六年级奥数最详细全面数论教师版

1、数论数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟根底课内容结合很紧密, 但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、 约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等 本讲内容中,平方数局部是数论中最根本的局部,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍 数局部,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻【例1】一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数.【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被 11整除性质的运用要有具体的

2、数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手.5位数数字和最大的为 95=45,这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8.这样我 们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979, 97999 , 98989.【例2】ABCA是一个四位数,假设两位数 AB是一个质数,BC是一个完全平方数, CA是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积,那么满足条件的所有四位数是 .【分析】 此题综合利用数论知识,由于 丽是一个质数,所以 B不能为偶数,且同时 反是一个完全平方 数,那么符合条件的数仅为16、36,当B 1时,满足AB是一个质数的数有11, 31, 41 ,

3、61, 71, 时,此时同时保证 CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有 3163符合；当B 3,满足AB是一个质数的数有13 , 23 , 43 , 53, 73 , 83,此时同时保证 2A是一个质 数与一个不为1的完全平方数之积,只有 8368符合.A A 2000 2001A 1000 20012最小值是9. a b c d的最小值是：【例1】2001个连续的自然数之和为 a b c d,假设a、b、c、d都是质数,那么a b c d的最小值是 多少【分析】 遇到等量关系的表述时, 先将其转化为数学语言.设这2001个连续自然数中最小的一个是A,那么最大的一个是 A 2000

4、遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量, 题目中没有时,可以设未知数 ,那么它们的和是：A 1000 3 23 29,那么A 1000是质数,所以 1009 3 23 29 1064.拓展101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积,那么这个最小的和应该是.分析设这101个自然数中最小的数为 a,那么101个连续自然数的和为：a+( a +1)+( a +2)+ +( a +100)=(a+ a+100) M01 2=( a+50) M01由于101是质数,所以a+50必须是3个质数的乘积,要使和最小.经检验a +50=66= 3X11最小,所以和最小为 66X1

5、01=6666.铺垫口口Ox=口口,其中、0、分别表示不同的数字,那么 四位数.口是多少分析由于m 10101,所以在题述等式的两边同时约去 0 即得 口、xA 10101 .作质因数分解得10101 3 7 13 37,由此可知该数分解为 3个两位数乘积的方 法仅有21 13 37 .注意到两位数匚的十位数字和个位数字分别在另外的两位数E和中出现,所以口 =13, TO = 37,= 21 .即.=7 , =1 , 口 =3, = 2,所求的四位数是 7132.【例2】N为自然数,且N 1, N 2、N 9与690都有大于l的公约数.N的最小值为 . 【分析】690 2 3 5 23,连续9

6、个数中,最多有5个是2的倍数,也有可能有 4个是2的倍数, 如果有5个连续奇数,这 5个连续奇数中最多有 2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数, 所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数,即与690没有大于l的公约数.所以9个数中只有4个奇数,这个数中,有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,那么N 1、 N 3、N 5、N 7、N 9是偶数,剩下的4个数中N 2、N 8是3的倍数(5个偶数当中 只有N 5是3的倍数),还有N 4、N 6一个是5的倍数,一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解,N 5是2和3的倍数,且相邻两个数中一个是23的倍数,另一个是5的倍数,显然N

7、5 24是最小解,所以 N的最小值为19.玄荆约数、倍数【例3】,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是 4,甲乙两数不是 288和4中的数,那么甲乙两数的乘积为多少和为多少【分析】 设甲乙两个数为4x , 4y , (x和y都不等于1或72),那么x , y两数互质,于是4x , 4y的最小公 倍数为4xy,所以xy -288 72 , 72 23 32,由于x , y互质,所以2或3不可能在x , y的因子中都出现,所以 x , y一个是8一个是9 ,所以两数的乘积等于 4y 4x 4 4xy 1152,和为 4x 4y 4 8 968.【例4】 有15位同学,每位同学都有编号,它们是

8、 1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说：这个数能被2整除,3号说 这个数能被3整除,依次下去,每位同学都说,这个数能被 他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问： 说得不对的两位同学, 他们的编号是哪两个连续自然数如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数.【分析】 首先可以断定编号是2, 3, 4, 5, 6, 7号的同学说的一定都对.不然,其中说的不对的编号乘 以2后所得编号也将说得不对,这样就与只有编号相邻的两位同学说的不对不符合.因此,这个数能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.其次利用整除性质可知,这个数也能被2X5, 3X4

