2014年九年级数学推荐生考试复习试卷及答案

1、1 1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.(1)求抛物线的函，数表达式;(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值;(3)在此抛物线上，是否存在点P,使得以点P与点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由OB=2,可知B(2,0)将A(2,4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线工4=4a-2bc0=4a2bc0=c1斛得：a=,b=1,c=0212抛物线的函数表达式为y=x2+xo212121(2)由y=x+x=(x-1)+,可得，抛物线的对称轴为直线x=1,且对称轴x=1是线222段OB的垂

2、直平分线，连结AB交直线x=1于点M,即为所求。MO=MB,贝UMO+MA=MA+MB=AB作ACx轴，垂足为C,则AC=4,BC=4,AB=4乏MO+MA的最小值为4短。(3)若OB/AP,此时点A与点P关于直线x=1对称，由A(2,-4),得P(4,-4),则得梯形OAPB若OA/BP,设直线OA的表达式为y=kx,由A(2,4)得，y=2x。设直线BP的表达式为y=2x+m,由B(2,0)得，0=4+m,即m=T,直线BP的表达式为y=2x4y=2x-4由12，解得x,=4,x2=2(不合题意，舍去)y二一一xx2当x=Y时，y=12,，点P(T,12),则得梯形OAPB。若AB/OP,

3、设直线AB的表达式为y=kx+m,则工4=-2km-k=1山,解得，,AB的表达式为y=x2。0=2kmm=-2直线OP的表达式为y=x。尸X小2人,一一由12，得x=0,解得x=0,(不合题息，舍去)，此时点P不存在。y二一一xx2综上所述，存在两点P(4,4)或P(4,12)使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。2 2、如图，顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a4)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求9CD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF,

4、与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与ABCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.%分析(1)已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解.(2)可先求出A、C、D三点坐标，求出那CD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积.(也可将AACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)(3)由于直线EF与y轴平行，那么/OCB=/FED,若AOBC和AEFD相似，贝U4EFD中，ZEDF和/EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可

5、求出点E的坐标.解答解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后，得：a(0-2)2T=3,a=1，抛物线的解析式：y=(x-2)2-1=x2-4x+3.(2)由(1)知，A(1,0)、B(3,0);设直线BC的解析式为：y=kx+3,代入点B的坐标后，得：3k+3=0,k=-1，直线BC:y=-x+3;由(1)，知：抛物线的对称轴：x=2,则D(2,1);.AD2=2,AC2=10,CD2=8即：AC2=AD2+CD2,AACD是直角三角形，且ADLCD;SCD=TAD?CD=7jX/22-/2=2.(3)由题意知：EF/y轴，贝U/FED=/OCB,若AO

6、CB与4FED相似，则有：QDFE=90,即DF/x轴;将点D纵坐标代入抛物线的共析式中，得：x2-4x+3=1,解得x=2住当x=2+6时，y=-x+3=1-V2；当x=2-时，y=-x+3=1+& EI(2+-孔，1-加)、E2(2-加，1+E).(2XEDF=90;易知，直线AD：y=x-1,联立抛物线的解析式有：x2-4x+3=x-1,解得x1=1、x2=4;当x=1时，y=-x+3=2;当x=4时，y=-x+3=1;.E3(1,2)、E4(4,-1);综上，存在符合条件的点E,且坐标为：(2+加，1-血)、(2-1+加)、(1,2)或(4,-1).自评此题主要考查了函数解析式

7、的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论.3 3、如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的1动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y=x+b交折线OAB于点E.2(1)iEODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时， 若矩形， OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出请说明理由.思路点拨1 .数形结合，用b表

8、示线段OE、CD、AE、BE的长.2 .求AODE的面积，要分两种情况.当E在OA上时，OE边对应的高等于OC;当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积.3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.4 .图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理.满分解答1，一(1)如图2,当E在OA上时，由y=,x+b可知，点E的坐标为1 _1=-OEOC=M2bM1=b22,1如图3,当E在AB上时，把y=1代入y=x+b可知，点D的坐标为(2b2,1),CD=2b-2,1,3、,35.BD=52b.把x=3代入yx*b可知，点E的坐标为(3,b),AE=b,BE=b.此时2222S=

9、S矩形OABC-SAOAE-SABDESAOCD1315=3-238-2)-2(2-功(5-2b)-(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形.作DHLOA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.设菱形DMEN的边长为m.在RtADEH中，DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2m)2=m2.解考,自彳申展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那(2b,0),OE=2b.此时S=SODE125-x1x(2b-2)=-b+b.

