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1、初等数学根底知识一、三角函数1.公式同角三角函数间的根本关系式：平方关系：)+1=cscA2( a)sinA2( a )+cosA2( a )=tinA2( a )+1=secA2( ;cOtA2( a商的关系：tan a =sin a /cos cot a =cos a /sin a倒数关系：tan a - cot a =sin a - csc 隽=1cos a - sec a =1三角函数恒等变形公式：两角和与差的三角函数：cos( a + 3 )=cos a - coin 3a - sin 3cos(皿 3 )=cos a - cos 3 +sin a - sin 6sin( a

2、77; 3 )=sin a - cos 3 土 cos a - sin 6tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a - tan 3 )tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a - tan 3 )倍角公式：sin(2 a )=2sin a - cos acos(2 a )=cosA2( -s)nA2( a )=2cosA2( -1=1- 2s"2(tan(2 a )=2tan a *前人2( a )半角公式：sinA2( a /2)(1-cos a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tanA2( a /2)=(-co

3、s a )/(1+cos a )tan( a /2)=sin a /(1+cos 后.=$而)/sin a万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tanA2( a /2)cos 济=1-tanA2(济 /2)/1+tanA2( 济 /2)tan a =2tan( a /2)/也门人2( a /2)积化和差公式：sin a cos 3=(1/2)sin(a + 6-)+$n( acos a sin 3=(1/2)sin(-sin+ 俭B )cos a cos 3=(1/2)cos(a + 3 )+®si asin a - sin-(1/2)cos( a和差化积公式：+蛔 q

4、 )sin a +sin 3 =2sin( a + 3 )/2cos)/2 aa + 3 )/2cos(6 )/囹sin o-sin 3 =2cos( a + 3 )/2sin© )/2x cos a +cos 3 =2cos(cos a-cos 3 =2sin(a + 3 )/2sin( 3 )/22.特殊角的三角函数值、f、0 (0 )6(30 )(45 )(60 )2(90 )cos173/2V2/21/20sin01/2v'2/2V3/21tan01/扼1<3不存在cot不存在J311/J%0只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系,依照三角函数的定义即可推出上

5、面的三角值.函数角asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° -acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180 °+a-sin a-cos atg actg a270.- a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a记忆规律：竖变横不变奇变偶不变,符号看象限一

6、全,二正弦割,三切,四余弦割即第一象限全是正的,第二象限正弦、正割是正的,第三象限正切是正的,第四象限余弦、余割是正的二、一元二次函数、方程和不等式,2b 4ac000一元二次函数2y ax bx ca>0一兀一次方程ax2 bx c 0iuj力xVAL互异实根有.相美安根有一根x1.工2,b 一*b 4acbx1,2成无实根22a一元一次不等式(a> 0)21一一ax bx c> 0(x< x2)x< x1 或 x> x2bx 2ax Rax bx cv 0x1xx2xx三、因式分解与乘法公式(1)a2b2(ab)(ab)(2) a22abb2(ab)2a

7、22abb2(ab)2(4) a3b3(ab)(a2ab b2)(5)a3b3(ab)(a2ab b2)322. 33(6) a3a b3abb(ab) a33a2b3ab2b3(ab)3-222.2(8) abc 2ab 2bc2ca (a b c)(9) anbn(a b)(an 1 an2bL abn 2 bn1),(n2)四、等差数列和等比数列1.等差数列通项公式：anai n 1 dn a1 an n n 1刖n项和公式 Sn 或 Sn na1 d222.等比数列 GP通项公式an aqn 1an 0, q 0前n项和公式.a 1 qnSn1 qna1五、常用几何公式平面图形名称符号

8、周长C和面积S正方形a 边长C = 4aS = a2长方形a和b一边长C = 2(a+b)S = ab三角形a,b,c 一三边长 h a边上的高 s一周长的T A,B,C 一内角其中 s = (a+b+c)/2S = ah/2=ab/2 sinC=s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2=a2sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b 边长h一 a边的高a-两边夹角S = ah =absin a菱形a _边长a-夹角D一长对角线长 d一短对角线长S = Dd/2=a2sin a梯形a和b一上、下底长h一高m 中位线长S = (a+b)h/2 =mh圆r一半径d一直径C =兀 d = 2

