合成标准不确定度的计算

1、第七讲合成标准不确定度的计算-减小字体+增大字体计量培训：测量不确定度表述讲座国家质量技术监督局李慎安合成标准不确定Uc的定义如何理解合成标准不确定度无例外地用标准偏差给出,其符号U以小写正体C作为下角标；如给出的为相对标准不确定度,那么应另加正体小写下角标rel ,成为Ucrel o按?JJF1001 »定义为：当测量结果是由假设干个其他量的值求得时,按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度.如各量彼此独立,那么协方差为零；如 不为零(相关情况下),那么必须加进去.上述定义可以理解为：当测量结果的标准不确定度由假设干标准不确定度分量构成时,按方和根(必要时加协方差)得到的标准不确

2、定度.有时它可以指某一台测量仪器,也可以指一套测量系统或测量设备所复现 的量值.在某个量的不确定度只以一个分量为主,其他分量可忽略不计的情况下,显然就无所谓合成标准 不确定度了.什么是输入量、输出量在间接测量中,被测量 丫不能直接测量,而是通过假设干个别的可以直接测量的量或是可以通过资料查 出其值的量,按一定的函数关系得出：Y= f(Xl , X2,Xn)其中Xi为输入量,而把 丫称之为输出量.例如：被测量为一个立方体的体积 V,通过其长1、宽b和高h三个量的测量结果,按函数关系V= l b h 计算,那么1, b, h为输入量,V为输出量.什么叫作线性合成例如在测量误差的合成计算中,其各个误

3、差分量,不管是随机误差分量还是系统误差分量,当合成为 测量误差时,所有这些分量按代数和相加.这种合成的方法称为线性合成.不确定度的各个分量如彼此独立,那么恒用方和根的方式合成.但如果其中某两个分量彼此强相关,且 相关系数r=+1 ,那么合成时是代数相加,即线性合成而非方和根合成.什么叫灵敏系数当输出量丫的估计值y与输入量Xi的估计值X1, X2, -Xn之间有y=f(Xi, X2,Xn)的函数关系时,在不确定度的传播中,把偏导数,4/*占=6称为灵敏系数,它定量地给出了输入量Xi,与输出量y之间的相互变化关系之比值.它本身也是个量值,有数值和量纲,往往 其量纲并非1,而是有测量单位的,这种情况

4、下不能将它按纯数对待.偏导数应该是在代入输入量的彳计值时作出评定,即在Xi=xi时评定的它描述了输入估计值Xi的微小变化Axi,引起y的变化(y)i = (；lf/*J Axi.如果这个变化是由估计值Xi的标准不确定度u(Xi)所引起,那么y相应的变化为u(Xi)o因此,合成方差比可以看作各项方差之和,而每一项代表了由每个输入估计值 Xi相关联之估计方差产生的输出估计值 y的估计方差. 也就是：.式中:ci=如'春& , ui(y)=| ci| ui(Xi以下给出几种比较简单而又较常见的函数关系的灵敏系数(a) y= Axi+ Bx2Ci= A; C2= B(b) y=1/ x

5、c=-(1/ X2)(c) y = xi/( xi+ x2)2ci= X2/( xi + X2)2C2=- X 1/( X1+ X2)(d) y= x/(1+ x)c=1/(1+ x)2(e) y= X1X2C1= X2 , C1 = X1(f) y= x2c=2 x(g) y=x1/2c=1/2(2 x1/2)() s 区:“.c?二从l"遇,"k以上A, B , a , b , k可以是负数或分数或等于1.当用实验方法求灵敏系数时,特别是在y与Xi之间不存在简单函数关系时,可以通过将其余输入量保持不变,仅变化第i个Xi,设变化量为AXi,由此而导致的y的变化设为、那么C

