控制工程基础习题解题过程和参考答案

1、3-1某单位反响系统的开环传递函数为K Gk(s),试求其单位阶跃响应.Ts 1解法一,采用拉氏反变换:系统闭环传递函数为:"s)=C(s)Gk(s)输入为单位阶跃,即:故：C(s) = ：,(s)R(s)R(s)1R(s)sK 1Ts K 11 Gk(s)KTs K 1BK-1 sT可由待定系数法求得:所以,C(s)=K 1cs十)s T对上式求拉氏反变换：KLtc(t)(1-e T )K 1解法二,套用典型一阶系统结论:由式(3-15),典型一阶系统为：G(s) =2R(s) Ts 1由式(3-16),其单位阶跃响应为：c(t)=1eT假设一阶系统为6(s) =C0 =,那么其单

2、位阶跃响应为:R(s) Ts 1一：tc(t) =K(1-e T )现本系统闭环传递函数为:Gk(s)1 Gk(s)K K (K 1) KTs K 1 Ts (K 1)1 Ts 11=-1所以,c(t) = K (1 - e T、二(1-eK 1采用解法二,概念明确且解题效率高,计算快捷且不易出错,应予提倡.3-2设某温度计可用一阶系统表示其特性,现在用温度计测量容器中的水温,当它插入恒温水中一分钟时,显示 了该温度的98%,试求其时间常数.又假设给容器加热,水温由0c按10 C/min规律上升,求该温度计的测量误差.解：(1)由题意知,误差为 2%,因此调节时间：ts=4T=1min ,即时

3、间常数T：1,T =-ts =0.25min =15 sec(2)由题意知输入信号为斜坡信号,r(t)=10 t/min .由式(3-24), 一阶系统跟踪斜坡信号时有固定稳态误差：= 2.5 CO试求系4 = AT =10 C. min 0.25min3-3 一阶系统的结构如题 3-3图所示,其中Ki为开环放大倍数,%为反响系数.设 Ki = 100, a = 0.1统的调节时间ts (按土 5%误差计算)；如果要求ts=0.1,求反响系数 K2.题3-3图系统的结构图解:1 K2Ki系统闭环传递函数为：中(s)S=-R(s) 1 , K1K2s K1K2s,一1可见,时间常数T=0.1se

4、cK1K2(1)调节时间 ts=3T=0.3sec (5%误差)一一333(2) ts = 3T =, 所以 K2 = 0.3K1K2tsK10.1 100_ , .43-4设单位反响系统的开环传递函数为Gk(s)=,求该系统的单位阶跃响应.s(s 5)解:系统闭环传递函数为：V(s) =C0 = Gk(s)=二一R(s) 1 Gk(s) s 5s 4这是一个二阶过阻尼系统 (,1),不是二阶振荡系统,因此不能套用现成结论.可用传统方法求解,即: 1输入为单位阶跃：R(s) =1s故:C(s) = ：(s)R(s)=49_s 5s 41 _1A 4 3s s 4 s 1对上式求拉氏反变换:14

5、4工c(t) =1ee333-5某系统的闭环传递函数为一 , 、2(s) =C(s) =' R(s)s2 2 ns 1系统单位阶跃响应的最大超调a% =8%,峰值时间tp =1s,试确定,和6 n值.解：由仃外二上式1忑,可求得：,=J 21n ：o=0.627 (也可查图3-16而得)1 二 1n 二 oo由tp =J ,可求得： 0n =:=4.031 rad/s-n:1,2tp,1- 23-6 一单位反响系统的开环传递函数为求:Gk(s)1)系统的单位阶跃响应及动态性能指标s(s 1)tr、tp、ts 和仃 ；(2)输入量为单位脉冲时系统的输出响应.解：系统闭环传递函数为：i(s

6、) =C0 = GkR(s) 1 Gk(s) s s 1(注：上式已经符合标准式 (3-27),否那么应变换为标准式才能继续)1系统的参数为：con =1, 2gn =1=,=0.5 为欠阻尼.2'n(1)由式(3-46),单位阶跃响应： nt1rl1rfc(t) =1 _sin (en Ji _ =?t+日),其中日=arctan,1- 22=1.047 rad代入各参数:c(t) =11.15e05t sin (0.8661 +1.047),其中 8 = arctan以下求各指标:故:由trtr =1 _ 2,其中 f = arctan = 1.047 rad ,冗= 2.418s

