方程方程组及不等式不等式组

1、.教学内容：方程、方程组及不等式、不等式组学习目标：1 .掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元 次方程组,会简单应用.2 .类比方程组的知识点,掌握不等式组的知识点.重点、难点1 .方程的有关概念,同解原理2 .方程的分类fr-次方程代数方程有理方程整式方程,兀一次方程分式方程无理方程L3. ,兀,次方程ax+b=°,a=0, a一次项系数,b常数项bx =求根公式：a唯一实根4. 一元二次方程2ax +bx +c = 0, a #0a二次项系数；b一次项系数；c常数项根的判别式： =b2 -4ac.0有两个不等实根 1 = 0有两个相等实根工

2、0无实根当之0时,求根公式xi,2-b b2 - 4ac2a2a解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法当20时,根Xi, x2与系数a、b、c关系bcxi x2 = 一 g = a ,a构造以xi, 修为根的方程有无数个,构造以1为二次项系数的2x -x1 x2 x x1 x2 =05 .分式方程定义；解法：分式化整式,注意验根；解的个数6 .方程组的有关概念7 .二元一次方程组,二元二次方程组,三元一次方程组解法思路：消元、降次方法：代入法、加减法8 .解的情况：个数9 .不等式的概念：ax+b>0, a¥0或ax+b<0, a#010 .不等式的根本性质及同解

3、原理11 .不等式的解集及解法,解的个数12 .利用数轴确定一元一次不等式组的解集13 .注意类比的方法14 .绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解,可看作不等式组的应用.【典型例题】例1.关于x的方程4x+m=2(x2m)与2(3x+4m)=3m+2(x1)的解相同,求 m的值.5mx 二一解：4x m =2(x 2m)的解为 25m 2一一 ._. x =2(3x +4m) =3m+2(x -1)的解为43m 5m 2 丁两个方程的解相同,24m = 2_ 3m说明：假设要求 x的值是多少,不必将 m = 2代入原方程,只需代入2或5m 2 x =4 ,得 x = -3例2.解以下

4、方程2x -1 2x 5 6x -7 ,二1(1)23401 -0.2x ,0.07 - 0.1 x-1 =0.30.04解：(1)方程两边同乘12,得6(2x -1) -4(2x 5) =3(6x -7) -12去括号,得 12x-6-8x-20 =18x-21-12移项,得 12x -8x -18x = -21 -12 6 20合并同类项,得-14x=-71x = 一2说明：解一元一次方程是解其它方程的根底,根本思路是把方程变形为最简方程ax = b(a丰0),再求解.(2)利用公式的根本性质,原方程化为：1 -2x 1 _ 7 -10x4去分母,得 4 -8x-12 -21 - 30x2

5、9x =22说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆.例3.解以下方程C 21,2x2 4x -二-1(1) x2+2x+22116(x2 ) 5( x) - 38 = 0(2) xx112. 2"-二一解：(1)设 x +2x+2=y,那么 x +2x+2 y212(x2 2x 2) -4 = -1原方程可化为x 2x 212y-3 =0那么有 y2整理,得 2y -3y , 1 = 0解得y1 =1,当x2+2x +2 =1时,x2 2x 1 =0x1 = x2 = Tc1c3x2 2x 2x 2x - = 0当2时,2丁 < 0 ,此方程无实根经检验,x = T是原方

6、程的根.x 1 = yx24=y2-2(2)设 x ,那么 x2原方程化为6(y 一2) 5y -38 = 02整理得 6y 5y -50 = 0y1 = 解得103 '5y2 =21010yi 二 一二工当 3时,- 2整理得3x 10x 3=01°x1 - - , x2 - -3解得132y2 = 5 x 1 =-当 2时, x 22整理得 2x2 -5x 2 = 0x3 = ,x4 =2解得 2x4 二 2 工一一、一一, 都是原方程的根.101x1 - - , x2 - -3, x3 =经检验,3222例4.不解方程,判断关于x的方程x -2(x-k)+k =-3的根

7、的情况.22解：原方程整理为x 2x+k +2k+3 = 0：=(-2)2 -4(k2 2k 3)=4 -4(k2 2k 1) 2=4 -4(k 1)2 -82=-4(k 1) -4(k 1)2 -02_.-4( k 1) -0.-4(k 1)2 -4 ：0即 M0 ,故原方程没有实数根.2例5. m为何值时,方程m-1x 2mx m+3 = 01无实根；2有实根；3只有 一个实根；4有两个实根；5有两个不等实根；6有两个相等实根.解：1分两种情况：当m=1时,方程为2x+4=0,它有一个实根,不符合题意,舍去；当 m #1时,4 =4m2 4m1m +3 = -8m +12一 一 一 3-

