数学归纳法教案(共25页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上数学归纳法例1、证明： 证明：（1）当时，左边=2，右边=2，等式成立。（2）假设时等式成立，即那么，当时， 所以，时等式也成立。由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数都成立。2、归纳总结数学归纳法证明步骤：(1)验证当取第一个值（如=1或2时）命题正确。(2)假设当时命题正确，证明时命题也正确。3.用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标4.猜想1.数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想(1)解

2、当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3；当n4时，a1a2a3a4S42×4a4，a4.3分由此猜想an(nN*)5分(2)证明当n1时，a11，结论成立6分假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.10分ak1.当nk1时，结论成立13分由知猜想an(nN*)成立归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0

3、N*)成立； 第三步：假设nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立； 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立1用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是_答案1aa2解析当n1时，n12，中/华-资*源%库左边1a1a21aa2.2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n_.答案3解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_答案(k21)(k22)(k23)(k1)2解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，

4、最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_nk1时等式成立nk2时等式成立n2k2时等式成立n2(k2)时等式成立答案解析因为n为正偶数，nk时等式成立，中/华-资*源%库即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立5(教材改编)已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n16设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，

5、通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.答案解析由(S11)2S1·S1，得S1，由(S21)2(S2S1)S2，得S2，同理得S3，猜想Sn.7.用数学归纳法证明：(nN*)证明当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nN*，原式都成立8.已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论解：(1)将n1，2，3分别代入可得a1，a2，a3，猜想an2.(2)证明：由(1)得n1时，命题成立假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即ak

6、2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，2k1ak2ak12(k1)12k3，2ak122，ak12，即当nk1时，命题也成立根据、得，对一切nN*，an2都成立数学归纳法练习1用数学归纳法证明1n(n1，)，在验证n2成立时，左式是_【解析】当n2时，故左式【答案】2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)·(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)答案：D3用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式（ ）A B C D4设S112，S2122212，Sn122232(

7、n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_答案(k1)2k2解析由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项(k1)2k2(n，kN*)5在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为an_.答案解析当n2时，a2(2×3)a2，a2.当n3时，a3(3×5)a3，a3.当n4时，a4(4×7)a4，a4.故猜想an.6在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析：选C.由a1，Snn(2n

8、1)an，求得a2，a3，a4.猜想an.7.用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切nN*等式都成立8.设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由题意知S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.

9、(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论显然成立；假设当nk(k1，kN*)时，ak2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，对于nN*，an2n1.数学归纳法例1、证明： 2、归纳总结数学归纳法证明步骤：(1)验证当取第一个值（如=1或2时）命题正确。(2)假设当时命题正确，证明时命题也正确。3.用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标4.猜想1.数列

10、an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立； 第三步：假设nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当nk1时结论也成立； 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立1用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是_2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n_.3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的

11、基础上加上_4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证_nk1时等式成立nk2时等式成立n2k2时等式成立n2(k2)时等式成立5 已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.6设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.7.用数学归纳法证明：(nN*)8.已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论数学归纳法练习1用数学归纳法证明1n(n1，)，在验证n2成立时，左式是_2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)·(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)3用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式（ ）A B C D4设S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_5在数列an中，a1，且S