第二章 地图数学基础3

1、成都理工大学测量工程系 （）定义： 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，用解析法将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。 成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系NSc赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中央子午线中央子午线 高斯投影高斯投影采用分带投影。将椭球面按采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。一定经差分带，分别进行投影。成都理工大学测量工程系F应用应用：1：5000至至1：25万地形图采用的万地形图采用的投影投影成都理工大学测量工程系投影条件及经纬网形状投影条件及经纬网形状投影条件：投影条件：中央经

2、线和赤道投影后中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为互相垂直的直线，且为投影的对称轴为投影的对称轴投影无角度变形投影无角度变形中央经线投影后保持长中央经线投影后保持长度不变度不变成都理工大学测量工程系F变形分析变形分析 高斯投影没有角度变形，面积比是长度比的平方高斯投影没有角度变形，面积比是长度比的平方 中央经线投影无长度变形中央经线投影无长度变形 同一条纬线上，长度变形随经差的增大而增大；同一条纬线上，长度变形随经差的增大而增大；同一条经线上，长度变形随纬度的增大而减小同一条经线上，长度变形随纬度的增大而减小 长度变形恒为正，除中央经线外，其他任何线段长度变形恒为正，除中央经线外，其他任

3、何线段都变大都变大 长度变形的大小主要取决于经差，变形的大小随长度变形的大小主要取决于经差，变形的大小随的增大而增大，为了保证地图必要的精度，投的增大而增大，为了保证地图必要的精度，投影带不宜太宽。通常采用影带不宜太宽。通常采用3带或带或6带带成都理工大学测量工程系 为保证精度，采用分带投影方法： 经差 6或 3分带，长度变形 约 0.138%成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系 中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格分带投影：1 1万和更大比例尺（3分带分带）1 2.5万、1 5万、1 10万、1 25万、1 50万。(6 分带）分带）高斯投影分带高斯投影分带第2章 地图的数学基础

4、成都理工大学地球科学院空间信息技术系)tantan185 (cos120)tan1 (cos6cos)49tan5 (cossin24cossin242552233422342BBBNlBBNlBlNyBBBNlBBNlsx式中式中x,y高斯平面直角坐标系坐标；高斯平面直角坐标系坐标；s由赤道至纬度由赤道至纬度B的经线弧长；的经线弧长；B椭球体上大地坐标的经纬度；椭球体上大地坐标的经纬度；l所求点的经度与中央子午线之间的经度差；单位为弧所求点的经度与中央子午线之间的经度差；单位为弧度的秒度的秒N卯酉圈曲率半径，可据纬度直接查取；卯酉圈曲率半径，可据纬度直接查取； 2 = e2 cos2B， e

5、为第二偏心率为第二偏心率”为常数，为常数， ”=206 264.”812122)sin1 (BeaN2.高斯投影正算公式高斯投影正算公式精度为精度为0.1m，多扩充多扩充一项精度可达一项精度可达0.001m第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系高斯投影的最大变形在赤道上，并随经差的增大而增大，故限制投影 的经度范围就能将变形大小控制在所需要的范围内，以满足地图所需精度的要求。因此对该投影进行分带投影6o分带法：分带法： 从零子午线起，由西向从零子午线起，由西向东，每东，每6o为一带，全球分为一带，全球分60各投影带，用阿拉伯数字各投影带，用阿拉伯数字1、2、60标记。东半球

6、分标记。东半球分30个投影带，从个投影带，从0o到到180o，用用1、230标记，西半球也分标记，西半球也分30个投影带，从个投影带，从180o到到0o，用用31、60标记，每带的标记，每带的中央经线的度数中央经线的度数L0和带号和带号n的的关系表示为：关系表示为：16360LnnL16360360)36(0wwwLnnL第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系3o分带法：分带法： 3o分带法从东经分带法从东经1o 30起，每起，每3o为一带，全球划为为一带，全球划为120带，用阿带，用阿拉伯数字拉伯数字1、2、120标记，这样分带的目的使标记，这样分带的目的使6o带的中央经