6、i= Ay/ Axi°但也可通 过函数关系计算出Ay.输入量Xi的不确定度u(Xi)只有在乘了相应的灵敏系数ci之后,才是输出量丫的不确定度u(y)的一个分量Ui(y) o它们也才会有相同的量纲.在线性函数关系中输入量的相对标准不确定度Urel(xi)是否可以也按方和根合成为输出量Y的相对标准不确定度U rel (y ) ?在输入量Xi, X2,Xn彼此独立的情况下,如果它们与输出量丫的函数关系是线性的,例如最简的一种情况：Y= Xi + X2假设Urel(Xl)与Urel(X2),是不能按方和根3口, (工J中工(七J计算丫的相对标准不确定度 Urel(y)的.例如：由两个500g

7、的祛码相加,组成为输出量 1000g.每个500g祛码的标准不确定度u(xi)= U(X2)=0.5g ,那么这输出量1000g 的不确定度实际上 U(y)=0.71g .对1000g来说,其相对标准不确定度应为Urel (y)=0.71g/1000g-x 103.但如果用相对不确定度来合成,Urel(X1)= Urel (X2)=0.5g/500g = 1X 10 -3 ,它们未合成前已大于 Urel(y).显然是不合理的.有些情况下,例如在化学分析中,在给定浓度下的某些不确定度的分量,这些分量的相对标准不确定度均 是除以某个相同的分母,而输出量的相对标准不确定度也是这同一个分母,这时是可以

8、采用方和根来合成 相对标准不确定度的.必须注意,尽管相对标准不确定度Urel (Xi)都无例外地是无量纲量,它们都用纯数给出,但是这些纯数并不都是无条件地可以相对减或是进行方和根运算的.由于这些数都是量值,而且往往是不同定义的量值.也往往在这种相互独立的线性函数中,输入量 X1与X2按B类方法评定时,一开始就是给出的相对标准不 确定度Urel(x1)和Urel(x2),例如通过测量仪器引用误差评定的结果.那么,由于分母不同(输出量与输入量),也是不能采用方和根得出输出量的相对合成标准不确定度Ucrel(y)的.在这种情况下,必须先把Urel(X1)与U rel (X2)算成标准不确定度U(X1

9、)与U(X2)后再合成为Uc(y)；如这时要求给出Ucrel(y),即可将Uc(y)除 以yo这是当前极易被忽略的问题之一.当输入量Xi与输出量Y之间的函数关系为Y=f(Xi, X2, , Xn)=CI X 2 时,是否也,& 工应按先算出灵敏系数 3通过/,)=?；加3)2=¥产'(丫)合成 可以这样合成,但不一定要如此复杂.采用这种方法需要麻烦的偏导数.更为简单的方法是采用输入量的相对标准不确定度Urel (xi)= u(xi)/ xi乘以其相应的Xi的指数Pi ,即P iU ( Xi)/ X i ,进行简单的平方和得到输 出量丫的相对合成方差谑Vy,丁,即如果我

10、们要求得到Uc(y)而不是U-crel(y),那么可将得到的Ucrel (y)乘以y即可.这是一种完全等效的计算方 法.例如通过物体质量 m与其运动速度v的测量,求该物体的动能Ek.它们之间的函数关系式(称测量模型)是：Ek=(1/2) mv2设输入量m的标准不确定度为u( m )=lg ,而m的最正确估计为1kg ,速度v的量佳估计为100m/s ,其 标准不确定度u(v)=0.1m/s,求输出量Ek的标准不确定度u (Ek) o这时,不必去求偏导数得出灵敏系数,而是求输入量的相对标准不确定度u rel (m )= u (m )/ m =lg/1kg=1 X10-3,urel (v)= u(

11、 v)/ v=(0.1m/s)/(100m/s)=1X10-3, m的指数为1 , v的指数为2,那么=(1 X 10 -3)2+(2 X 1 X 10-3)2=5 X 10-6 ,故 urel(Ek) -X 1-0 而 u(Ek)= X10-3 x(1/2) X1kg x(100m/s) 2 =x 10 -3 XX10 4kg m2/s2 =11kg - m 2/s 2=11J如果Pi,只是正1或负1,那么在这一情况下：这就是说：在这种情况下估计值 y的相对合成标准不确定度,等于输入估计值 Xi的相对标准不确定度的方 和根.举例如下：设以盐酸作为标准滴定溶液,用以测量某样品中所含氢氧化钾的质

