动点形成平行四边形问题

1、第三讲动点形成平行四边形问题的讨论【知识点说明】一般是以二次函数为背景,由点的运动,形成平行四边形.由于这种图形边 及顶点较三角形多,所以更复杂,要有一定的想象水平,打破空间上的思维定势, 一般尽量把可能出现的情况想象出来, 先画草图,再根据情况解决.当然该问题 仍然有其规律,题中一般会有三个或两个定点. 我们在确定定点的情况下,也就 可以确定一些定边,以定边为标准,分别以它“做边或对角线两种情况进行讨 论,下面我们通过问题来体会.一三个定点,再找一个定点构成平行四边形平面内有三个点满足例1、抛物线 y = _ax2 + 2ax+b与x轴的一个交点为 A-1,0,与y轴的正半轴交于点 C.接写

2、出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； 点C在以AB为直径的.P上时,求抛物线的解析式； 标平面内是否存在点 M,使得以点M和中抛物线上的三点 A、B、C为点的四边形是 平行四边形假设存在,请求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.(二)、两个定点,再找两个点构成平行四边形 确定两定点连接的线段为一边,那么两动点连接的线段应和边平行且相等)2例2、,如图抛物线 y=ax +3ax+c(a > 0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点 B的坐标为(1 , 0),OC=30B.(2)求抛物线的解析式；假设点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABC面积

3、的最大值：假设点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以 A C E、P为顶点且以AC为 边的平行四边形假设存在,求点P的坐标；假设不存在,请说明理由.两定点连接的线段没确定为平行四边形的边,那么这条线段可能为平行四边形 的边或对角线2例3、如图,抛物线 y =x -2x3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点,过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点,求线段PE 长度的最大值；(3)点G抛物线上的动点,在 x轴上是否存在点 F,使A、C F、G这样的四个点为顶 点

4、的四边形是平行四边形如果存在,求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,请说明理由.以【稳固练习】2 一 11、抛物线y=x 2x+a ( a c 0)与y轴相交于点 A,顶点为M.直线y =?x a分别与x轴,y轴相交于B, C两点,并且与直线 AM相交于点N .(1)填空：试用含a的代数式分别表示点 M与N的坐标,那么 M (,> N (,卜(2)如图,将4NAC沿y轴翻折,假设点N的对应点N '恰好落在抛物线上,交于点D ,连结CD ,求a的值和四边形 ADCN的面积;C, N为顶点的(3)在抛物线y=x22x+a (a<0)上是否存在一点 P,使得以P, A,四边形是

5、平行四边形假设存在,求出P点的坐标；假设不存在,试说明理由2.抛物线：y1 =_x2 +2x2(1)求抛物线yi的顶点坐标.(2)将抛物线y1向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线y2,求抛物线 y 的解析式.(3)如以下图,抛物线 y2的顶点为P, x轴上有一动点 M在y1、y2这两条抛物线上是否 存在点N,使0(原点)、P、M N四点构成以OP为一边的平行四边形,假设存在,求 出N点的坐标；假设不存在,请说明理由y53、：如以下图,关于 x的抛物线y =ax2+x+c(a =0)与x轴交于点 A(2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C .(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐

6、标；(2)在抛物线上有一点 D ,使四边形 ABDC为等腰梯形,写出点 D的坐标,并求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线 AD交抛物线的对称轴于点 M ,抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点Q .是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在,请直接写出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由.1、一个二次函数的图像经过课后作业A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)三点(如图 1).(1)求这个二次函数的解析式；(2)求 tan/BAC 的值；(3)假设点D在x轴上,点E在(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D、2、如图,在梯形ABC

7、D中,AD / BC, AD=2, BC = 4,点M是AD的中点,AMBC 是等边三角形.(1)求证：梯形 ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且Z MPQ =60保持不变.设PC =x, MQ = y,求y与x的函数关系式；(3)在(2)中：当动点 P、Q运动到何处时,以点 P、M和点A、B、C、D中 的两个点为顶点的四边形是平行四边形并指出符合条件的平行四边形的个数； 当y取最小值时,判断 APQC的形状,并说明理由.P第三讲 动点形成平行四边形问题的讨论(教师)【知识点说明】一般是以二次函数为背景,由点的运动,形成平行四边形.由于这种图形边 及顶点较三角形多