7、线全带的中央经线全部为部为 3o带的中央经线，带的中央经线， 3o带中有半数的中央经线与带中有半数的中央经线与6o带的中央经线带的中央经线重合，因此在由重合，因此在由3o带转换成带转换成6o带时，不需任何计算而可以直接转用。带时，不需任何计算而可以直接转用。3o投影带、投影带、6投影带划分及中央经线和带号的相互关系示意图投影带划分及中央经线和带号的相互关系示意图01o306o12o18o180o0o1o306o12o18o120 1234120651141151161171181191236058 59成都理工大学测量工程系F高斯投影坐标网高斯投影坐标网 经纬网经纬网u确定地面点和整个地形的实

8、际位置确定地面点和整个地形的实际位置u在在1：5000到到1：25万的地形图上，经纬线以内图廓的形万的地形图上，经纬线以内图廓的形式表现出来，在四个图幅角点处注记相应的度数。式表现出来，在四个图幅角点处注记相应的度数。1：25万的地形图还在图内以万的地形图还在图内以10为单位绘出加密十字线。为单位绘出加密十字线。u1：50万的地形图，除在内图廓上绘出加密分划线外，还万的地形图，除在内图廓上绘出加密分划线外，还在图面上直接绘出经纬网在图面上直接绘出经纬网u方里网经纬网不能在图上迅速而精确的确定出距离和方方里网经纬网不能在图上迅速而精确的确定出距离和方向向 方里网方里网u定义：中央经线投影后的直线

9、为定义：中央经线投影后的直线为x轴轴，赤道投影后的直线，赤道投影后的直线为为y轴轴，两轴的交点为，两轴的交点为原点原点。u为了避免为了避免y值为负，于值为负，于y坐标前加上坐标前加上500km，为了区别各带，为了区别各带的坐标，避免地面点空间位置的混淆，规定在横坐标值的坐标，避免地面点空间位置的混淆，规定在横坐标值加上加上500km后，于百后，于百km的位数前加上带号，化成的位数前加上带号，化成通用坐通用坐标标成都理工大学测量工程系yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8 myA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m向西平移向西平移

10、500km再加上带号再加上带号成都理工大学测量工程系美国地形图采用的投影 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称 Universal Transverse Mercator UTM 投影（即等角横割椭圆柱投影）。 此投影无角度变形，中央经线为负变形，长度比为长度比为0.9996，中央经线与边缘经线的长度变形的绝对值大致相等，距中央经线约180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带。长度变形 0.04% 第五章第五章 地图投影的应用和变换地图投影的应用和变换 5.1 5.1 地图投影的

11、选择依据地图投影的选择依据一、一、 制图区域的地理位置，形状和范围制图区域的地理位置，形状和范围 1. 制图区域制图区域地理位置地理位置决定了所选择投影的种类。决定了所选择投影的种类。 极地极地 赤道附近赤道附近 中纬地区中纬地区正轴方位投影正轴方位投影横轴方位投影横轴方位投影,正轴圆柱投正轴圆柱投影影正轴圆锥投影或斜轴方位投影正轴圆锥投影或斜轴方位投影 2. 制图区域制图区域形状形状直接制约地图投影的选择。直接制约地图投影的选择。中纬度地区中纬度地区: 沿纬线方向延伸的长形区域沿纬线方向延伸的长形区域 沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区域沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区域 沿经线方

12、向南北延伸的长形区域沿经线方向南北延伸的长形区域 圆形区域圆形区域 低纬赤道附近低纬赤道附近: 沿东西方向长条形区域沿东西方向长条形区域 圆形区域圆形区域单标准纬线正轴圆锥投影单标准纬线正轴圆锥投影双标准纬线正轴圆锥投影双标准纬线正轴圆锥投影 多圆锥投影多圆锥投影 斜轴方位投影斜轴方位投影正轴圆柱投影正轴圆柱投影 横轴方位投影横轴方位投影 3. 制图区域的制图区域的范围范围大小也影响地图投影的选择。大小也影响地图投影的选择。 范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异； 对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。 地