8、8m 12 ：二 0, m 只需也0,即2时无实根m-1.0: 32分两种情况,当1A之0 时,即1m 23,m _一2且m #1时方程有两个实根当m=1时,方程为2x+4=0有一个实根3m - -综上所述,即2时,方程有实根3当m= 1时,方程为一元一次方程,只有一个实根m -1 =0(4)当 |A =8m + 12 占 0,即mJ2且m 01时,方程有两个实根当 |A = Km + 12>0,即3 m2且m.1时,方程有两个不等实根当( = _8m*12=0,即3m = 一2时方程有两个相等实根说明：一定要注意审题,区别题目的不同问法./22m为实数的两个实数例6.关于x的一元二次方

9、程m 一1x -2m-1x + 1 = 0 根的倒数和大于零,求 m的取值范围.dX2；1< 2:3:4:二 5 解：由题意知,应满足 解由1知：m ' 士1 由2得：m2 -10：-02m -1fx +x2 =m 一 11x-=-m -1-(2m-1)2 -4(m2 -1)22=4m -4m 1 -4m 4 =-4 m 5-05 .m -4把3、4代入5 ,得：2m -11X2 = m2 -1 .2m-10X1X21-2m 一 111+Xi X21 m 2一:二 m - -综上所述24 ,且m ¥ 1说明：解决这类题目,常常需要列出五个条件.在此题中,1式由于是一元二

10、次方程,故二次项系数 m2 -1 ¥0； 2式由于有两个实数根,故 A之0 ； 3、4为一元二次方程根1 10.这五个不要遗+ 1X11 十X2与系数的两个关系式；5是此题关于一元二次方程两实根的特殊条件 X1 X2 条件综合起来,此题方可解出.所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语, 漏条件,特别要注意挖掘隐含条件.2例7. (1)设X1,X2是关于X的万程x +kX+2 = 0的两个根,求证:2 2(2)如果关于 X的方程X +kx+2=0及方程x -x-2k =0均有实数根,问方程22X +kx+2=0与方程x -X-2k =0是否有相同的根假设有,请求出这个相同的根；

11、假设没 有,请说明理由.证实：(1)由题意,得= k2 -8 0河 +x2 = -kx1x2 =211 kX1x2k k k十+ =+ = + = 0xX22X1X2222即原等式成立.2 2(2)解：设方程x x-2k=0与方程x +kx+2 = 0有相同的实数根a,那么可得:a2 - a -2k =0a2 ka 2=0二 ka +2 +a +2k =0 ,变形为 a(k + 1) +2(k + 1) = 0即(a 2)(k 1) =0假设 k +1 = 0 ,那么 k = -1,代入方程 x2 +kx +2 =0及 x2 -x -2k = 0 2. 一一 一 .二两方程均为x x+2=0,

12、 = 7<0,无实根二 k # 1,即 k +1 =0那么a +2 =0,即 a = -2两个方程有相同的实数根 -2.Xi| 二一二0的两个实根,且X22说明：第2问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根问题的一个常见解法,注 意分类讨论.22例8.：Xi、X2是关于X的方程4x 3m5x 6m 求m的值.解：由次方程根与系数的关系,有:XiX23m -54'X1X2-m22Xi一|1 = 2,二 Xi ,X2X2均不为零X1X2:二 0Xi.<X20,Xi取X2即Xi,x2异号32设 Xi =3k,X22k,3k(-2k)那么43 2-m2, 3m -5k 二42.2

13、m k =,42(3m-5)2=4m2)22整理得m -6m 5 = 0mi = i, m2 =5将m = i和m = 5分别代入 mi = i, m2 =5中,符合反思：通过此题的分析及解题过程,应注意以下几点：xi 3L1二i由x22去掉绝对值符号时,一定要考虑XiX2的正、负;(2)求m的过程中,通过设参数较为简便,也可利用Xi3一二 X22 的关系代入去求;2(3)求出m的值后,还应代入 A = b -4ac去检验是否符合 A >0.例9.解方程组：. 2.2x - 4xy 4y x - 2y - 2 = 03x 2y -11 =00法一：用代入法11 -3x,y = 由2得：2

14、把3代入1得：二3：1：二224x11 -3x11 -3x 2x -° - 4广22一 一 2 一一 一 整理,得 4x -21x 27 = 0211-3幻.2二02=3代入3 ,得_ 94代入3 ,得17 = 3二原方程组的解为 y1 =1 解法二：(用因式分解法)9I z _ X2 一417y22方程 1可化为x2y +x2y2=.gpX-2y 2X-2y-1 =0二 x -2y +2 =0 或 x 2y -1 =0原方程组可化为：lx -2y 2 =0 x-2y-1 =03x+2y_11 =0和'3x+2y-11 = 0Xi =3分别解得yi=19X2 =4172至说明

