完整版幂级数概念

1、 11. 3哥级数一、函数项级数的概念函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列Un(X).由这函数列构成的表达式U1(x) U2(X),U3(X)Un(x).qQ 称为定义在区间I上的(函数项)级数.记为ZUn(x), n收敛点与发散点对于区间I内的一定点X0 .假设常数项级数 Un(Xb)收敛.那么称 n 1 qQqQ点X0是级数z Un(x)的收敛点,假设常数项级数 2Un(Xo)发散.那么称 n 1n 1qQ点xo是级数Z Un(x)的发散点. n 1收敛域与发散域 qQ函数项级数 Un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域.所n 1有发散点的全体称为它的发散域和函数 OO在收敛域上.

2、函数项级数 Z Un(x)的和是X的函数s(x). n 1 qqC0s(x)称为函数项级数 工Un(x)的和函数.并写成s(x)= Un(x), n 1n 1coE Un(x)是 Un(x)的简便记法.以下不再重述, n 1在收敛域上.函数项级数汇Un(x)的和是X的函数S(X).S(X)称为函数项级数汇Un(x)的和函数.并写成S(X)=!2 Un(x),这函数的定义就是级数的收敛域局部和函数项级数 Un(x)的前n项的局部和记作Sn(x). n 1函数项级数汇Un(x)的前n项的局部和记作Sn(x).即Sn(x)= U1(X) U2(X) U3(X) Un(x),在收敛域上有lim sn(

3、x) =s(x)或 Sn(xH s(x)(n-),n_.余项Q0s(x)与局部和Sn(x)的差函数项级数 un (x)的和函数n=1rn(x)与(x) -Sn(x)叫做函数项级数oo Un(x)的余项.n 1函数项级数汇Un(x)的余项记为rn(x).它是和函数s(x)与局部和Sn(x)的差rn (x) =S(x)-Sn(x),在收敛域上有lim rn(x) =0 .n二、哥级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都备函数的函数项级数.这种形式的级数称为哥级数.它的形式是 ao -ax ax2 -一anxn其中常数ao .a a .an叫做哥级数的系数,哥级数的例子1 x x2

4、x3+：；xn2!n!注：哥级数的一般形式是ao a1(x-xo) a2(xo)2 , an(x-xo)n,一经变换t,-x0就得 a0七共七2t2 + ,七+ ,1 x x2 x3,0n可以看成是公比为x的几何级数,当|x|c1时它是收敛的；当|x|至1时.它是发散的.因此它的收敛域为(M .1).在收敛域内有=1 x x2 x3：；：；xn1 -xcO定理1 (阿贝尔定理)如果级数Z anxn当x=xo (xo花)时收敛.那么适合不等式|x|x0|的一切x使这哥级数绝对收敛.反之.如果级数 anxn当nUDxro时发散.那么适合不等式xi*o|的一切x使这哥级数发散,定理1 阿贝尔定理如果

5、级数汇anxn当x+0 xo却时收敛.那么适合不等式|x|xo|的一切x使这哥级数绝对收敛,反之.如果级数汇anxn当x0时发散.那么适合不等式|x|#0|的一切x使这哥级数发散.Q0提示：汇anxn是Z anxn的简记形式, n =0证 先设xo是哥级数Z anxn的收敛点.即级数a anxn收敛.根据级数收敛的必要条件.有 n =0n =0lim anxn =0 ,于是存在一个常数M .使n：:| anx0n 1MMnF, 1,2,.od这样级数 anxn的的一般项的绝对值n =01a丹.日?苗始壕1nMMqQ由于当|x|x0|使级数收敛.那么根据本定理的第一局部.级数当乂去时应收敛.这与

6、所设矛盾,定理得证,推论如果级数Z anxn不是仅在点x0 一点收敛.也不是在整个数轴上都收敛.那么必有n =0个完全确定的正数R存在.使得当|x|田时.哥级数绝对收敛；当|x|火时.哥级数发散：当x田与x=R时.哥级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做哥级数a anxn的收敛半径,开区间-R. R叫做哥级,哥级数Z anxnn=0n =0数fanxn的收敛区间,再由哥级数在xR处的收敛性就可以决定它的收敛域n =0的收敛域是-R, R或-R, R、-R, R、-R, R之一.qQqQ规定：假设哥级数Z anxn只在x=0收敛.那么规定收敛半径 R=0 ,假设哥级数 工an

7、xn对一切x都n =0n=0收敛.那么规定收敛半径 Rt汽 这时收敛域为q, 之c,定理2如果lim |n.aA|=P .其中an、an书是哥级数 anoOZ anxn的相邻两项的系数n =0.那么这哥级数的收敛半径+q0 P=0R= -1 P#00 P = f定理2如果哥级数z anxn系数满足nim以an土尸p -那么这哥级数的收敛半径+0.=0.二0P = -He定理2如果lim |包土|=P .那么哥级数 n anqQZ anxn的收敛半径R为： n =0当P加时R =?.当P=0时R=HX.当P=+工时R=0 ,简要证实- n 1 an 1x:nim：a xn anx1加争冈=：凶如