7、ec=3.628sec , 2tp :一( =5%)(- =2%)仃% =eTl产 黑100%=16%(也可查图3-16而得)(2)由式(3-46),单位脉冲响应:g(t) =c(t) = Jne4tsin=n Ji 乙,1 -代入各参数：g(t) =c(t) =1.15e.5t sin0.8661解:1和Ka A 1时的单位阶跃响应曲线.系统闭环传递函数为:中(s)=C(s)R(s)s(s 1)1s(s 1)(1Kas)12's(1Ka)s 11 K.系统的参数为：1 =1, 2o n =1 + Ka=,=.n , n2 Ka =0,一,.1 Ka此时,=A =0.5 ,为欠阻尼,可

8、求得:2兀=3.628secp=6sec (: =5%)= 8sec ( 2 2%)二 oo=e- 1-2 100% =16%(2) 0 <Ka <11 Ka 此时,由A =A ,可知0.5<1 ,仍为欠阻尼.由于阻尼比增大,因此超调量减小.2假设0.5<0.9 ,调节时间ts将由于阻尼比的增大而减小.Ka 11 K此时,由一=A,可知,:>1,成为过阻尼系统,因此没有超调量.21倜节时间ts的计算不能应用公式ts (3-4)X,应根据定义计算,通常会加大,略.三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示.3-8解:由图可知,:- oo =20%, tp =0.2se

9、c.由o%=eT自1口,可求得:ln2.oo,2=0.456 (也可查图 3-16而得)二2 ln2二 oo由t,可求得:2 =17.65rad/s3-9某系统如题3-9图所示,假设要求单位阶跃响应 c(t)的最大超调 仃 =20%,调节时间ts <2sec= 0.02),由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线C(t)如题3-8图所示,试计算其系统参数.和8口.试确定K值和b值.题3-9图限制系统框图解:K系统闭环传递函数为:s2 Kbs K：个)=口=/R1 与(1 bs)s与标准式(3-27)比较,知:n = K且2小n =Kb ,所以:根据题意,最大超调 . =20% .而超调量是阻

10、尼比 ,的单值函数,由此可决定阻尼比21nSo.=0.456二 1n 二.而调节时间ts4-<2sec ( =0.02 = 2%),所以: 'n4"n-tT-4.386 rad. s由此得联立方程:达=0.456解得:-19.2423-10典型二阶系统的单位阶跃响应为c(t) =1 -1.25e,2tsin(1.6t 53.1 )试求系统的最大超调 仃、峰值时间tp、调节时间ts.解：由式(3-46),典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为:e" 1-c(t) =1 - fsin («n t +8),其中 a = arctan-r2将上式与给定响应式比较

11、,可计算系统的二个参数n,1,=.6由一=1.25,求得阻尼比:,1- 2或者也可这样求：1 - 2由a =arctan J- =53.1 °,求得阻尼比:由 in =1.2,得 0n =1.2、=2(rad /sec)二个参数求出后,求各指标就很方便了.(1)最大超调 仃% =63造><100%=9.5% (或查图3-16)(2)峰值时间tD二pn=1.96sec, 2(3)调节时间:( =5%)(.： =2%)-=2.5sectsn4=3.33sec.n3-11某三阶限制系统的闭环传递函数为,、C(s)378(s)=-=R(s) (s 3.56)(s 0.2 j0.5

12、)(s 0.2 - j0.5)试说明该系统是否有主导极点.如有,求出该极点,并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应. 解：闭环系统有三个极点,分别是：s1,2 = -0.2 ± j 0.5, s3 = -3.56将实极点与共轲复极点的实部作一比较：Re03.56Res,2 - 0.2=17.8 >5,且附近无零点.因此3,2 = 0.2 士 j 0.5确实可视为闭环系统主导极点.即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统:、,、C(s)378(s)=-=R(s) (s 3.56)(s 0.2 j0.5)(s 0.2 - j0.5)378 3.56(s 0.2 j0.5)(s 0.