9、Tt rS = Tt 2=兀 d2/4扇形r一扇形半径a圆心角度数C = 2r + 2兀 r x (a/360)S =兀 2 x(a/360)圆环R一外圆半径 r一内圆半径 D一外圆直径 d一内圆直径S =兀(田r2) =% (E2-d2)/4椭圆D一长轴d一短轴S = tt Dd/4立方图形名称符号表向枳S和体枳V止万体a _边长S = 6a2V = a3长方体a 一长 b 一宽 c tWjS = 2(ab+ac+bc)V = abc圆柱r-底半径h一高C 底向向S底一底面积S侧一侧面积S表外表积C = 2 tt rS底=兀2S 侧=ChS 表=Ch+2S 底=Ch+2兀 r2V = S 底

10、 h =兀 2h圆锥r-底半径h一高V =兀 2h/3r一半径d一直径V = 4/3 兀 3=兀 d3/6S= 4 兀 2=兀d2根本初等函数表达式定义域常数函数随而异, 但在R上 均有定义1.8过点1, 1;0时在R单增；0时在R单减.指数函数xa01y 0 .过点0,1 .1单增.1单减.m m n aa , na对数函数loga x 01过点1,0 .1单增.1单减.1,loga1 0, 0a 0 a loga a M , Nloga MN ,M logaN loga Mlogabloga axa"ga xloga M log a N,log a M log a N,Ploga

11、M, logc bc 0, 1 , logcax(x 0)x(x 0)正 弦 函 数y sin xRy1-/2 O-13 /2/212r-|2x奇函数.T 2 .iy 1余 弦 函 数y cosxRy1-/2 o-1/2.3 /2 2 x-偶函数.T 2 .iy 1正 切 函 数y tanxx k2k Z1 1;i i i1Jy 11JJ1i奇函数.T .在每个周期内单增/2rxI:余 切 函数y cotxx k , k ZLL 1kJ奇函数.T .在每个周期 内单减.*1T反 正 弦 函数y arcsin x1,1/2-1Ryo11x. - /2奇函数.单增. y .22反 余 弦 函数y

12、arccosx1,1L-1y/2o1x单减.0 y反 正 切 函 数y arctanxRy/2厂ox-/2_奇函数.单增.y 22反 余 切 函 数y arccot xRy 1od 11 M £/2x单减.0 y极限的计算方法一、初等函数：l.lim C CC是常值函数2.假设f x M 即f x是有界量,lim0即是无穷小量,特别：f x C lim C 0.一 f x3右f xM 即f x是有界重 lim 0,C特别：f x C C 0 lim C 0lim f x0,4.lim C05未定式葺型A.分子,分母含有相同的零因式,消去零因式B.等价无穷小替换常用sinxx,ex 1

13、 x,ln x 1 xf x fxC.洛必达法那么：要求f x , g x存在,且lim存在,此时,limg xg xf x limg x2 一型A. 忽略掉分子,分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大,保存最高阶的无穷大B. 分子,分母同除以最高阶无穷大后,再化简计算.C. 洛必达法那么.3 型通过分式通分或无理函 数有理化 转化为"-"型或"一"型,0,再化简计算14 0 转化为000105 00型求对数0.型求对数17 1型 通过lim 1 x xe或求对数来计算.x 0、分段函数：分段点的极限用左,右极限的定义来求解切线方程为：y y0f (x0)(x

14、 x0)法线方程为y y0(x x°) f (x.)(X )(11)(13)(ax) ax ln a,特别地,当a八1(logax)和,特别地,当e 时,(e,exe时,(ln x)(sin x) cosx(tan x)sec2 xcos x(secx) (secx)tan x(arcsin x)1 2.1 x2,、1(arctan x) 21 x(cos x)sin x(8) (cot x)12csc xsin x(10)(12)(14)(cscx)(arccosx)(arccot x)(cscx) cotx11 x2根本初等函数的导数公式(C)0, C是常数函数的和、差、积、商的