8、,所以更复杂,要有一定的想象水平,打破空间上的思维定势, 一般尽量把可能出现的情况想象出来, 先画草图,再根据情况解决.当然该问题 仍然有其规律,题中一般会有三个或两个定点. 我们在确定定点的情况下,也就 可以确定一些定边,以定边为标准,分别以它“做边或对角线两种情况进行讨 论,下面我们通过问题来体会.(一)三个定点,再找一个定点构成平行四边形(平面内有三个点满足)例1、抛物线 y = _ax2 + 2ax+b与x轴的一个交点为 A(-1,0),与y轴的正半轴交于点 C.(4)接写出抛物线的对称轴,及抛物线与X轴的另一个交点B的坐标； 点C在以AB为直径的.P上时,求抛物线的解析式；(6)标平

9、面内是否存在点 M,使得以点M和中抛物线上的三点 A、B、C为点的四边形是 平行四边形假设存在,请求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.解：对称轴是直线：X = 1,点B的坐标是(3,0).如图,连接 PG二.点A、B的坐标分别是 A(-1,0)、 AB= 4. . . pc =1 AB =父4=2. 22在 Rt POC, O2 PA OA= 21 = 1,OC =>PC2 PO2 "22 12 =、,3.b= /3.当 X = 1, y=0 时,a2a+V3=0,'a制(3)存在.理由：如图,连接AG BC设点M的坐标为M (x, y).以AC或BC为对角线时,点

10、M在x轴上方,此时 CM/ AB,且CM= AB.由知,AB= 4,|x| =4, y=OC=V3.x=±4.,点 M的坐标为 M (4,忑)或(Y, J3);当以AB为对角线时,点 M在x轴下方.过 M作 MNL AB于 N 那么 / MNB= / AOC= 90° .四边形 AMBC是平行四边形,AC= MB且AC/ MB/ CAO= / MBN AOC2 BNM,BN= A0= 1 , MN= C0= 73 .- 0B= 3,0N=3-1 = 2.点 M的坐标为 M(2,J3).综上,坐标平面内存在点 M ,坐标分为：M1(4, J3),M2(Y,J3), M3(2,

11、J3) .(二)、两个定点,再找两个点构成平行四边形 确定两定点连接的线段为一边,那么两动点连接的线段应和边平行且相等)2例2、,如图抛物线 y=ax +3ax+c(a > 0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点 B的坐标为(1 , 0),OC=30B.(1) 求抛物线的解析式；(2) 假设点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABC面积的最大值：(3) 假设点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以 A、C E、P为顶点且以AC为 边的平行四边形假设存在,求点P的坐标；假设不存在,请说明理由.解：(1) ;对称轴x =-=2a 2又 OC=3OB=3 a 0,.

12、C (0, - 3) 2分方法一：把 B(1,0)、C(0, 3)代入,川 3-得：a = , c = -3 , 43 29 八y = xx 3,44方法,. B (1, 0),A(-4 , 0)可令 y =a(x+4)(x1) 把 C(0, -3)代入,/日 3得：a =,433 o 9y = (x 4)(x7) = -x x-3, 444(2)方法一:过点D作DM/ y轴分别交线段 AC和x轴于点M N,如图2, S四边形 ABCD = S ABC + S_ ACD15 115DM (AN ON) = 2DM 2 22A(-4 , 0) , 0(0, -3)设直线A0的解析式为y = kx

13、 + b代入,一 3求得：y = - x - 34人 3 29令 D(x,二x -x -3),44DM-3x-3-(3x2443M(x,-x-3)932-x-3)= (x2)2344当x = -2时,DMW"最大值3 ,此时四边形ABC而积有最大值方法二：272过点D作DQL y轴于Q,过点C作CC1 / x轴交抛物线于 C1 ,从图象可判断当点 D在CC1下方的抛物线上运动时,四边形ABCU有最大值.贝u s四边形 ABCD = S|_OBC ' S梯形 AOQD S_| DQC3 11=-(4 DQ) OQ- DQ (OQ - 3)3 3=-+2OQ+-DQ , 22一