13、2 - j0.5)_ _ 2366 0.54_ _2 Z _ _2s 2 0.37 0.54s 0.54该二阶系统的参数为：:=0.37, n =0.54单位阶跃输入的响应指标为：二 ： 29%, ts : 15sec(. < =：:5%)3-12限制系统的特征方程如下,试分析系统的稳定性.54323-12 (1) s +2s +s +3s +4s+5=0解：特征方程的系数均大于0且无缺项.列劳斯表如下2 1-131=b22 4-1 523718-1 2 3-2 3 2Z12二9 3 2 1 2 5 3718结论:劳斯表第一列变号二次,系统不稳定.特征方程有二个右根4323-12 (2)

14、 2s4 +s3 +3s2 +5s+10 =0解：0且无缺项.特征方程的系数均大于列劳斯表如下1071013-25=-745-7 5 -1 10 45-710结论:劳斯表第一列变号二次,系统不稳定.特征方程有二个右根4323-12 3 s +3s +s +3s+1=0解：特征方程的系数均大于 0且无缺项.列劳斯表如下3 1-13 -=03结论:劳斯表第一列出现零值,系统不稳定.特征方程有纯虚根16s 16 =0654323-12解：(4) s +2s +8s + 12s +20s特征方程的系数均大于 0且无缺项.列劳斯表如下20212 20 -1 16b2 二=1222121621216002

15、 8-1 12b =22结论:劳斯表出现全零行,系统不稳定.(特征方程有纯虚根)323-13设某系统的特征方程 s +(a+1)s +(a+b1)s+b-1 = 0 ,试确te待te参数 a及b,以便使系统稳te.解：列劳斯表如下a b -1b -1b1b1 =(a 1)(a b -1) -(b -1)b -1为使系统稳定,需满足以下条件:特征方程的系数均大于 0,即:a 1 0a b -1 0b -1 0劳斯表第一列元素均大于0,去除与条件重复局部后,有：(a 1)(a b -1)-(b -1) 0 (4)解以上4个不等式：由(1)： a >-1 ；由(2)和(3)： a0；综合得：a

16、 >0；由(3)： b >1 ；由(4)： (a +1)(a +b -1) -(b -1) =a(a +b) >0 ；综合得：a >0于是,闭环系统稳定条件为:a 0, b 13-14单位反响系统的开环传递函数为(1)Gk(s)100s(0.1s 2)(s 5)(2)Gk(s)=3s 1s2 (4s2120s 2500)试分析闭环系统的稳定性.解:(1)Gk(s) =100s(0.1s 2)(s 5)系统闭环传递函数为：i(s)=C(s)Gk(s)闭环系统特征方程为:R(s)1 Gk(s)100320.1s2.5s10s 1000.1s3 2.5s2 10s 100 =

17、0判别稳定性：特征方程的系数均大于 0且无缺项.列劳斯表如下0.1102.5100b12.5 100.1 1002.5100结论:劳斯表第一列均为正值,系统闭环稳定.c / 、3s 1Gk(s)= 12s (4s120s 2500)系统闭环传递函数为： 1(s)=C(s)Gk(s)R(s) 1 Gk(s)3s 14s4 120s3 2500s2 3s 1闭环系统特征方程为:4 s4 120s3 2500 s2 3s 1 = 0判别稳定性：0且无缺项.4 s425003 s12032 s2499.912.9521 s特征方程的系数均大于列劳斯表如下120 2500 -4 3 二 2499.912

18、02499.9 3 -120 =2.95212499.9结论:劳斯表第一列均为正值,系统闭环稳定.解：3-15 (a)先求系统闭环传递函数：(s)=-2-10R(s) s 101s 10闭环系统特征方程为：s2 101s 10 =0判别稳定性：这是一个二阶系统,只要特征方程的系数均大于0就必然稳定,无须采用劳斯判据.(同学可自证之) 3-15 (b)该闭环系统有二个反响回路,可采用方块图等效化简方法合并之.R(s)R4R(s)餐10s 10s3 21s2 10s 10C(s)即系统闭环传递函数：i(s) = C© = 310s 10R(s) s3 21s210s 10闭环系统特征方程

19、为： 32s 21s10s 10=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项.列劳斯表如下103-163-16解：2s211200s210s10结论:1021 10 -10 200b 二2121劳斯表第一列均为正值,系统闭环稳定.试确定使题3-16图所示系统稳定的 K值.(a)先求系统闭环传递函数:闭环系统特征方程为:32s s 2s K =0判别稳定性：特征方程的系数均大于 0且无缺项,要求 K>0.列劳斯表如下2 -K假设要求劳斯表第一列均为正值,应满足:2-K 0K 0综合有：0 二 K 二 2开环增益K在上述范围内,那么闭环系统稳定.3-16解：(b)闭环系统特征方程为：32s