13、理坐标地图（球面坐标表示为平面方式）地理坐标地图（球面坐标表示为平面方式）等积圆柱投影等积圆柱投影墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图编制世界时区图横轴墨卡托投影横轴墨卡托投影摩尔维特（摩尔维特（Mollweide）投影）投影等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图桑逊投影桑逊投影等面积伪圆柱投影等面积伪圆柱投影正射方位投影正射方位投影斜轴方位投影斜轴方位投影横轴方位投横轴方位投影影斜轴等距方位投影斜轴等距方位投影 二、制图比例尺二、制图比例尺 不同比例尺地图，对精度要求不同，投不同比例尺地图，对精度要求不同

14、，投影选择不同。影选择不同。 以我国为例，大比例地形图，量算及精以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。正轴等角、等积、等距圆锥投影。 三、地图的内容三、地图的内容 表现的主题和内容。表现的主题和内容。 交通图，航海图，航空图交通图，航海图，航空图 自然地图和社会经济地图中的分布图自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图，类型图，区划图

15、世界时区图世界时区图等角投影等角投影 等积投影等积投影 经线投影成直线的正轴圆经线投影成直线的正轴圆柱投影柱投影四、四、 出版方式出版方式 单幅图，系列图，地图集。单幅图，系列图，地图集。 单幅图和系列图投影选择比较简单；单幅图和系列图投影选择比较简单； 地图集应该尽量采用同一系统的投影，地图集应该尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方面予以适当的变化。面予以适当的变化。 成都理工大学测量工程系软件中投影的设置用户自定义（设备坐标）用户自定义（设备坐标）Mapgis中投影中投影参数的设置参数的设置成都理工大学测量工程系Arcview

16、中的中的albers等等积圆锥投影的定义积圆锥投影的定义成都理工大学测量工程系X轴平移轴平移单位单位这些参数随这些参数随投影的不同投影的不同而不同而不同成都理工大学测量工程系Projection type Spheroid type第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系1. 子午圈半径、卯酉圈半径、子午圈半径、卯酉圈半径、平均曲率半径和纬圈半径平均曲率半径和纬圈半径子午圈曲率半径子午圈曲率半径M 过椭球表面上任一点过椭球表面上任一点A作作法线作作法线AL，通通过法线的平面与椭球所截成的截面叫做法截面。同时过法线和过法线的平面与椭球所截成的截面叫做法截面。同时过法线和椭球旋转

17、轴的截面为子午圈截面，子午圈曲率半径通常是椭球旋转轴的截面为子午圈截面，子午圈曲率半径通常是A点点上所有截面的曲率半径中的最小值。公式为上所有截面的曲率半径中的最小值。公式为4.5.1 地球椭球体的基本要素地球椭球体的基本要素卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N 卯酉圈截面是垂直于子午圈的截面，即过卯酉圈截面是垂直于子午圈的截面，即过A点的法线点的法线AL并垂直于子午圈截面的法截面并垂直于子午圈截面的法截面EPE，它具有它具有P点点上所有截面的曲率半径的最大值。公式为上所有截面的曲率半径的最大值。公式为4.5 4.5 地图投影的计算地图投影的计算2/3222)sin1 ()1 (eeaM2/122)

18、sin1 (eaNa是地球的长半轴是地球的长半轴第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系平均曲率半径平均曲率半径R R等于主法截面曲率半径的几何中数等于主法截面曲率半径的几何中数222/12sin1)1 (eeaMNR不同纬度的子午圈半径和卯酉圈半径不同纬度的子午圈半径和卯酉圈半径纬度（纬度（ ）子午圈曲率半径子午圈曲率半径M（m）卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N（m）06 335 5536 324578 456 367 4916 388 945906 399 6996 399 699由此可见，子午圈曲率半径除了在两极处相等外，由此可见，子午圈曲率半径除了在两极处相等外，在其他