14、3 2 9令 D(x,±x -x-3)4 433 2 933那么 Sa边形ABCD= 2(4x +4x-3)-2x = -2 (x +2)27当x = -2时,四边形 ABC面积有最大值 272(3)由于AC为平行四边形的一边,分两种情况讨论：AE也为边时,过点 C作CP/ x轴交抛物线于点 巳 过点P作PE/ AC交x轴于点E,如图3,此时四边形ACP日平行四边形,.3 29- C(0, -3) 令一x +-x-3 = -344解得：xi=0, x2= 3 , P(-3, 3);AE为对角线时,如图4,设E为(x, 0),由平行四边形的对角线互相平分, 得：AE的中点为(立4 ,

15、0),2 .P 为(x -4, 3)2 W 点P在抛物线上, (x4) + (x 4) 3=3,443 , , 41解得：x 4=,23 _ . 41 °、 P2、3 为(,3);综上,点P的坐标为(3, 3)或(3+)41 , 3)或(3f 41 , 3)22两定点连接的线段没确定为平行四边形的边,那么这条线段可能为平行四边形 的边或对角线例3、如图,抛物线 y =x2 2x3与x轴交A、B两点A点在B点左侧,直线l与抛物线交于A C两点,其中C点的横坐标为2.(1)(2)(3)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；P是线段AC上的一个动点,过 P点作y轴的平行线交抛物线于

16、E点,求线段 PE 长度的最大值；G这样的四个点为顶F点坐标；如果不存点G抛物线上的动点,在 x轴上是否存在点 F,使A、C F、 点的四边形是平行四边形如果存在,求出所有满足条件的 在,请说明理由.解：1令 y=0,解得 x1 = 1或 x2 =3 (1 分),A (-1 , 0) B (3,0)；(2)将C点的横坐标x=2代入y = x2 2x 3得y=-3 ,C 2, -3,直线AC的函数解析式是y=-x-1设P点的横坐标为x -1 w xw 2,那么P、E的坐标分别为：P x, -x-1 ,(3)x2E (x, x -2x -3),22, P点在 E点的上方,PE=(x1)(x 2x

17、3) = x19当x=一时,PE的最大值=一,24存在4个这样的点F,当AF为平行四边形的边时,如图 3,同例2,可求的点F为1, 0或一3, 0;当AF为平行四边形的对角线时,如图4,同例2,可求的点F为(4+ <7 , 0)或(4 J7 , 0);综上,点F的坐标为(1, 0)或(3, 0)或(4+ .、7 , 0)或(4- <7 , 0).x【稳固练习】211、抛物线y=x 2x+a (a<0)与y轴相交于点 A,顶点为M.直线y = x a分别与x轴,y轴相交于B, C两点,并且与直线 AM相交于点N .(1)填空：试用含a的代数式分别表示点 M与N的坐标,那么 M

18、(,), N (,)；(2)如图,将4NAC沿y轴翻折,假设点N的对应点N '恰好落在抛物线上,交于点D ,连结CD ,求a的值和四边形 ADCN的面积;C, N为顶点的(3)在抛物线y=x22x+a (a<0)上是否存在一点 P,使得以P, A,四边形是平行四边形假设存在,求出P点的坐标；假设不存在,试说明理由4分141斛：(1) M (1, a -1 ), N - a, - - a33(2)由题意得点 N与点N '关于y轴对称,N I 4a, -a,33将N '的坐标代入y =x2 -2x +a/日1得a316 2 8a + a + a >,阚=0 不合

19、题意,舍去9,a2 二493N匚3,3 I；二点N到y轴的距离为3. ,4直线AN '的解析式为y = x 9 ,4、一 9它与x轴的交点为D -,04点D到y轴的距离为9.4Ga边形 ADCNc c 19c 1 9 9 189=Saacn. Saacd =3 =ACN ACD 22224163当点P在y轴的左侧时,假设 ACPN是平行四边形,那么 PN平行且等于 AC,把N向上平移2a个单位得到P,坐标为4 a,7 a j, 33代入抛物线的解析式,得：- 7 a =34=0不舍题意,舍去,a216 2 8 a a a933一8,当点P在y轴的右侧时,假设 APCN是平行四边形,那么

