动力学I第一章习题解答

1、动力学I第一章 运动学部分习题参考解答13 解：运动方程：y=ltan，其中=kt。 将运动方程对时间求导并将=300代入得v=y =l lk4lkcos2=cos2=3 a= y-2lk2sin83lk2=cos3=916证明：质点做曲线运动,所以a=at+an, 设质点的速度为v,由图可知:cos=vyanv=，所以: a=anvav y将vv2y=c，an=v3代入上式可得 ac证毕 172证明：因为=va，aasin=avn=nv所以：=v3av证毕xoaox110解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：s=L-v0t，并且 s=l+x将上面两式对时间求导得

2、：222voFFN=2xx =-v0，2sssvosv=-0 （a） 由此解得：xx=-v0s，将该式对时间求导得： (a)式可写成：xxx+x 2=-s v0=v0 (b) x2222v0-xv0l=x=-3（负号说明滑块A的加速度向上） 将(a)式代入(b)式可得：ax=xx取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：ma=F+FN+mg将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：=mg-Fcosm x=-Fsin+FNm y其中：cos=xx+l,sin=lx2+l222v0l =-3, =0 xyx22v0ll2将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：

3、F=m(g+3)+()xx111解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vB=R，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：vB=vAcos （a） 因为cos=x2-R2（b） xxx-R22将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： vA=R（c）， x2-R2=Rx，将该式两边平方可得： 由于vA=-x（c）式可写成：-x2(x2-R2)=2R2x2 x将上式两边对时间求导可得：(x2-R2)-2xx 3=22R2xx 2xx后，可求得： 将上式消去2x=-x2R4x(x2-R2)2(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，

4、其大小为 aA=取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：2R4x(x-R)222ma=F+FN+mg将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：=-Fcosm x=Fsin+FN-mgm y其中：Rsin=,cos=xx2-R22R4x=-2 =0 , x, yx(x-R2)2将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得F=m2R4x2(x-R)225,FN=mg-m2R5x(x-R)225113解：动点：套筒A；动系：OA杆；定系：机座； vva e 运动分析： v绝对运动：直线运动； r 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理va=ve

5、+vr有：vacos=ve，因为AB杆平动，所以va=v， 由此可得vcos=v杆的角速度为=velvcos2e，OCOA，OA=cos，所以=l当=450时，OC杆上C点速度的大小为vavcos2450avC=a=l=2l115解：动点：销子M vvr1 e1动系1：圆盘 动系2：OA杆 ve2动系：机座； vr2运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有 xva1=ve1+vr1， va2=ve2+vr2由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即va2=va1，由上两式可得：ve1+vr1=ve2+vr2 (a)将（a）式在向在x轴投影,可得：-ve1

6、sin300=-ve2sin300+vr2cos300由此解得：0v0bsin300vr2=tan30(e2-ve1)=OMtan30(2-1)=cos2300(3-9)=-0.4m/s 4ve2=OM2=0.2vv2M=a2=ve2+v2r2=0.529m/s117解：动点：圆盘上的C点；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于O1A杆）； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理有 va=ve+vr （a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：vacos300=vecos300，vasin300=vesin300 ve=va=

7、R，va=vr=R，veR1=O=2R=0.51A根据加速度合成定理有atna=ae+ae+ar+aC （b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得 -a0t0nasin30=aecos30+aesin300-aC 其中：a2n2aCa=R，ae=2R1，aC=21vr 由上式解得：at21=e2R=12119解：由于ABM弯杆平移，所以有vA=vM,.aA=aM取：动点：套筒M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； vr 相对运动：直线运动； ve 牵连运动：定轴转动。 va 5根据速度合成定理va=ve+vr可求得：vM=vA=va=2ve=2b=22m/s，vr=v

8、e=b=2m/s，vA2ate1=OA=21.5=433rad/s 1n根据加速度合成定理aeat+an=at+anee+anaar+aCaa将上式沿a aaC方向投影可得：rCatanttaacos450-asin450=-ae+aC由于ana=21l=8m/s2，ate=b=1m/s2，aC=2v2r=8m/s，根据上式可得：atata22a=7+42cos45，(7+42)1=l=312rad/s21-20解：取小环为动点，OAB杆为动系 运动分析B绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示， 其中：vre=

9、OM=cos60=2r 根据速度合成定理： va=ve+vr可以得到：vrsin600a=tanve=cos260=2r ，vr=vecos600=4r 加速度如图所示，其中：2aB e=OM2=rcos60=2r2， Oa2C=2vr=8r根据加速度合成定理：aa=ae+ar+aC将上式在x轴上投影，可得：aacos=-aecos+aC由此求得：aa=14r2,121解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车 A为参考系观察汽车B的速度。 取：动点：汽车B；动系：汽车A（Oxy）； 定系：路面。 运动分析绝对运动：圆周运动； 相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动） 求相对

10、速度，根据速度合成定理yvavreOxva=ve+vr将上式沿绝对速度方向投影可得：va=-ve+vry因此 vr=ve+vav其中：va=vB,ve=RB,=A，RA由此可得：vr=arnRB380vA+vB=m/s RA9x求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：vr2ar=a=1.78m/s2RBnr1-23 质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速v向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。vv解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力FO（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，

11、在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有 va=ve+vr由此可求出：va=vev= 。再根据加速度合成定理有：aa=ae+ar coscos由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以ae=0，并且上式可写成：tnaa+aa=arva2v2v2sintn=因为a=，所以根据上式可求出aa=aatan=。 23rrcosrcosna根据矢量形式的质点运动微分方程有：tnm(aa+aa)=F+FO+mgtn将该式分别在x轴上投影： m(aasin+aacos)=FOcosmv2(tan2+1) 由此求出： FO=2

12、rcos1-24 图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为l，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有mar=F+mg+Fe将上式在切向量方向投影有=-mgsin+Fcos mat=mled d dd =因为Fe=mae=ma,=，所以上式可写成 dtddtdd ml=-mgsin+macos d整理上式可得d =-gsind+acosd l将上式积分：l 2=gcos+asin+c 2，上式可写成 其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度v

13、r=lvr2=gcos+asin+c 2l初始时=0，系统静止，va=ve=0，根据速度合成定理可知vr=0，由此确定c=-g。重物相对速度与摆角的关系式为：vr2=2lg(cos-1)+asin1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为RO，求小球到转轴的距离为RRO时的相对速度。 e C解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有： vrmar=F+Fe+FC将上式在vr上投影有 mar=m因为Fe=mR2，tdvr=Fecos dtdvrdvrdRd

14、R=vrcos，所以上式可写成 ，dtdRdtdtdvmvrcosr=mR2cos dRdv121222整理该式可得vrr=R，将该式积分有vr=R+c dR22122初始时R=RO,vr=0,由此确定积分常数c=-RO，因此得到相对速度为 22vr=R2-RO1-27 重为P的小环M套在弯成xy=c2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。F y yx解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为ar=0，因为金属丝为曲线，所以vr=0，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：