19、纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈的曲率在其他纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈的曲率半径均大于子午圈曲率半径半径均大于子午圈曲率半径第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系纬圈（平行圈）半径纬圈（平行圈）半径r 2/122)sin1 (coscoseaNr等面积球体半径：等面积球体半径：R6 371 116（m）等体积球体半径等体积球体半径 R6 371 110（m）2. 地球的球体半径地球的球体半径当编制较小比例尺地图时，可以不考虑地球扁率，当编制较小比例尺地图时，可以不考虑地球扁率，而把椭球体用一个符合某种条件的球体来代替，以而把椭球体用一个符合某种条件的球体来代替，以便于

20、地图投影的计算，同时也满足制图的精度要求便于地图投影的计算，同时也满足制图的精度要求第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系3. 子午线（经线）弧长和纬线弧长子午线（经线）弧长和纬线弧长AApEFQC Ad 子午线弧长子午线弧长 在子午线上任取在子午线上任取一点一点A，其纬度为其纬度为 A ，取与，取与A点点无限接近的一点无限接近的一点A，其纬度为其纬度为 A +d ，设设C为弧为弧AAdS的曲的曲率中心，率中心，M为该弧的曲率半径为该弧的曲率半径（即子午线（即子午线A点上的曲率半径点上的曲率半径），因为弧），因为弧AA很小，可以把很小，可以把它看成以它看成以M为半径的圆周为

21、半径的圆周deeaMddS2/3222)sin1 ()1 (deeaMdSBABA2/3222)sin1 ()1 (A，B两点之间的子午线弧长两点之间的子午线弧长S为为a为椭球体的长半轴为椭球体的长半轴第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系积分后，得积分后，得)6sin6(sin61- )4sin4(sin41)2sin2(sin21)()1 (2ABABABABDCBAeaS式中，式中， ；A1.005 051 773 9；B0.005 062 377 64；C0.000 010 624 5；D0.000 000 020 81180第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科

22、学院空间信息技术系纬线（平行圈）弧长纬线（平行圈）弧长 因为纬线为圆弧，故可应用求圆弧弧长的公式：因为纬线为圆弧，故可应用求圆弧弧长的公式：DBASrr设设A、B两点经差为两点经差为，则则由图可得由图可得 coscosNNrS分析上述公式可得，同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐分析上述公式可得，同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长。纬差增长。纬差1度的子午线弧长在赤道为度的子午线弧长在赤道为110 576m，在两极为在两极为111 695m第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系4. 地球椭球体表面上的梯形面积地球椭球体表面上的梯形面积ABCD如图所示，无穷小的梯形如图所示

23、，无穷小的梯形ABCD，其边长就是子午其边长就是子午圈和平行圈的弧长，即圈和平行圈的弧长，即dNrdADBCMdCDABcos微分梯形的面积微分梯形的面积ABCD可以写成可以写成ddMNdTcos如果所计算的面积为经度如果所计算的面积为经度1与与2的两条经线及纬度为的两条经线及纬度为 1和和 2的两条纬线所包围的梯形的两条纬线所包围的梯形 2121cosddMNT第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴圆锥投影的经纬线特征正轴圆锥投影的经纬线特征纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其

24、相邻夹角与经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其相邻夹角与经差成正比经差成正比根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。alf)(4.5.2 圆锥投影的一般公式圆锥投影的一般公式第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系XYSs 2 1 ss_为最南端的纬线为最南端的纬线 s最南端纬线投影后的半径，它在一个已决定的投影中是常数最南端纬线投影后的半径，它在一个已决定的投影中是常数 纬线投影半径，它随不同的纬度纬线投影半径，它随不同的纬度B变化，变化，l 椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为a

25、圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角360之比之比 2 1 0S第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系直角坐标公式；直角坐标公式；X轴中央经线轴中央经线Y轴过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。轴过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。sincosyxs沿经线方向的长度比沿经线方向的长度比 Mddm沿纬线方向的长度比沿纬线方向的长度比 ran面积比面积比 Pm . n最大角度变形为最大角度变形为 baba2sin第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系圆锥投影的一般公式圆锥投影的一般公式对于椭球体对于椭球体babanm

