宁波外国语学校分式知识点和典型例习题

1、宁波外国语学校分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1 .转化思想转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都表达了转化思想,如,分式除法、分式乘法；分式加减运算的根本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的根本思想：把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.2 .建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际 问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历实际问题分式方程模型求解解释解的合理性的数学化过程,体会分式

2、方程的模 型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3 .类比法本章突出了类比的方法, 从分数的根本性质、 约分、通分及分数的运算法那么类比引出了 分式的根本性质、约分、通分及分式的运算法那么, 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的 一些运算技巧,无一不表达了类比思想的重要性, 分式方程解法及应用也可以类比一元一次 方程.第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及根本性质；2 .与分式运算有关的运算法那么3 .分式的化简求值(通分与约分)4 .哥的运算法那么【主要公式】1.同分母加减法那么：b士&=小9/0)aaabdbcdabc - da2 .异分母加减法那么：一土

3、一=一士 =(a00,c00)；acacacac3 .分式的乘法与除法：bd=更,2+£=2.=也 a c ac a d a c ac4 .同底数哥的加减运算法那么：实际是合并同类项5 .同底数哥的乘法与除法 ；aman =am+n; a m+ an =an6 .积的乘方与哥的乘方：(ab)m= a m bn, (a m) n= a mn7 .负指数哥：a-p=a0=1p8 .乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ± b) 2= a2 ± 2ab+b2(一)、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1【例1】以下代数

4、式中：上xy,乂亘,£,二二y ,是分式的有:二 2 a b x y x-y题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时,以下分式有意义11x x2x2 -1题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时,以下分式的值为(1)汽0.2(3 ) x2 -2x3x -5x 6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x为何值时,分式 一 为正;8 x(2)当x为何值时,分式(3)当x为何值时,分式5 f 2为负;3 (x -1)2上为非负数.x,3练习：1.当x取何值时,以下分式有意义:(1)16| x | 3(3)25 -x2x2 -6x 5x 5_-0x2 2x 32

5、.当x为何值时,(1) 5小7x 43.解以下不等式 |x | -2 .八(1) j! ,0x - 1卜列分式的值为零:(二)分式的根本性质及有关题型1 .分式的根本性质:2 .分式的变号法那么: 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数(1)1 2x - - y2 31 rx y340.2a -0.03b0.04a,b题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号1j±±y -x -ya -b-b题型三：化简求值题【例3】：1 +1 =5,求2x 3xy +2y的值.x yx 2xy

6、 y提示：整体代入, x+y=3xy,转化出1+1.x y【例4】：x 1 =2 ,求x2 +2的值.xx2【例 5】假设 | x y +1 | M2x -32 =0 ,求 一1一 的值.4x -2y练习：1 .不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的系数化为整数0.4a -b(1) 003x-0.2y5-0.08x 0.5y11 人a - b4101 V22 .：x+1=3,求 4 x 0的值. xx4 x2 13.:112a 3ab 一2b 6-=3 ,求的值.a bb -ab -a4 .假设 a2 +2a +b2 -6b +10 =0 ,求-2a的值. 3a - 5b| x - 2 |

7、x -1| x5 .如果1 <x <2 ,试化简-+2 -x |x -1| x三分式的运算1 .确定最简公分母的方法：最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次哥.2 .确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;取分子、分母相同的字母因式的最低次哥.题型一：通分【例1】将以下各式分别通分(1), 2,2- ,-2ab 3a2c -5b2c(2), , a b 2b 2a(3)2,2 ,x -x 1 - 2x xx -x -2(4) a.2二题型二：约分【例2】约分:2(1).ziy ；20xy(3)2-m(3

8、)题型三：分式的混合运算【例3】计算:(1)-c2')(3)n -mm -n(5)(6)m -n平4；a2m； n -m_. 32x4x1 x 1 x2,x -2(2)(4)(x -1)(x 1) (x 1)(x 3) (x 3)(x 5)3a3 32a-a a -1(-2xx2 -4-4x 4 x -22x - 2x)题型四：化简求值题【例4】先化简后求值(1):x 二,求分子)“(2):xy 2 yz -3xz的值;(3):a2 -3a +1 =0,题型五：求待定字母的值【例5】假设1 -3x M练习:112 一)的值;211 ,试求(a -)(a )的值.a ax2 -1x 1