10、重叠部分的面积；右改变,么这个菱形的最小面积为1,如图6所示；最大面积为5,如图7所示.4 4、如图1,已知抛物线y=lx2+bx+c(b、c是常数，且cv0)与x轴交于A、B两点(点A在点B2的左侧)，与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).(1)b=，点B的横坐标为(上述结果均用含c的代数式表示)；(2)连结BC,过点A作直线AE/BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点，坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设PBC的面积为S.求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样

11、的PBC共有个.思路点拨1 .用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB=2OC.2.当C、D、E三点共线时，EHAsCOB,EHDACOD.3.求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4.求得了S的取值范围， 然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值，再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.满分解答1(1)b=c+1,点B的横坐标为一2c.212111y=2x+(c+2)x+c=2(x+1)(x+2c),设E(x,2(x+1)(x+2c).过点E作EHx轴于H.由于OB=2OC,当此x=1-2c.所以E(1-2c,1c).当C、D、E三

12、点在同一直线上时，里=CO,所以DHDO1-c-c-2c-12整理，得2c2+3c2=0.解得c=2或1c=-(舍去).所以抛物线的解析式为2(3)当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线.交BC于F.直线BC的解析式为y=-x-22“123112仅P(m,一m-m-2),那么F(m,-m-2),FP=-m+2m.2222122所以序PBC=SPBF+SPCF=FP(xBxC)=2FP=m+4m=-(m-2)+4.2因此当P在BC下方时，PBC的最大值为4.当P在BC上方时，因为SAABC=5,所以SAPBC5.综上所述，0vS2）与x轴的正半轴分别交于点A、B444（点A位于点B是左侧），与y轴

13、的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、4QOA和4QAB中的任意两个三角形均相似 （全等可看作相似的特殊情况） ？如果存在,， 求出点Q的坐标； 如果不存在，请说明理由.思路点拨1.第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.2 .联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形， 底边可以用含b的式子表示.

14、3.第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.满分解答（1）B的坐标为（b,0）,点C的坐标为（0,2）.4（2）如图2,过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为因此PD=PE.设点P的坐标为（x,x）.如图3,联结OP.所以S四边形PCOB=S/XPCO+S/pBO=边构造矩形OAQC,那么OQC0QOA.当BA=空，即QA2=BAOA时，BQAAQOA.QAOA所以（b）2=b1.解得b=84后.b2，b=8+4点所以符合题意的点Q为（1,2+J3）.4如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么/OQC=90。因

15、此OCQSQOA.当a=QA时，BQASQOA.此时/OQB=90.QAOA所以C、Q、B三点共线.因此巴二空COOA即b=QA.解得QA=4.此时Q（1,4）.b14考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而/QOA与/QOC是互余的那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样，先根据QOA与4QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.5bx=2b.8解得x.所以点5标为坐妗）.55P的坐12zy=4-x得A(1,0),如图OA=1.4,以OA、OC为邻D、E,那么PDBAPEC.(4由x1，4如图中，圆与直线x=1

16、的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB=4OC矛盾.7、将抛物线ci：y=_J3x2+0沿x轴翻折，得到抛物线02,如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式;(2)现将抛物线Ci向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶.点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为.N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、.N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.思路点拨1.

