完整版解三角形知识点归纳总结,推荐文档

1、第一章解三角形.正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等丁外接圆的直径,即 W-b sin Bc sinC2R其中R是三角形外接圆的半径sin A2.变形：i)_cabc-.sin sinsinCsinsinsinC2化边为角：a :b: csin A: sin B :sin C -a sin A b；sin Basin Aj b sin B csin C；-csin C 3化边为角：a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C4化角为边：sin Aa；jsin Bb sin A a；sin Bbsin Cc sin C c5化角为边：si

2、n Aasin Bc sinC -2R2R2R3.利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：两个角及任意一边,求其他两边和另一角;例：角B,C,a,解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理-皇;- 坐旦;b sin B c sin Ca sin A;求出b与cc sin C两边和其中一边的对角,求其他两个角及另一边.例：边a,b,A,解法：由正弦定理a 求出角b,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B弦定理sin A求出c边c sin C4. ABC,锐角A,边b, WJ a bsin A时,B无解； a bsin A或a b时,B有一个解； bsin A a b时,B有

3、两个解.如：A 60 ,a 2,b 2后,求B 有一个解A 60 ,b 2,a 273,求B有两个解注意：由正弦定理求角时,注意解的个数.三角形面积1. S ABC1 1 ,. . 1absinC bcsin A acsinB2 222. Sabc 1(a b c)r ,其中r是三角形内切圆半径.21 .、3. Sabc Jp(p a)( p b)( p c),其中 p(a b c),4. s ABC*|,R为外接圆半径5. S ABC2R2sin Asin Bsin C ,R为夕卜接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等丁其他两边平方的和减去这两边与它们 火角的余弦的积

4、的2倍,即2.变形：a2 b2 c2 2bccos A,222b a c 2accos B22,2cab 2abcosC,222人 b c acos A2bc22. 2a c b cosB 2ac2. 22a b c cosC 2ab注意整体代入,如：a2 c2 b2 ac cosB -23. 利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是 C的角 、C的对边,WJ： 假设,所以为锐角 假设c2 b2 a2A为直角3.；+/ eos4 = 90*假设2况,所以R为钝角,那么厦及7是钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题：1三边,求三个角2两边和它们的火角,求第三边和其他两个角 四

5、、应用题1. 两角和一边如 A、B、C,由A+B+C=兀求C,由正弦定理求a、b.2. 两边和火角如a、b、c,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C =兀,求另一角.3. 两边和其中一边的对角如 a、b、A,应用正弦定理求B,由A+B+C =兀求C,再由正弦定理或余弦定理求 c边,要注意解可能有多种情况.4. 三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C =兀,求角C.5. 方向角一般是指以观测者的位置为中央, 将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角一般指锐角,通常表达成.正北或正南,北偏东XX度, 北偏西XX度,南偏东XX度,

6、南偏西XX度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=18J A+B;2三角形三边关系：两边之木日大于第三边：&+&,己,&+以,己+ &口；两边之差小于第三边：, Kb , 7 3 ；3 在同一个三角形中大边对大角：A B a b sin A sin B4三角形内的诱导公式：sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,A + B一 羽 C、 Csin=)= cos22ZA B ,C、tan tan( )22 2

7、C C、 sin( )cos22_2cos(- C)sin(C)2225两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( a6 ) = sin a cos 6 土 cos a sin 6 .(2) cos(以土= cos ocos 阿sin osin &tan adtan S(3) tan( ocf)1?tan otan (36) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2a = 2sina cos a .(2)cos 22a = cos a一_ 2sin a2=2cos a -2- 1 = 1 2sin a sin21 cos221 cos22；cos2 tan 22tan a=d 12.1 tan