20、 (10K 1)s10s 10 =0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项,要求10K+1A0.列劳斯表如下1010K 110100K10K 110假设要求劳斯表第一列均为正值,应满足:10K 1 0100K 二 010K 1综合有：K-0.1K 0K 0速度反响增益K在上述范围内,那么闭环系统稳定.3-16 (c)解：先求系统闭环传递函数:闭环系统特征方程为：320.025s0.35s s K =0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项,要求 K >0O列劳斯表如下0.025 0.35K14假设要求劳斯表第一列均为正值,应满足:1 - 1K 0 =K 0K <14K 0综

21、合有:0 二 K ：14开环增益K在上述范围内,那么闭环系统稳定.3-17单位反响系统的开环传递函数为一KGk(s);2：ss(-y 2 s 1)'n'n式中,6n =90 (rad /sec),解：,=0.3 ,试确定使系统稳定的K值.先求系统闭环传递函数:闭环系统特征方程为:4s3 2 s2s K = 0'n- 'n判别稳定性：特征方程的系数均大于 0且无缺项,要求 K >0O列劳斯表如下3假设要求劳斯表第一列均为正值,应满足:综合有:I K :二 2 ,nK 00 :二 K ：二2 n代入数据后：(1)0 :二 K ： 54开环增益K在上述范围内,那

22、么闭环系统稳定.此题的数学模型较为常见,采用先公式运算再代入参数的方法可以得到一般性结论,例如(1)式.习题3-19就可引用此题结果.3-18设单位反响系统的开环传递函数为Gk(s)=11s(3s+1)(1s+1)要求闭环特征根实部均小于 -1,试确定K值的取值范围.解：通常,闭环特征根实部均小于0可使闭环系统稳定.但在工程上,不仅要求闭环系统稳定,而且常常要求闭环系统具有一定的稳定裕量.此题的意义即在于此.有关稳定裕量的概念,将在第4章中介绍.数学上可这样处理：令s = z-1 ,代入特征方程.这表示,假设求解特征方程,使闭环特征根z的实部小于0,就相当于使s的实部小于-1,因此,对于变量z

23、的特征方程,就可以使用常规劳斯判据了.求系统闭环传递函数：i(s) =C0 = K = Kd(q)111, 19() s(-s 1)( s 1) K s s s K36182闭环系统特征方程为：1 3 1 2 s s s K = 0182令s = z -1 ,代入特征方程：13 12118亿-1)3 2(z-1)2 (z-1) K =0即：131215 cz z z K_=01836判别稳定性：特征方程的系数均大于 0且无缺项,要求 K >0O列劳斯表如下118-十一_ 6 54 6假设要求劳斯表第一列均为正值,应满足:15 K 八06 546K -5 09综合有:59开环增益/14:二

24、 K :二9K在上述范围内,K :二14那么闭环系统不但稳定,且所有闭环极点的实部均小于3-19单位反响系统的开环传递函数为Gk(s)试根据下述条件确定 K的取值范围.(1) 使闭环系统稳定；(2) 当r(t) =3t时,其稳态误差ess解：(1)关于闭环稳定性求解此题当然可以用普通方法,如在习题3-12至3-18中所应用的.但我们换一种思路,设计利用一些规律性的结果.在习题 3-17中已经求出,对于单位反响系统假设具有以下 形式的开环传递函数：K-_2 Z s(s 6s 25)<0.6OGk(s)=K2:s _s( 2 s 1)'n'n当0<K <2笈n时,

25、闭环系统稳定.将此题改写成如上形式:Gk(s)=K 252二-哈 2 06s 1)55可以看出,二个参数为:因此,习题3-17中,稳定条件0<K <25n就成为K2 0.6 525K ： 150(2)关于稳态误差1型系统,开环增益是K/25 ,静式是求闭环稳态误差的开环传递函数的标准形式.可以看出,该系统是 态速度误差系数也为：当输入为斜坡函数KvK25r(t) =3t时,其稳态误差为essAKV375K 25 一 K75K =1250.6要求在此输入下:即综合和,有：ess 三 0.675ess = - 0.6 =' K125 M K ： 150开环增益K在上述范围内,既

