a的二角形的面积为 2 U =2aR.2. 证实：半径为 R的球面上,球面三角形ABC的面积S= A B C 二 Ro3. 球面二角形的面积是球面面积的1,求其夹角.

7、84. 球面三角形的边角关系如下,求它的面积(前 2组为单位球面,后两组球面半径为 2):2 二(1) a= ,b= ,c =3 332 ：.(2) a = /B = ,c =223(3) /amE/BmE/c：31344(4) 2=竺/8=土,/C='3235. 查阅资料,比较例2结果与实际数据的差异.6. 球面三角形ABC的三个内角之和为 更,求这个球面三4角形的面积与球面面积的比.7. 用4个全等的球面三角形覆盖整个球面,如何构造?6.2球面上的欧拉公式设S是一个球面,我们把球面分割成假设干个球面三角形, 要求球 面上的每一点至少包含在某个球面三角形的内部或边上. 同时,任何 两

8、个球面三角形或者没有公共点,或者有一个公共点的顶点,或者有 一条公共边,三者比居其一,这样构成的球面上的网络,叫做球面 S 上的一个三角剖分,记为仃.图中所示的两个三角形的位置关系在球面的三角剖分中都是不允许出现的.设.是球面S的一个三角剖分,.的顶点数记为V,三角形边数 记为E,三角形的个数记为F,那么V、E、F满足什么关系?例3观察下面的球面三角剖分,记录它们的顶点数V,三角形边数E和三角形个数F,说明它们满足什么关系?ADB解 在左图中,顶点为A、B、C、D,顶点数V=4,三角形的边为 AB AC AD BC BD CD边数E=6,三角形为ABC ABD ACD BCD三角形个数F=4,

9、所以V-E + F=2；在中图中,顶点为A、B、C D E、F,顶点数V=6,三角形的边为 AB AG AD AE, FB FC FD FE、BC BE CD ED,边数 E=12,三角形为 ABC ABE ACD ADE FBC FBE FCD FDE 三角形 个数F=8,所以VE + F=2;在右图中,顶点为 A、B、C D E、F、G H,顶点数V=8,三角形的边为 AB AC AH HD AE CH HE, FG GB FC FD FE、BG BE CD ED CG GE 边数 E=18,三角形为 ABC ABE ACH CHD AHE HED FGC GCB FGE GEB FCD

10、FDE三角形个数F=12,所以V-E + F=2.抽象概括球面上的三角剖分.满足下面的公式：V-E+F=2.其中V、E、 F分别是三角剖分.的顶点数,三角形边数和三角形个数.我们把这个公式叫做球面的 欧拉公式.这个公式与球面的大小,三角剖分的方式无关.即不管你在怎样 的球面上,如何进行三角剖分,虽然 V、E、F都发生了很大的变化, 但是它们永远满足欧拉公式.因此,欧拉公式一定反映出球面本身固 有的某种性质.在另一个专题?欧拉公式与闭曲面的分类?中,将对这个问题进 行详细讨论.如何利用球面三角形面积公式证实球面多面体的欧拉公式1. 考虑E和F的关系：球面上共有F个三角形,每个三角形 有三条边,每

11、条边属于两个三角形,所以3F =2E即1 F = E -F 111111(1).2. 把F个三角形编号,记为i=1,2,川用卡.对于第i个三角形, 设它的面积为S,三角形的内角分别为%, Pi,工,那么Si =% +Pj + .因此,整个球面的面积F4 T 二:, Si i 1F-'%,一i 1F八L i-二 F |2 i 13. 由于三角剖分仃共有V个顶点,而在每个顶点处,以它为顶点的所有球面角之和为2冗,所以F工四+口 +Z=2nV川川3.i =44. 根据1、2、3式,得V-E+F =2.这个公式用欧拉的名字命名,是由于在 1750年欧拉首次发现了 凸多面体的欧拉公式.由假设干个

12、平面多边形所围成的封闭的立体, 称为多面体.如果一 个多面体在它的每一个面所决定的平面的同一侧,就称为 凸多面体.(4)如以下图,1、2、3、4、5都是凸多面体,而6、 7不是凸多面体.用V表示凸多面体的顶点数,E表示凸多面体的棱数,F表示凸 多面体的面数,欧拉证实了：V -E F =2思考交流多面体的面是指可以经过连续变换变成圆盘的多边形,比方三角形、四边形都可以做多面体的面,而正 方形中挖掉一个小正方形后剩下的图形就不是凸多面体的面.观察上面的图形,写出它们的顶点数 V、棱数E和面数F,并验证欧拉公式.正如上面的6中看到的一样,后来又可以把凸多面体的欧拉 公式推广到简单多面体.当把多面体想

13、象成由橡皮薄膜围成的,一充气这个橡皮薄膜就可 以变成一个球面,这样的多面体就是 简单多面体.上图中的1、2、3、4、5、6都是简单多面体,而 7不是简单多面体.如何利用球面知识证实简单多面体的欧拉公式例4观察下面的图形,写出凸多面体和它对应的球面三角剖分 的顶点数V、棱数E和面数F,并验证凸多面体的欧拉公式和它对应 的球面三角剖分的欧拉公式.解 在上图中,凸多面体的顶点数 V=4,棱数E=6,面数F=4它对应的球面三角剖分的顶点数 V=4,棱数E=6,面数F=4,凸多面体的欧拉公式是V-E+F=2,它对应的球面三角剖分的欧 拉公式V-E+F =2;在中图中,凸多面体的顶点数 V=6,棱数E=1

14、2,面数F=8它对应的球面三角剖分的顶点数 V=6,棱数E=12,面数F=8,凸多面体的欧拉公式是VE+F=2,它对应的球面三角剖分的欧 拉公式VE+F =2;在以下图中,凸多面体的顶点数 V=8,棱数E=18,面数F=12它对应的球面三角剖分的顶点数 V=8,棱数E=18,面数F=12,凸多面体的欧拉公式是V-E+F=2,它对应的球面三角剖分的欧 拉公式V-E+F =2;下面我们给出简单多面体的欧拉公式的证实思路.不失一般性,我们不妨假设简单多面体P的顶点都在同一个单位 球面S上.如果A、B是简单多面体上两个顶点,且连结 A、B的线段是多面 体P的一条棱,过A B作球面S的大圆劣弧,这样就得

15、到一个覆盖 整个球面的球面多边形工.在这个变化过程中,多面体P和它对应的球面多边形工的顶点数 V、棱数边数E和面数F都是一样的.在球面多边形工中连接顶点使得它成为球面S的一个三角剖分在此过程中,每添加一条大圆劣弧,边数E就变成E+1,与此同时,面数F就变成F+1.假设.中一共新连结了 N条大圆劣弧,那么边数为E+N面数为 F+N,而顶点数V不变,根据球面三角剖分的欧拉公式,有 V -(E +N) +(F +N) =2 ,因止匕V E + F=2.习题A1. 地球外表上的球面三角形的三边分别是1000km,1500km 2000km 求它的面积.2. 在单位球面上,等边球面三角形的面积等于球面面积的1,求它的三个内角和三条边.43. 一个简单多面体的顶点数为 8,面数为6,求这个多面体的棱数.4. 在一个球面上,画出一个三角剖分,并分别数出 M E