9、x -1,试求M ,N的值.(1)2a 5 a -1 2a -3+;2( a 1) 2(a 1) 2 (a 1)(2)22a b _2ab；a-bb-a(3)(5)a -b +e a -2b +3eb -2e+；a b -eb -e a e -a -b, 4ab , 4ab 、(a -b +)(a +b -);a -ba,b(4)(6),2b2a -b +；a »b1 -x 1 x 1 x2十.(x-1)(x-2)(x -2)(x -3) (x -1)(x -3) 2.先化简后求值(1) aa2 -4*,a -1其中a满足a2(2) x: y =2 :3 ,2求x xy2(T的值.3

10、.:5x -4(x1)(2x1) x -1 2x -1B,试求A、B的值.4.当a为何整数时,代数式w磬的值是整数,并求出这个整数值四、整数指数属与科学记数法题型一：运用整数指数哥计算【例1】计算：1屋广1 3(be )(4) (x ' y)3 (x-y)2 (x y) 上(3)(a b)>-b)4 2,2.2(2ab ) (a b)、s 3| 2、/ 1 3、(3a b ) (ab )(a -b) (a,b)题型二：化简求值题【例2】x+x=5,求1 x2+x'的值；2求x(2) (3x y z ) (5xy z )+x的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：(1

11、) (3 父10)M(8.2 M10)2 ; (2) (4父10 二)2+(2父10") 2 N2 3、2.练习：1.计算：(1) (1 -1) qJlT+d-K)0 +(W.25)2007,42021 3 5531 3 -2X -2 z -2 x 3(3 m n )(m n)22 24(x-y) (x y)-1 Z22(x y)(x y)L2 . x2 5x+1 =0,求(1) x+x,(2) x2+x2的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法；2 .分式方程产生增根的原因3 .分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2. 解分式方程

12、的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母.3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.一分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程例1 解以下分式方程1321x T 4(1) ,=*；上=0; (3) ±J_=1； (4)x -1 x x -3 xx -1 x2 -1忘提示易出错的几个问题： 分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根;记验根.题型二：特殊方法解分式方程/ 、 x 4x-4,(1)十=4；x 1 x【例2】解以下方程/c、 x.7 x.9 xF0 x-6x 6 x 8 = x 9x 5提示：换元法设作=丫；裂项法,1=1 -x

13、 6【例3】解以下方程组止+1=1yz31 , 11r =一、zx 4(3)题型三：求待定字母的值【例4】假设关于x的分式方程=1-有增根,求m的值.x -3x - 3x -2【例5】假设分式方程 &上a =-1的解是正数,求a的取值范围2 -a 一 提小：x =>0 且 x # 2 ,3题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x的方程x ac ,二(c d ；0)b xd提示：1 a,b,c,d是数;题型五：列分式方程解应用题练习:1 .解以下方程:(1)口2=口；(3)2x 3 o- =2x -2(4)73厂一一二1(5)5x 一42x -43x -2 2(6)+=x -2

14、x -7 x -1x -82.解关于x的方程:一、112(1)二一-(b -2a);a x ba1b(a : b). xbx3 .如果解关于x的方程2n x -2会产生增根, x -2求k的值.4.当k为何值时,关于x的方程x 2 (x -1)(x 2)+1的解为非负数.二a无解,试求a的值., 、一 2a - 15关于x的分式万程771二分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验, 但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下： 一、交叉相乘法, 、一 13例1.解方程：1 =x x 2二、化归法12例2.解万程：=0x -1 x2 -1三、左边通分法x 81例3:解方程：8 - =8x-7 7-x四、分子对等法例4.解方程:4x 5x -217+5x