26、Pryxfs2sin n Mdd-msin cos )( 对于球体，只要将上式中对于球体，只要将上式中m，n以以R代代M，以以Rcos代代r，即可即可第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴等角圆锥投影基本公式正轴等角圆锥投影基本公式根据等角条件，有根据等角条件，有 m=n（或或a=b）或或w0有有cosNMdadraMdd代入代入M，N，并取积分并取积分sinsin ln)245(ln245(lnlncoseKtgaetgaNMdad第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系将等角圆锥投影的一般公式整理为将等角圆锥投影的一般公式整理为sincos ,si

27、nsin,)2/45()2/45(,222yxabaeetgtgUUKse第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴圆锥投影的经纬线特征正轴圆锥投影的经纬线特征纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其相邻夹角与经差成正比相邻夹角与经差成正比以等角正轴圆锥投影为例建立投影公式以等角正轴圆锥投影为例建立投影公式1. 圆锥投影的一般公式圆锥投影的一般公式根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。alBf)(第2章 地图的数学

28、基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系XYSsB2B1BsBs_为最南端的纬线为最南端的纬线 s最南端纬线投影后的半径最南端纬线投影后的半径 纬线投影半径，它随不同的纬度纬线投影半径，它随不同的纬度B变化，变化，l 椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为a 圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角360之比之比alBf)(B2B1B0S第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系012r0r1r2s012ADCBDABCYXxy第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系直角坐标公式；直角坐标公

29、式；X轴中央经线轴中央经线Y轴过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。轴过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。sincosyxs沿经线长度比：沿经线长度比：沿纬线长度比沿纬线长度比RddADDAmdRdrddABBAncos公式中各参数的推导公式中各参数的推导第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系由由等角条件等角条件，有，有mn，即即dRdRddcos移项、积分可得移项、积分可得)2/45(tanak式中，式中，a是圆锥系数，是圆锥系数，k为积分常数，为积分常数，为待求点的纬度为待求点的纬度第2章 地图的数学基础成都理工大学地球科学院空间信息技术系a 和和

30、 k 在不同情况下有不同的值。在不同情况下有不同的值。单标准纬线（单标准纬线（n01）：）：2)2/45(tansin00000arkra双标准纬线（双标准纬线（n1 n2 1）ararkrraaa)2/45(tan)2/45(tan)2/45tan(lg)2/45tan(lglglg22111221r0 为切线的半径为切线的半径r1 和和 r2 为两条割线为两条割线 1 2 的半径的半径成都理工大学测量工程系7 地图定向（地图方位）地图定向（地图方位）概念：概念：确定地图上图形的地理方向为地图定向。确定地图上图形的地理方向为地图定向。三北方向线：三北方向线：真北方向线：真北方向线：磁北方向线

31、磁北方向线坐标北方向线坐标北方向线三方位角：三方位角：真方位角：真方位角：磁方位角磁方位角坐标方位角坐标方位角三偏角：三偏角：子午线收敛角：子午线收敛角：磁偏角磁偏角磁针对坐标纵线的偏角磁针对坐标纵线的偏角磁偏角磁偏角子午线收敛角子午线收敛角磁针对坐标磁针对坐标纵线的偏角纵线的偏角（磁坐偏角）（磁坐偏角）成都理工大学测量工程系8 地图比例尺地图比例尺概念：概念：地图上线段的长度与地面上相应线段地图上线段的长度与地面上相应线段水平长度之比。水平长度之比。分类：分类：按地图投影类型分：按地图投影类型分：主比例尺主比例尺，即平常地图上注记的比例尺，将地球椭球，即平常地图上注记的比例尺，将地球椭球按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率即主比例按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率即主比例尺，是投影面上没有变形的点或线上的比例尺尺，是投影面上没有变形的点或线上的比例尺局部比例尺局部比例尺，地图上发生变形的点或线的比例尺。变，地图上发生变形的点或线的比例尺。变化比较复杂，随线段的方向和位置的变化而变化。化比较复杂，随线段的方向和位置的变化而变化。按比例尺大小分类