26、满足闭环系统稳定性要求,也满足稳态误差要求.r(t)=1(t)、t、t 2时系统3-20单位反响系统的开环传递函数如下,试求三个静态误差系数,并分别求出当 的稳态误差值.(1)Gk(s)10(s 2)(s 5)解:将开环传递函数写成标准形式:Gk=10(s 2)(s 5)1(1s 1)(1s 1)25参数为:型别：0开环增益：K=1三个系数(查表3-5):静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数:稳态误差(查表 3-6):Kp =K =1Kv =.Ka =0阶跃输入 r(t)= A 1(t) ： essAi1 Kp1=0.5斜坡输入 r(t) =Att ： ess = A =Kv

27、_A 一 Ka1 9抛物线输入r(t) = Aa,-t ： ess2(2 )GM.解:开环传递函数已经是标准形式.参数为：型别：1开环增益：K=5三个系数(查表3-5):静态位置误差系数:静态速度误差系数:Kv = K =5静态加速度误差系数:Ka =0稳态误差(查表 3-6):阶跃输入 r(t)= A 1(t) ： essAi5=0.2(3)Gk(s)5(2s 3)s2(0.3s 2)(s2 2s 4)325(2s 1)2 4 3s2(0.15s 1)日 gs 1)斜坡输入 r(t) = Att : ess =Kv抛物线输入 r(t) = Aa -t2: ess = a-Gk(s)-5( s

28、2(0.3s - 2)(s2 2s - 4)将开环传递函数写成标准形式：参数为：型别：2开环增益:3二5 一15三个系数(查表3-5):静态位置误差系数:静态速度误差系数:静态加速度误差系数:K S3pKvKa 二 K15稳态误差(查表 3-6):阶跃输入 r(t)=Ax1(t)： % = Al= 01 Kp斜坡输入 r(t) = A/： ess =- =0Kv1oA 2161o 1o抛物线输入 r(t) = Aa t : ess = (注：给te输入为： r(t) = Aa t =2父一t )2Ka15 815223-21单位反响系统的传递函数为.,一、 C(s)a1s ao二 77 二 n

29、ni-R(s)ansans- as a.求参考输入为斜坡函数时的稳态误差ess.解：给定条件是闭环传递函数,为更好地识别系统的参数与型别,可先求出其开环传递函数. 由：力(s)=C(s)GkR(s) 1 Gk(s)可求得:Gk(s)Js)1 -力(s)将给定 (s)代入上式:as a.ansn - an4snd - HI - as a.Gk(s):1a1s aoansn - an4sn4 -HI ' as ' a.进一步整理成标准形式：a1s a0ansn - an4snJ - in - a2s2Gk(s)=a1s a.ansn - an4sn4 HL a2s2曳(a；s 1)

30、_a?s2(ansn an4snJ III 1)可见,这是一个2型系统.立即可知,它对于斜坡输入的稳态误差为零(由表3-6)： ess =.进一步地,当输入为单位加速度函数时,本系统的稳态误差为：ess =生.Kaa03-22设单位反响系统的开环传递函数为Gk(s)1.2s (s 1)试求三个静态误差系数,以及系统在参考输入r(t) = a.+a1t +azt2作用下的稳态误差解:开环传递函数已经是标准形式.参数为：型别：2开环增益：K=10三个系数(查表3-5):静态位置误差系数：Kp=： p静态速度误差系数：Kv=：；静态加速度误差系数：Ka = K =102为求系统在参考输入 r(t)

31、=a0+at+a2t作用下的稳态误差 e$s,可先求稳态误差各个分量 (查表3-6),然 后合成：阶跃输入r(t) = a0 1(t)：essl =a.1 Kp斜坡输入 r(t) = a1t ： ess2 =- =0Kv抛物线输入 r(t) =a2t2 =2a2 1t2 ： ess3 =泡 =曳=0.2a22105稳态误差合成:ess =Qs1ess2ess3 =0 00.2a2 =0.2a23-23限制系统框图如题3-23图所示.当扰动信号分别为n(t) =1(t)、n(t) =t时,试分别计算以下两种情况下扰动信号n(t)产生的稳态误差eNss,并对其结果进行比较.题3-23图 限制系统框