8、果0Pg 那么只当 胭1时哥级数收敛.故R=J(2)如果P=0 .那么哥级数总是收敛的.故R士,(3)如果P=*,那么只当x=0时哥级数收敛.故RW.例1求哥级数QO 1T) n 1x2一 二x - 一的收敛半径与收敛域例1求哥级数oo1T)n 1nn 的收敛半径与收敛域n解由于P= lim|电土 n 二 an1|= lim -n1 =1n 二 1n所以收敛半径为R=t=1 .当xw时.哥级数成为(-1)n41 .是收敛的； n 1 n当x1时.哥级数成为 玄(-1).是发散的,因此.收敛域为(-1,1, nW n1例2求哥级数1 1xnn=on!1 x x21x3：;:十1xn2!3!n!例

9、2求哥级数1 1xn的收敛域. n=on!n!由于lim |nUn 1(X)Un(X)2|=4|x|2 .解 由于 P= lim |= lim (n11 = limn ,二 ann 二1 n,二(n 1)!n!所以收敛半径为 R*c,从而收敛域为(ho,收).oo例3求哥级数 Z n!xn的收敛半径,n 0)解由于an .1(n 1)!:-=lim | = lim =:n ann n!所以收敛半径为R团,即级数仅在x=0处收敛,例4求哥级数 (2吗X2n的收敛半径,n 以 n!)2解 级数缺少奇次哥的项.定理2不能应用,可根据比值审敛法来求收敛半径哥级数的一般项记为Un(x)=驾*2n(n!)

10、21 o1 1当4X|21即|x|1即|x|2时级数发散.所以收敛半径为 R=j ,提示2(n 1)!淄 1)Un 1(x) (n 1)!2(2n 2K2n 1Un(X)(2n)!x2n (n!)2(n 1)2x25求哥级数4一但左的收敛域n 1 2nnn令t=x1.上述级数变为 Znw2 n由于二那么子|二湍力二2所以收敛半径R=2二1 二_1nnnd n当t旦时.级数成为1 1 .此级数发散；当t-2时.级数成为Z 3,此级数收敛.因此级n数的收敛域为 乂42 ,由于二冬2 .即_1仝3 .所以原级数的收敛域为1, 3,n12nn三、哥级数的运算qQqQ设备级数 工anXn及bnxn分别在

11、区间-R, R及_R： R内收敛.那么在R R与R, R中 n =0n =0较小的区间内有加法 、anxn,二 bnxn = x an bnxn .n =0n =0n =0qQqQqQ减法； anxn - 、 bnxn :斗-bnxn .n =0n =0n =0设备级数汇anxn及汇bnxn分别在区间-R, R及-R： R内收敛.那么在R, R与-R1 R中较小的区间内有 加法：Z2anxn+!2 bnxn =汇(an4bn)xn .减法：Z2anxn-!2 bnxn 旺(an-bn)xn .OdO0乘法 (二：anxn)(二：bnxn) =aob0 (aob1 a1b0)x (a0b2 a1

12、b1 a2b0)x2n =0n =0aobn abn,-anb0xn-od性质1哥级数工anxn的和函数sx在其收敛域I上连续,n =0如果哥级数在 x=R 或x=R也收敛.那么和函数sx在-R, R或-R, R连续,Q0性质2塞级数Zanxn的和函数sx在其收敛域I上可积,并且有逐项积分公式 n=0:qxg ：力己：斗1x 1逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径00性质3塞级数Zanxn的和函数sx在其收敛区间-R.R内可导,并且有逐项求导公式 n =0oOoOoOsx=anxn = anxn = nanxn|M；R.n =0n =0n 1逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的

13、收敛半径性质1哥级数汇anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续,性质2哥级数汇anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积.并且有逐项积分公式 xx ： -.: x0s(x)dx= 0(. anx )dx = 0anx dx=-x 1 (x I ).n=0n=0n=0n - 1逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径性质3哥级数汇anxn的和函数s(x)在其收敛区间(_R.R)内可导.并且有逐项求导公式s(x) K anxn)= 一(a,)na,(|xh：R). n =0n =0n =0逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径例6求哥级数Z xn的和函数.n4n 1解 求得哥级

14、数的收敛域为-1.1).1 n设和函数为 s(x).即 s(x) = -x .x三I .1),显然 s(0)=1 , n=0n 1在xs(x) = t 工xn书的两边求导得 n=0n 1xs(x)r=：(xn 1),：-xn =n n 1 n=01 -x对上式从0到x积分.得于是xs(x)=dx = -ln(1 一 x) 1-x1.当 x 加时.有 s(x) = -ln(1 x).从而 s(x)=x1 -ln(1-x)x10 ：|x| ：1x =0由于小匚舄尸二忆六父1-ln(1 -x).所以.当 xM 时.有 s(x) = 1ln(1x). x1 1m而 ln(1-x) 0|x|1从而 s(

15、x)=J x / II,1 x=0qQ 彳例6求哥级数Z xn的和函数, n=on 1解 求得哥级数的收敛域为-1.1).设备级数的和函数为s(x),即s(x)= -xn .xE_1 .1),n =on 1,%1dx显然S(0)=1 ,由于xs(x) = x xn 1nn 1二; xndx =dx - - ln(1 -x) (-1 : x : 1),0 n =00 1-x所以.当 0|x|1 时.有s(x) = Ln(1x). x1 1m而 /、-1ln(1-x) 0|x|1从而s(x)=X,1 x=0由和函数在收敛域上的连续性.S(-1)=xlim S(x) =ln2 ,1 1综合起来得s(x)Tn(1-x)网一1,