9、, 2X7都整除,即编号为10, 12 , 14的同学说的也对.从而可以断定说的不对的编号只能是8和9.这个数是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍数,由于上述十二个数的最小公倍数是60060 ,由于60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以 1号同学写的数就是 60060.拓展一个两位数有6个约数,且这个数最小的3个约数和为10,那么此数为几分析最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数和是9,由于9是1个奇数,所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的,其中一定有一个是偶数,如果一个数包含偶约数,那么它一定是2

10、的倍数,即2是它的约数.于是显然的,2是这个数第二小的约数,而第三小的约数是乙所以这个两位数是 14的倍数,由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6,所以这个数只能是14或98,其中有6个约数的是98.约数个数定理:设自然数n的质因子分解式如q a2a3 .P1 P2 2 P3 LanPn.那么n的约数个数为d na11a21a3 1L an1自然数n的约数和为S nP1aPa 1 LPi21aoR 1P2 2a 1 P2%L2P21P21 LLPnanPna 121L R Pn1【例5】两数乘积为2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1 ,那么这两个数分别是【分析】28 0

11、 0 24 52 7 ,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1,所以这两个数中有一个数的约渤为奇渤个技个渤为完全平方渤粉文个渤 口能为o2o4c2o2氏2命 42 宓心口J3双/习可双I , 必I双/习兀壬刀双.QX必I双/、日匕乃2 、2 、5 、25 取 25 . 径恤验,只有两数分别为 24和52 7时符合条件,所以这两个数分别是16和175.铺垫在三位数中,恰好有9个约数的数有多少个分析9 1 9 3 3,所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方,或者两个不同质数的平方的乘积, 前者在三位数中只有 256符合条件,后者中符合条件有 100、196、484、676、225、441

12、, 所以符合条件的有7个.【例6】两个整数A、B的最大公约数是 C,最小公倍数是 D ,并且C不等于1,也不等于 A或B, C D 187,那么A B等于多少【分析】 最大公约数C ,当然是最小公倍数 D的约数,因此 C是187的约数,187 11 17 , C不等于1, 只能是C 11或者C 17 .如果C 11,那么D 187 11 176 . A和B都是176的约数,A和B 不能是11,只能是22, 44, 88, 176这四个数中的两个,但是这四个数中任何两个数的最大公约 数都不是11,由此得出C不能是11.现在考虑C 17,那么D 187 17 170, A和B是170 的约数,又要

13、是17的倍数,有34 , 85 , 170三个数,其中只有 34和85的最大公约数是17,因 此,A和B分别是34和85, A B 34 85 119.【例7】A是一个有12个约数的合数,8A、10A有24个约数,12A有40个约数,求15A有多少个 约数【分析】设A 2a 3b 5c d , d中不含有2、3、5因子,那么A的约数个数有 a 1 b 1 c 1 N 12L L L L其中N为d的约数个数8A的约数个数为 a 4 b 1 c 1 N 24,与比较得到 J 2,于是a 2, a 110A的约数个数为 a 2 b 1 c 2 N 4 b 1 c 2 N 24,与比较勺2 ,于是c

14、1, c 1212A的约数个数为 a3b2c1N10b2N40,与比较得到 -2 2 ,于是b 0,将a、b、c代入得到N 2, 15A的约数个数为 a 1 b 2 c 2 N 36.铺垫偶数A不是4的整数倍,它的约数的个数为12,求4A的约数的个数.分析将A分解,A 2B,其中B是奇数,它的约数的个数为 1 1N 12 ,(其中N为B的约数个数), 那么4A的约数个数为1 3 N 24.【例8】要使12m顷这个积是65的倍数,并要使 m n最小,那么m ,n .【分析】 分析题意,为同一个数可以由两种乘积的形式表示.关于因数乘积表示形式,类比联系我们所学 的知识点：质因数的唯一分解式：a P