12、量分数 W(KOH),标准溶液的浓度 c(HCl)=(1±10-3)mol/L( k=2),那么其标准不确定度 u rel c(HCl)=(1/2) X X10-3 = X 10-3.滴定终点消 耗50mL ,按所用的B级滴定管二土 %( 为最大允许误差),由于通过两次读数之差得出,按正态分布考虑,取包含因子k=3 ,得消耗体积 V的相对标准不确定度Urel ( V)=(1/3) X%X 4 =X10-2.氢氧化 钾的相对摩尔质量来自国际 1995年公布的相对原子质量表,其不确定度大大小于10-5,可忽略不计,其值Mr(KOH)=,在本例计算中可取近似为,其修约导致的不确定度即可忽略

13、.样品质量m=10g,按所用天平和祛码的相对扩展不确定度 Urel(m)=3 x10-4,包含因子k=3 ,得其相对标准不确定度为Urel (m )=1 X 10-4 0计算方程(测量模型)为：W(KOH)= f(V(HCl) , c(HCl) , M(KOH) , m)=(V(HCl) R(HCl) >M(KOH)/ m代人输出量的估计值得：W(KOH)= X 10-3其相对标准不确定度UrelW(KOH),可按Urel(V), Urel( c) , Urel ( m )按方和根得出为：UrelW(KOH) =陶而y而祈不祈=x io -2如要求给出u W(KOH),那么再乘以 W(K

14、OH)的估计值：X10-3 XX10-2=17 X 10-5本例所讨论的计算方法,提供了不需求灵敏系数对合成标准不确定度的计算.当输入量Xi之间出现了两个或两个以上的量 Xi明显相关时,是否可以不去计算协方差或是相关系数进行合 成标准不确定度的计算在?JJF1059 »中只提到协方差与相关系数的A类评定方法,将它与其他分量的方差相加进行合成.实际工作中,特别是在计量学领域,采用A类评定是十分复杂的.我们可以按经验,把输入量Xi中强相关的那些分量(u(Xi)等也是由假设干分量合成的,其中既有与其他输入量强相关的分量,也有相互独立的分量),按强相关(r=+1)先行单独合成作为输出量不确定

15、度u(y)的一个分量,然后把不相关的那些分量按彼此独立合成为u(y)的第二个分量,最后将此两分量按彼此独立来进行合成(参阅本讲座.例如：在(JJF1059?合成标准不确定度Uc(y)的评定中,给过一个例子,当标称值为1kQ的10个电阻器, 用1个值为Rs的标准电阻器校准,设校准过程中的不确定度远小于Rs的标准不确定度u(Rs)而忽略不计,校准证书给出u(Rs)= Q.现将此10个电阻器用电阻可忽略的导线串联构成一个10k Q的参考电阻,其mRref= f(Ri)=-iRi(线性相加).?JJF1059?中给出的电阻器的相关系数为r(Ri, Rj) = 1,并不可能是按A类评定的,由于不存在多个

16、标准器分别对这10个电阻器进行校准.这里的r(Ri, Rj)是按经验得出的.通过经验,当两个(或多个)输入量使用了同一个标准器或同一台测量仪器时,或使用了相同的参考数据,那么它们之间存在极大的正相关.10个电阻器的校准正是这种情况.在 r=+1的情况下,"/川"牛/常卜即线性相加,因而,所构成的10kQ的Rref的合成标准不确定度10Xu c( Rref )= (" I u ( Ri)=10 X Q =Q但是,如果校准过程中带来的不确定度并非可忽略不计,例如在对这10个中每个电阻器校准过程中的标准不确定度为q, 10个这样的分量彼此独立,大小也一样,合成起来就是qxJ16=q o它应按方和根与前面相关局部合成的Q合成的U(Rref)= J 1 .6七,*9 'OnQ" =Q.合成标准不确定度Uc(y)