几类常见递推数列的解法

1、几类递推数列通项公式的常见类型及解法江西省乐安县第二中学李芳林 344300数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n的表达式,然后用数学归纳法证实；另一类是将递推关系,用代数法、迭代 法、换元法,或是转化为根本数列等差或等比的方法求通项.第一类方法要求学生有一定的观察水平以及足够的结构经验,才能顺利完成,对学生要求高.第二类方法有一定的规律性,只需遵循其特有规律方可顺利求解.在教学中,我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法.一、an=ad 型形如an=an+d d为常数的递推数列求通项公式,将此类数列变形得 an, a

2、n =d,再由等差数列的通项公式a =a +ni d可求得涌.例1：数列an 中a1 =2 ,an* = an +3 n肴N ,求an的通项公式.解： an =an +3. an书一an =3- an是以a =2为首项,3为公差的等差数列.an=2 n-i3=3n-1为所求的通项公式.二、an+ =an + f(n)型形如an+ = an + f n,其中f n为关于n的多项式或指数形式an 或可裂项成差 的分式形式.一一可移项后叠加相消.+ ( 2n 1),求通项公式 a n例 2：数列 an ,a1 = 0, n Na n + = an解：a n + =a n + ( 2n 1). . a

3、 n + =a n+ (2n 1). a 2 a =1 、a 3一 a 2 =3、a n anM=2n _ 3a n)=0 + 1 + 3 + 5 + -,+ (2n 3)a n = a1 + (a2 a1)+ ( a3 ") + + (a n旦1 + (2n- 3)( n- 1)=( n- 1)2n N +2三、an+ = q Qn 型形如an+=q an q为常数的递推数列求通项公式,将此类数列变形得'号=q,再由等比数列的通项公式an =a勺二可求得an.an例3 :数列an 中满足ai=i, an+ =2an,求an的通项公式.解：an 1. =2anan 19=2a

4、nan 是以a1 =1为首项,2为公比的等比数列n 1. 一.an =2 一为所求的通项公式.四、an+ = f (n),an 型形如an 1 = f (n) an可转化为an= f(n).其中 f (n) =_ (p乒 0, m乒 0,b(mn c) p=km, k Z)或an* =kn ( k乒 0)或 = kmn ( k 莉,0v m 且 m 乒 1).anan例4:数列 an , a 1=1, an >0,( n+ 1) aan + 2 - n an2+ an 导 an=0-【(n + 1)an41 - nan(an 书 + a n )= 0丽2 n an2 + anan=O,求

5、 an -an > 0.an,1nann1anan 1 an :an ±an 2a n 1 =f (a n型形如 a n + = f (a n ) ,五、a n41 + a n > 0a n _2 -an _3a2a1a1j1 Jz2 止9：< 1 1=1nn1n 22 n其中f an是关于an的函数.-需逐层迭代、细心寻找其中规律.例5：数列 an ,a=1,an41 = 2 an + 3 n ,求通项公式an解: an =2 ana + 3 n-1 =2(2 a“u + 3n-2)+ 3n-1 = 2 2(2 a“M + 33)+ 2 - 3 n-2 + 3n-

6、1=2 n-2(2 a1 + 3) + 2 n-3 - 3 2 + 2 n-4 - 3 3+ 2 n-5 - 34 + + 22 - 3n-3 + 2 - 3 n-2 + 3n-1=2 n-1+ 2 n-2 - 3 + 2 n-3 - 3 2+ 2 n-4 - 3 3+ 22 - 3 n-3 + 2 - 3 n-2+ 3 n-1六、a n+ = Pan + q 型形如an* = pan + q , pq 丰 0 , p、为常数.时,为等差数列;时,可在两边同时加上同一个数x,即 an 1 + x = pan + q + x),令 x =二x = 时,有 an+ x = p(an + x ),p

7、 -1从而转化为等比数列a n +六求解.例6：数列an中,a1=1,an1an+ 1 , n= 1、2、3、,求通项 an2解： a n = a n 1+ 1 => an - 2 =J_(an1 - 2)2 一2 一,1 ,又.a1 2 = -1乒0 数列 an 2百项为-1 ,公比为的等比数列.21 n- a n 2 = -1 x()即 an = 2 2 n N +七、an 书=pan + f (n)型形如an书=Pa n + f (n), p乒0且p为常数,f (n)为关于n的函数.当p = 1时,贝U a n + = a n + f (n)即类型二.当p乒1时,f (n)为关于n

8、的多项式或指数形式(a n ).假设f (n)为关于n的多项式(f (n) = kn + b或kn 2 + bn + c, k、b、c为常数),可用待 定系数法转化为等比数列.例 7:数列 an 满足 a=1, a n + = 2 an + n2 , n N +求 an .解：令 a n 1 + xa(n+1) 2 + b(n+1) + c = 2( a n + an 2 + bn + c)2即 a n + = 2 a n + (2a- ax)n + (2 b -2 ax bx)n +2c ax bx cx比较系数碍：.1a =2a - ax =12b 2ax bx =02c ax bx cx