15、 P2b2 P3 . Pnbn P1,P2.Pn 为质因数,.尬.,如为自然数 m n 2m m 2n 555那么12923 是62 3的倍数,那么得到2m 25 5 m,n为整数,使m n最小,那么；.【例9】从1到2021的所有自然数中,乘以 72后是完全平方数的数共有多少个【分析】 完全平方数,所有质因数必成对出现.3272 2 3 2 6 6 ,所以满足条件的数必为某个完全平万数的2倍,2 31 31 1922 2021 2 32 32 2048,共 31 个.铺垫有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,那么这五个数中最小数的最 小值为.分析考查平方数和立方数的知

16、识点,同时涉及到数量较少的连续自然数问题,设未知数的时候有技 巧.设中间数是 x,那么它们的和为 5x,中间三数的和为 3x . 5x是平方数,设 5x 52 a2,那么 22222. 一x 5a . 3x 15a3 5a是立万数,所以a至少含有3和5的质因数各2个,a至少是225,中间的数至少是1125 .最小数的最小值为1123.【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人,但比五六年级的学生人数少53人,五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数,那么志诚中学总的学生人数有多少人(请写出最现实的答案)【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数

17、,所以可以设五六年级的学生人数为A2,一二年级的学生人数为 B2,那么153 A B A B,而153 3 3 17 ,所以,A B与 A B 可能为153和1; 17和9 ; 51和3,由这三个答案得到的 A和B的值分别为：77和76, 13和4, 27和24,显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实,所以A 27 , B 24为最正确结果.此时五六年级的学生人数为 729人,一二年级的学生人数为576人,三四年级的学生人数为676,学校的总人数为 729 576 676 1981人.铺垫能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数分析假设能找到,设这两个完全平方数分

18、别为A2、 B2 ,那么这两个完全平方数的差为 54 A B A B,由于A B和A B的奇偶性质相同,所以A B A B不是4的倍数, 就是奇数,所以54不可能等于两个平方数的差,所以这样的数找不到【例11】一个正整数假设能表示为两个正整数的平方差,那么称这个数为智慧数,比方16=52 32,16就是一个 智慧数,那么从1开始的自然数列中,第 2003个 智慧数是.【分析】a2 b2= a b a b .由于a b与a b同奇同偶,所以 智慧数是奇数或是4的倍数.22_ 22对于任何大于 1的奇数2n 1 (n 1),当a n 1 , b n时,都有a b =(n 1) n =2n 1.即任

19、何大于1的奇数都是智慧数.2222对于任何大于 4的4的倍数4n n 2,当a n 1 , b n 1时,都有a b = n 1 n 1 = 4n .即任何大于4的4的倍数都是 智慧数.除了 1和4以外,非 智慧数都是不能被4整除的 偶数,智慧数约占全部正整数的3 . 2003 3 2671 ,为2672 4 668,加上1和4这两个非智慧数,在12672中共有非 智慧数 668+2=670,有智慧数 2672 670=2002个.所以 第2003个智慧数是2673.【例12】20XX年清华附中入学测试题有两个两位数,它们的差是 14,将它们分别平方,得到的两个 平方数的末两位数个位数和十位数

20、相同,那么这两个两位数是 请写出所有可能的 答案【分析】法一设这两个数分别是 a和a 14,那么a2与a 14 2两个数的末两位相同,即 a2与 2a 28a 196的末两位相同,所以 28a 196是100的倍数,a个位只能是3或8.先设a 10k 3,那么28a 196 280k 280,当k 4 , 9时满足条件,但k 9时较大的两位数大于 100 不合题意.再设a 10k 8,可求得k 1, 6时满足条件.所以一共有43,57、18,32、68,82三组答案. 2法一a 14 a2 a 14 a a 14 a 28 a 7 , 28 a 7 是 100 的倍数,所以 a 7 是 25的

21、倍数,符合条件的 a只有18、43、68.1.两个连续自然数的平方和等于365,又有三个连续自然数的平方和等于365,那么这两个连续自然数为,这三个连续 自然数为 .【分析】132 142 365,所以这两个连续自然数为13、14, 102 112 122 365,所以这三个连续自然数为 10、11、12 2. 有n个自然数相加： 1 2 3 L n aaa 和恰好是三个相同数字组成的三位数,那么n .【分析】1 2 3 L n 虫1 aaa, nn 1 2aaa 2 111 a 2 3 37 a,由于 a 是个一位数, 2n与n 1是两个相邻的整数,只有当 a 6 , n 36时满足题意,所以所求的n为36.3. A有12个约数,9A有24个约数,15A有36个约数