20、 AC与PN互相平分, OA = OC, OP = ON .二P与N关于原点对称,“aJa j ,3 3将P点坐标代入抛物线解析式得:二a1 =0 不合题意,舍去116 2 8a 二 一a a a ,39315a"717、./5 5、 一.一.一.,存在这样的点PJI或P2I ,能使得以P, A, C, N为顶点的四边形12 8/12 8)是平行四边形. 12 八2、抛物线：y1 = -x2 2x2(1)求抛物线y1的顶点坐标.(2)将抛物线yi向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线y2,求抛物线 y 的解析式.(3)如以下图,抛物线 y2的顶点为P, X轴上有一动点 M在

21、yi、y2这两条抛物线上是否 存在点N,使0(原点)、P、M N四点构成以OP为一边的平行四边形,假设存在,求 出N点的坐标；假设不存在,请说明理由 解: 1(1)依题息 a = , b = 2 ,c = 0 , 2b _22a 2(-2)224ac -b20 -224a / / 1、4 (-)2顶点坐标是(2,2),1(2)根据题意可知y2解析式中的二次项系数为,2且y2的顶点坐标是(4, 3),1 .、2 一12-y2=(x -4) +3 即：y2= - - X +4x5,2 2(3)符合条件的N点存在.如图：假设四边形 0PM即符合条件的平行四边形,那么 0P / MN ,且 OP =

22、MN ,./P0A=NBMN ,作PA_Lx轴于点A, NB_Lx轴于点BNPAO =NMBN =90°,那么有 APOA= ANMB (AASPA = BN点P的坐标为(4,3) NB = PA = 31°分点N在抛物线y1、y2上,且P点为y1、y2的最高点,符合条件的N点只能在x轴下方1 0 点N在抛物线y1上,那么有：x2+2x=32解得：x = 2 J10或 x=2+J1°,1 .、2_ 一 点N在抛物线y2上,那么有：/(x4)2+3 = 3解得：x =42J3或 x=4 +2J3,综上,符合条件的 N点有四个：N(2 J而,3)或N2(2+J10,

23、3)或 N# 42十；3, 3或 N# 4 + 2*河,3.3、：如以下图,关于 x的抛物线y = ax2+x+c(a # 0)与x轴交于点 A(2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C .(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点 D,使四边形 ABDC为等腰梯形,写出点 D的坐标,并求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线 AD交抛物线的对称轴于点 M ,抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点Q .是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在,请直接写出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由.解：(1)根据题意,得4a -2 c = 036a 6 c =01I

24、 a =解得a 4,lc = 31 2,抛物线的解析式为 y = x +x+3, 4顶点坐标是(2, 4),设直线AD的解析式为y = kx +b(k # 0):直线经过点 A( -2,0)点D(4,3)(2)点D的坐标为(4, 3),-2k b = 0? 4kb =3k = 一1 22 8 分: y = x +19分2b =123存在.10分 当AQ为平行四边形的边时,如图,同例2,可求的点Q为Q(2柩-2,0)、Q2(26一2, 0)；当AQ为平行四边形的对角线时,如图,同例 2,可求的点 Q为 Q3(6 -276,0)、Q4(6 +2套,0)；综上,点 Q的坐标为：Q1(2j22,0)、

25、Q2(2J2 2, 0)、Q3(62瓶,0)、Q4(6+2而,0)14分B(4,3)、C(1,0)三点,课后作业1、一个二次函数的图像经过A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)三点(如图1).(1)求这个二次函数的解析式；(2)求 tan/BAC 的值；(3)假设点D在x轴上,点E在(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D、E的坐标.解：2 一_(1)设所求的二次函数的解析式为y = ax +bx + c (a=0).由于抛物线 y=ax2+bx+c ( a = 0)经过 A(0,3)、|c = 3,416a+4b + c=3,1 分a + b

26、 + c = Q'a =1,解得b = T,S = 3. 所求的二次函数的解析式为y = x2 4x +3(2)如图 1,由 A(0,3)、B(4,3),可知 点A、B的纵坐标相等, . AB/OC./BAC=2ACO.八 OAtan BAC = tan ACOOC OA=3、OC =1,tan BAC =tan ACO =3.(3)分两种情况讨论：如图2,假设AC是以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形的一边,由于点D在x轴上,那么CD必定也是这个平行四边形的一条边 .AE / CD ,因此点E应该在过点 A且平行于x轴的直线上,由此可知点E与点B(4,3)重合.AB = 4,AE=AB=4.四边形ACDE是平行四边形,CD = AE=4, OD=OC+CD = 5故可