15、：此题为I型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值后, 定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值. 2-2,/|x - 2xy y =4： 122例 10.解方程组 l2x +5xy-3y =0 <2>解：由<1>得：(x_y)2=4,二 x-y=2或x-y = -2由 <2>,得(2xy)(x+3y)=02x - y =0 或 x+3y = 0原方程组化为以下四个方程组：x-y=2x-y=2x-y = -2x - y = -2? < < <2x y = 0x +3y =02x - y = 0x + 3y = 032y

16、2二原方程组的解为：_ 3Xx1 = -2X2 21x3 =2y=Y y2 =_1M=4说明：此题为ii型二元二次方程组,要注意根据方程的特点,选择恰当的方法去解.例11.解以下方程组:(1)(2)(3)(1)j_x 2y = 42xy - -21lx2 y2 =131xy = 6210 x 十二115x7j+y 2 2分析：此题是I型二元二次方程组,可以用代入法来解,再介绍另外一种解法.解：:方程1是x与2y的和,方程2是x与2y的积二x与2y是方程z2 4z 21 = 0的两个根解此方程得Z1 = -3, z2 = 7£二3 或二3X X1 = 3 XX2 7、 yi =: y2

17、 = -f 即原方程组的解是'2,12(2)解：<1 a + <2 > 父2得： 2(x + y) = 25, x + y =工5<1 a <2 >x2得：2(x -y) = 1, x - y = 1可化为以下四个方程组：x y=5 " y=5Jx y = -5 _Lx y = -5x-y=1 x-y = -1x-y=1 x-y=-1二原方程组的解为y1=2'ix：u 仁；仁3x y = a说明：(1)题可以看成xy = b 特殊类型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的 关系来解. 22' 22xy=ax-y=a(2)题是

18、、xy =b型的二元二次方程组,另外还有x±y=b型的二元二次方程组,也有简便的特殊解法.x10z =1135z 1二 z(3)解：设x+y,那么原方程组变为解关于z和x的方程组,得ix =3 iz = 1 ,ix = 34 1、x +y二1-Lx = 3x y =1_Lx = 3解得V = -2Lx = 3经检验iy = -2是原方程组的解说明：(3)题是分式方程组,这类方程组要设法转化成整式方程组来解,需要检验,有时在应用题或综合题中会遇到.y2 =2x例12.方程组y=kx +1有两个不相等的实数解 (1)求k的取值范围x = x1 x = x2(2)假设方程组的两个实数解为l

19、y=y1和ly = y2是否存在实数k ,使 xi +xix2 +x2 =1,假设存在,求出k的值；假设不存在,请说明理由.2 2解：(1)原方程组可化成kx 2(k -1)x 1 - °k2 =0由题意可知=2(k-1)2 - 4k2 =-8k 4 °k二01< 2k2且k / 0时,方程组有两个不相等的实数解.2(k -1)1, x + x2 =一-2, x1x2 2 k k2(k -1)1 dx1 x1x2 x2 =z- r = 11122 k2 k2丁 k #0 ,去分母同乘k2.k2 2k -3 =0解得 k1 = -3, k2 = 1L 1- k : 一2

20、二k =1舍去即当 k = 一3 时,x1 + X1X2 + x2 =1 成立；12的自然数解.3(x 2) <2 -5(x -4)-3x例13.解不等式组L 23解：由<1>得x<2由 <2> 得 x > -5-5x2二不等式组的解中自然数有0, 1, 2例14.解以下不等式131A三 4(1) 23x -6 ：0(2) 2x 1解：(1)-8 <3x -1 <8-7 < 3x < 9-7 <x <333x -6 02x I：0x 2：1x 二23x -6 二 02x 1 0二2xx解得I 2或I不等式组1无解,不

21、等式组2的解集为:-:x : 2二原不等式的解集为：21一一：x : 22【模拟试题】做题时间：40分钟一.选择题1 .下面四个方程中,有两个不等实根的是2 ._2._A. x 1=0B. x-x1=0x2 -x - = 02C.4D. x x -1 = 02.方程x2 +3x-6 = 0的两根为x1、x2 ,那么以3x1、3x2为根的 次方程是A. x2 -9x 54 = 02C. x 9x - 18 = 0lx = 113.ly =9是方程组-Lm = 2A. n = 3mx2B. x 9x - 54 = 0D. x2 9x 18 =0ny = 49、nxmy = 15的解,那么-Lm -

22、 -2B. n=3C. n = 一2D.m - -3n - -24 .一个矩形周长为 24,宽的长度不超过 4,那么长a的取值范围是A. 20 < a < 24B. 0 :二 a < 12C. 8 :二 a 二 12D. 8 < a 二 125x - 6 : 2x m5 .不等式组3x -12 <4x -13解集是1 < x < 4 ,那么m的值是A. 6B. -3C. -6D. 32 .填空题6 .设m+nm+2+n 15=0,那么 m + n 的值为27 .如果方程3x 一m 1x+m = 5的两个实根互为相反数,那么 m =；假设两实根 互为倒数,那么 m =,假设有一个实根