极坐标系与极坐标方程

1、一、坐标系1、数轴 它使直线上任一点 P都可以由惟一的实数 x确定2、平面直角坐标系在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系.它使平面上任一点 P都可以由惟一的实数对(x,y)确定.3、空间直角坐标系在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系.它使空间上任一点 P都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定.二、平面直角坐标系的伸缩变换一、 口一A r t& x'= hx,(h 0 0),一定义：设P (x, y)是平面直角坐标系中

2、的任意一点, 在变换 4 : 3') 的作用下,y'= Ny俨 > 0).点P (x, y)对应到点P' (x', y'),称甲为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.伸缩变换后的图形.三.例题讲解例1在平面直角坐标系中,求以下方程所对应的图形经过(1) 2x+3y=0 ;(2) x2+y2=1三、极坐标系1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点 0,自点O引一条射线OX同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取 逆时针方向为正方向),这样就建立了一个 极坐标系.(其中0称为极点,射线 0X称为极轴.)M2、极坐标系内一点的极坐标的规定对

3、于平面上任意一点 M,用P表示线段 0M的长度,用 6表示从0X到 0M的角度,P叫做点M的极径,8叫做点M的极角,有序数对(P,日)就叫 做M的极坐标.特别强调：由极径的意义可知 P> 0；当极角6的取值范围是0,2 n )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标 (B 9)建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径 P=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中,极径 吮许取负值,极角 他可以去任意的正角或负角当Pv 0时,点M (P,日)位于极角终边的反向延长线上,且0M= | B.M (£日)也可以表示为(P,a+2kn)或(P,e+(2k+1)n) (k w z)

4、4、数学应用例1写出以下列图中各点的极坐标A (4, 0) B (2) C () D ()E () F () G ()规定：极点的极坐标是P=0,9可以取任意角.变式练习在极坐标系里描出以下各点A (3, 0) B (6, 2n ) C (3,工)D (5,竺)E (3, 51) F (4, n ) G (6,三)2363例2在极坐标系中,5 -(1) 两点P (5, 一),0(1,一),求线段PQ的长度；44(2) M的极坐标为(P,日)且伊土,pw R,说明满足上述条件的点M的位置.3变式练习5 二 5 二7二1、假设AABC的的三个顶点为 A(5,), B(8,),C(3,工判断二角形的

5、形状.2662、假设A、B两点的极坐标为(Pi,ei),(P2,e2)求AB的长以及AAOB的面积.(O为极点)例3Q ( P,分别按以下条件求出点 P的极坐标.(1) P是点Q关于极点O的对称点；(2) P是点Q关于直线6 =-的对称点；2(3) P是点Q关于极轴的对称点.变式练习冗1 .在极坐标系中,与点(-8,一)关于极点对称的点的一个坐标是()6二5 二5 二二A(8), B(8,-), C (-8,), D(-8,-)666652在极坐标系中,如果等边 AABC的两个顶点是 A(2,), B(2,7),求第二个顶点C的坐标.四、极坐标与直角坐标的互化Mm)X直角坐标系的原点 O为极点

6、,x轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为x,y和x = P cosQy = PsinQP,8,那么由三角函数的定义可以得到如下两组公式：2 =x2 y2, ytan = (x # 0)、 x说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取P>0, 0<0 < 2r o3化公式的三个前提条件1 .极点与直角坐标系的原点重合；2,极轴与直角坐标系的 x轴的正半轴重合；3 .两种坐标系的单位长度相同.三、数学应用例1 1把点M的极坐标8,空化成直角坐标；2把点P的直角坐标、后,-J2化成极

7、坐标.3变式练习在极坐标系中,A2,二,B2,二,求A,B两点的距离 66例2假设以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.5二、1A的极坐标4, J,求它的直角坐标,32点B和点C的直角坐标为2,-2和0,-15求它们的极坐标,P>0,0 w e2n 变式练习把以下个点的直角坐标化为极坐标限定P >0,0 w 8 v 2nA1,1, B0-2,C3,4, D-3-42二、例3在极坐标系中,两点A(6,1), B(6,7J.求A,B中点的极坐标.变式练习在极坐标系中,三点 M (2,三),N(2,0), P(2j3;).判断M ,N, P三点是否在一条直线上 36五、常用曲线

8、的极坐标方程变式练习：直线l经过M(3, 土)21、假设直线l经过M (Po 6o)且极轴到此直线的角为 a ,求直线l的极坐标方程.且该直线到极轴所成角为 -,求此直线l的极坐标方程.42、假设圆心的坐标为 M( P060),圆的半径为r,求圆的方程.运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极 坐标方程.3、在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为4的圆中,求过极点 O的弦的中点的轨迹.、稳固与练习TT在极坐标系中,圆 C的圆心C3,二,半径r=3, 61求圆C的极坐标方程.2假设Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且 OQ:OP=3:2,求动点P的轨迹方程.1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为

9、 P,求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程.分析：建系 设点 列出等式用极坐标P、6表示上述等式,并化简得极坐标方程说明：为便于表示距离,取F为极点,垂直于定直线l的方向为极轴的正方向.e表示离心率,P表示焦点到准线距离.2、例题讲解例1. 2003年10月15-17日,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案平安、准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中央为一个焦点的椭圆,椭圆的近地点离地面最近的点和远地点离地面最远的点距离地面分别为200km和350km,然后进入距地面约 343km的圆形轨道.假设地球半径取6378km,试写出神舟五号航天飞船运行的

10、椭圆轨道的极坐标方程.例2.求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两局部的倒数和为常数.变式练习2 X设P、Q是双曲线x7 a24 =1(0 < a <b)上的两点,假设 OP_LOQ. b2求证:1_ 2|OP|2|OQ|为定值;三、稳固与练习抛物线y2 =4x的焦点为F.(1)以F为极点,X轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程;(2)过取F作直线l交抛物线于A、B两点,假设|AB|=16,运用抛物线的极坐标方程,求直线 l的倾斜 角.根底练习一 .k 二1 .直线Pcos(8 +a) = m(a手 k更z)的斜率是22 .极坐标方程 P =6一表示的曲线是 2 -sin3 .曲线Psin日=2和P =4sin 8( P >0,0 W6<2n)的交点坐标 4 .在极坐标系中与圆 P = 4sin 6相切的一条直线方程为()D、 Pcos 二-4A、PsinH=2B、PcosH=2 C、PcosH=4-95 .椭圆P =的长轴长5-4 cos 二二、讲解新课：例1.求曲线Pcos9 +1 =0关于直线g =二对称的曲线方程. 4例2.求以下两曲线的交点坐标.1p = 1 + cos 6和 p =-2(1