对勾函数绝对经典

1、x+b/x对勾函数f(x)=ax+ ?的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的 函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像当aw0, bwo时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x"叠加"而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a, b同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y= ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故 称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形

2、如f(x)=ax+甘(接下来写作f(x)=ax+b/x )。对勾函数白图像(ab异号)当a, b异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠 加”而成。(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。)一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0, b>0。之后当a<0, b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。a>0 b>0a<0 b<0对勾函

3、数的图像(ab同号)利用均值不等式可以得到:当x>0时，f(x)=ax-F->九员!当且尽当近二日时取等号j,此时X=J当x<0时，f(x)="+二三当且尽当会=:时取等号>此时*=g。即对勾函数的定点坐标:（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。定义域：同工丰0J：值即y|y > 2可额或y< 2vIB）（四）对勾函数的单调性对于幽薮f(x)= axH-)单调增区间：f D0, U（五）对勾函数的渐进线由图像我们不难得到:对于函数式如=既42它的渐进线有两条:"XiF

4、 二汹y = 0；+oo）?单调激区间:（六）对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数,利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明:1、求函数2 xy2x2x 4三二的最小值。2x解：令txx2 2x 3,贝M (x 1)22. 2t21y丁根据对号函数yt1在(1,+oo)上是增函数及t的取值范围，当tJ2时y有最小值3-20止匕时x=-1.222、求函数ysinx(xk,kZ)的单调区间，并求当x(0,)时函数的取小值。sinx2解：令t=sinx,对号函数yt在(0,J2)上是减函数，故当x(0,时sinx是增函数，t22，一，一一一一2，一一,所以ysinx在(0,上

5、是减函数。同理，ysinx在(一，)上是增函数，由于sinx2sinx2一、-2一,一2._.函数ysinx是奇函数，所以函数ysinx在(一,0)上是减函数，在(，一)上sinxsinx22是增函数，由周期性，函数-,2k )(k Z)上是减函数, 22一人一一ysinx在每一个区间(2ksinx在每一个区间(2k ,2k)(k Z)上是减函数；函数y2sin x2， ，* 一、一在每一个区间sin x(2k-,2k)(k Z)上是增函数，在每一个区间 (2k23. ,2k)(k Z)上是增函数。当 x (0, )Btt(0,1,当t=1时即x 时y有最小值32ax+120(本小题12分)已

6、知函数f(x尸x在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|x">，(i=1,2,3),求证：f(x1)+f(x2)+f(x3)>2求1斛：整理得：f(x)=ax+-x(1)当a0时，f(x)的减区间为(-,0)和(0,+);当a>0时，f(x)的减区间为(-U,0)和(0,),增区间为(-,-)和(二,+)aaaa(2)证明：由条件知：xi,x2,x3中至多一个负数.6分(i)若Xi,x2,x3都为正数，由(1)可知|xi|>.'a时，f(|Xi|)>f(1)=2a(i=1,2,3).，a'f(xi)+f(X2)+f(X3)>6>/a>2/a9分不妨设X3<0.(ii)若Xi,X2,X3中有一负数X2+X3>0且|X3|>十,1X2>-X3>,f(X2)>f(-X3)