17、把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.2 .B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.3.根据矩形的对角线相等列方程.满分解答(1)抛物线C2的表达式为y=J3x2-73.(2)抛物线C1：y=-J3x2+而与x轴的两个交点为(一1,0)、(1,0),顶点为(0,73).抛物线C2：y=J3x2J3与x轴的两个交点也为(一1,0)、(1,0),顶点为(0,-73).抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m,、/3),与x轴的两个交点为A(1m,0)、B(1-m,0),AB

18、=2.抛物线Q向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(m,3),与x轴的两个交点为D(1+m,0)、E(1+m,0).所以AE=(1+m)(1m)=2(1+m).B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：.情形一，如图2,B在D的左侧，此时AB=1AE=2,3情形二，如图3,B在D的右侧，此时AB=2AE=2,如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE=MN=2OM,而OM2=m2+3,所以4(1+m)2=4(m2+3).解得m=1(如图4).考点伸展第(2)题，探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB=2,AB边上的高为73,所以ABM是等边三角形.

19、同理DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合.因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.AE=6.所以2(1+m)=6.解得m=2.1AE=3.所以2(1+m)=3.斛得m=28、如图，抛物线y=ax2+bx+c(aw0)经过点A(3,0)、B(1,0)、0(-2,1),交y轴于点M.（1）求抛物线的表达式;DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存.在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由P、A、N为顶点的三角形与MAOff似？

20、若解：由题意可知9a-3bc=0!a+b+c=0.斛得4a-2bc=11a=-3b-2.3122，抛物线的表达式为y=x-xT.33(2)将x=0代入抛物线表达式，得y=1.，点M的坐标为(0,1).设直线13-3i.解得k=1,b=1.，直线MA勺表达式为y=1x+1.-3kb=033b=1.1221.设点D的坐标为(,x0-x0+1),则点F的坐标为(x。,+1).333122一1八121/3、23.33,一，122535当x0=时，DF的取大值为一.此时x0-x0+1=,即点D的坐标为（一一,一）2433424（3）存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAG目似.在RtMAO,A

21、O=3MC使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限.1221设点P在第二象限时，二.点P不可能在直线MN,只能PN=3NMJ-m2m+1=3（m+3）,即332m+11m+24=0.解得m=-3（舍去）或m=-8.又3M0,故此时满足条件的点不存在.1222m一一m+1=3(m-3)，即m+1m40=.解得m=-3或m=8.33此时点P的坐标为(一8,15).当点P在第四象限时，1222右AN=3PN寸，则3(mm+1)=m+3,即m+m-6=0.33解得m=-3(舍去)或m=2.122.55当m=2时，xx0+1=一-.此时点P的坐标为(2,).33331222右PN=3NA则一（

22、一一mm+1）=3（m+3）,即m7m30=0.33解得m=-3（舍去）或m=10,此时点P的坐标为（10,39）.5综上所述，满足条件的点P的坐标为（8,15）、（2,）、（10,39）MA的表达式为y=kx+b,则9、如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0,1）、B（4,3）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan/ABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.思路点拨1.，第（2）题求/ABO的正切值，要构造包含锐角/ABO的角直角三角形.2,第（3）题解方程MN=y

23、MYN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.满分解答(1)将A(0,1)、B(4,3)分别代入y=-x2+bx+c,得c1,9W 斛得b=,c=1.-164bc=3.2所以抛物线的解析式是y=-x29x1.2(2)在RtBOC中，OC=4,BC=3,所以OB=5.如图2,过点A作AHLOB,垂足为H.4在RtAOH中，OA=1,sin/AOH=sin/OBC=,5所以AH=OAsinNAOH=4.所以OH5ABH中,4222_一-.551112912那么MN=(x+-x+1)-(一x+1)=x+4x.22当四边形MNCB是平行四边形时，MN=BC=3.解方程一x2+4x=3,得x=1或x=3.因为x=3在对称轴的右侧（如图4）,所以符合题意的点M的坐标为（1,9）（如图3）.考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN=yMyN或MN=yNyM-由yNyM=4xx2,解方程x24x=3,得x=2土（如图5）.所以符合题意的点M有4个：（1,9）,（3,11）,（2殳2：7）,在RtAHtaABCn=BH