9、 =02-x2axq b = n 令 x = 1 ,得:2-xax +bxc =2 x令 b n = a n + n 2 +2n + 3 贝U b n = 2b na n" (n+1) 2+2(n+1) + 3 = 2( a n + n 2 +2n + 3) a 1+1+2 K+3 = 7 b1 = 7 数列 bn 为首项为7,公比为2的等比数- b n = 7 X2n即 an + n2 +2n + 3 = 7X2.- an = 7 X2n_l - ( n2+2n + 3 ) n N + 假设f (n)为关于n的指数形式(an ). 当p不等于底数a时,可转化为等比数列； 当p等于底

10、数a时,可转化为等差数列.例 8:假设 a=1, a n = 2 an+ 3 ", (n = 2、3、4),求数列a 的通项 a n -解：a n = 2 an+ 3 n 令 an + x >3 n = 2(a n+xX3 n )得 a n = 2 a n)- xX3n 令-x >3 n = 3 n nx= -1- an - 3 n = 2(an - 3n.又/ a1 - 3 = - 2数列 an 3n是首项为-2,公比为2的等比数列.- an -3n =-2 - 2 n *即 an = 3 n -2 n n G N +例 9:数列 a n中,a1 =5 且 a n =3

11、an+ 3 n-1 ( n = 2、3、4)试求通项 a n .解:an=3ani+ 3n-1=n - 2 = 3(an-2)3a -n 2"V1an2 13nJan12是公差为i的等差数列.a n = (口+)*3.*2 nC八、a nd2 = p a n* + q a n 型解法一待定系数法：先把原递推公式转化为an2 - san = tan书一san,s+t = p其中s, t满足st = -q解法二(特征根法)：对于由递推公式 an2 = pan41+qan,a1=a,a2 = P给出的数 列 h ,方程x2 - px q =0,叫做数列 伉的特征方程.假设 X1,X2是特征

12、方程的两个 根,当x1.x2时,数列an 的通项为an = Ax；' + Bx厂,其中a, B由a1=a,a2 = Enn决定(即把a,a?, x,x2和n = 1,2 ,代入a = Ax + Bx?,得到关于a、b的方程组)； 当x1 =x2时,数列a的通项为an =(A +Bn)x/,其中A, B由a1 =a,a2 = E决 定(即把a1 ,a2,x1 ,x2和n = 1,2,代入an = (A + Bn)x1n,得到关于A、B的方程组). 例 10：数列an中 a1 = 1, a2 = 2 且 an=an41+2an ,nN+；求a n的通项. 解：令 an 书+x an+= (

13、 1+x) an 出+ 2 a n = an 毛+x an41= ( 1+x)( aH+ an )1 x令 x = _=x2 + x 2 = 0 =x = 1 或-21 x当 x = 1 时,an七+ a n + =2(a n + a n) 从而 a 2 + a 1 = 1 + 2 = 3数列 a n + + an是首项为3且公比为2的等比数列.- a1+ an= 3乂2口 当 x = -2 时,有_|2-2有 + = - 0 2-2着),而 a 2 - 2a1 = 0- a1- 2a n = 0 由、得:a n = 2 n4 , nN九、anan + = pan +qan 中 型形如anan

14、*= pan +qan41, pq乒0.且an , 0的数列,可通过倒数变形为根本数列问题.转化为等差数列;an 1an当p丰-q时,那么有:qpan1+ .同类型六转化为等比数列.P例11：假设数列 an 中,a1 =1,2anan 2当p = 一 q时,那么有:解:= 10,an 02ana2an 1 ani=1,=+n-1 a nan 2n N11=-+ an 12an1、一一,数列 a n 是首项为1,公差为2的等差数列.类型十、an 更土ran h解法：如果数列an满足以下条件：a1的值且对于n N ,都有an* =史七?其中p、hpx qq、r、h均为常数,且 ph # qr, r

15、 # 0, a1 # 一 一,那么,可作特征万程 x =,当特征万rrx h1程有且仅有一根 x0时测S、是等差数列；当特征方程有两个相异的根X1、x2时,那么an次' _ -、Jan f、是等比数列.an次an 4_ 一.例10:数列an满足性质：对于 n=N,an=,且a = 3,求an的通项公式.2an 3解：数列an的特征方程为 x = ,变形得2x2+2x4=0,其根为 九=1,九2 = -2.故 2x 3特征方程有两个相异的根,使用定理2的第2局部,那么有- cn = 2、匚 n N.55'2Cn 叫-2 2一】广 一155,n N.即an-5n -42 -5n,n

16、 N.类型十一、an 1 = pa： p 0,an 0解法：这种类型一般是等式 两边取对数后转化为an* = pan +q,再利用待定系数法 求解.例11：数列 an中,a1 =1,an#=】响2&?0,求数列ian川勺通项公式.a解：由an + =1 Bn两边取对数得lgan书=2lg an十lg,aa令bn =lgan,那么bn#=2bn +lg,再利用待定系数法解得：an =a2n.aa类型十二、双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.例12 ：数列£ 中,a =1 ；数列b中,b =0.当n芝2时,11 ,an =32an +bn,bn =gan+2bn,求 a,bn .11 ,解：因 an bn =§2ann bn anj 2bnQ =an bn所以 anbn= an 1' bn 4 an J2bn_2= = a2b a1b1= 1即 an bn = 1111 ,.、2又由于 an -bn =§2ani bn直-