15、求导法那么函数u u(x)及v v(x)都在点x可导,u(x)及v(x)的和、差、商除分母为0的点外)都在点x可导,u(x) v(x) u(x) v(x)(2) u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)(x)(3)业)u(x)v(x)2 u(x)v(x) (v(x) 0)v(x)' '根本初等函数的微分公式、dc 0(c为常数)；、d(x ) x dx (为任息常数)；、d(a ) a in adx 9 tt力J地a eu,d(e ) e dx ,、1一一一 一1d(log a x) | dx ,特力U地,少 a e时,d(ln x) dx ;、d(sin x)

16、cosxdx ;、d (cos x) sin xdx ;、2.d (tan x) sec xdx ;(8)、,/、2,d (cot x) csc xdx ;、d(secx) secx tan xdx ;(10) 、d (cscx) cscxcot xdx ;(11)、d (arcsin x),1 dx ;.、1 x2(12)、d (arccos x)(13)、d (arctan x)(14)、d(arccot x)1dx.1 x2曲线的切线方程y yo f '(x°)(x x°) 籍指函数的导数v xv xU xu x ' u x v x ln u x v

17、x u x极限、可导、可微、连续之间的关系Eyy f (x)在点x°处的弹性,ex亟 y (x0)x x0y0EDEpDD(P)特别的,需求价格弹性：罗尔定理假设函数f(x)满足：(1)在闭区问a,b连续；(2)在开区|可(a, b)可导；可微条件A 条件B, A为B的充分条件条件B 条件A , A为B的必要条件条件A 条件B, A和B互为充分必要条件边际分析边际本钱 MC =C(q)；边际收益MR = R(q);边际利润ML = L (q), L (q) R (q) C (q) = MR MC弹性分析L f (a) f(b),那么在(a,b)内至少存在一点,使f ()拉格朗日定理设

18、函数f(x)满足:(1) 在闭区问a,b连续;(2)在开区问(a,b)可导,那么在(a,b)上至少存在一点,使得f ()f(b) f(a)b a根本积分公式0dxCkdxkxCx dxx111dxln |x|xaxdxaxlnaexdxx eCCCCcosxdxk为常数特别地：dx x C(有时绝对值符号也可忽略不写)sinx C(8)sin xdxcosx Cdx2cos x2.sec xdxtan x C(10)dx.- 2 sin x2 cscxdxcotx C(11)secxtanxdxsecx(12)cscx cot xdxcscx C(13)dx1 x2arctan x C (或d

19、x arccotx C ) 1 x2(14)dx.2.1 xarcsin x C(或dx.1 :arccosx C )(15)tan xdxln |cosx | C(16)cot xdxln |sin x |(17)secxdxtan x|(18)cot xdxcot x|(19)(20)LrctanKaa1 ,x aln2ax aln |secxln |cscxC , (aC , (a 0),dx22a xdx0)P(x)dx的通解为y eP(x) dxQ(x)e dx C(21) x arcsin C , (a 0),a2x2a(22) . ：x 2 In x <x2 a2 C ,

20、(a 0).Vxa常用凑微分公式1(1) 、dx -d ax b a,b为常数,且a 0a(2) 、xdx d x22(3) 、2 dx d xx(4) 、1 dx 2d . x、x(5) 、- dx d In xx(6) 、exdx dex(7) 、sin xdx d cosx(8) 、cosxdx d sin x2(9) 、sec xdx d tan x2(10) 、csc xdx d cot x(11) 、下1 2 dx d arcsin x1 xd arctan x一阶线性非齐次微分方程曳 P(x)y Q(x)dx平面图形面积的计算公式1)区域D由连续曲线y f(x), y g(x)和直线x=a,x=b围成,其中f (x) g (x)(a x b)(右图)bD的面积 A g(x) f (x) dxa(y),x(y)(右图)g(x)dx2)区域D由连续曲线 x和直线x=c,x=d围成,其中(y)(y) c y ddD的面积 A (y)(y) dyc平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1、绕x轴的旋转体体积(右图)b 2Vxf (x)dxa注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.2、绕y轴的旋转体体积(右图)d 2Vyg2(y)dyc注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.由边际函数求总函数qC