多元函数微分法及其应用

1、第九章-多元函数微分法及其应用第九章多元函数微分法及其应用81多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1 .平面点集二元的序实数组(xy)的全体即R2RR(xy)|xyR就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E(xy)l(xy)具有性质P例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C(xy)|x2y2r2如果我们以点P表示(xy)以OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成CP|OP|r邻域设Po(xoyo)是xOy平面上的一个点是某一正数片点Po(xoyo)距离小于的点P(xy)的全体称为点Po的邻域记为U(Po即U(电)P|PF0|或U(F0,)(x,y)

2、|.(x-x0)2_(y-y0)2邻域的几何意义U(Po)表示xOy平面上以点Po(xoyo)为中心、>o为半径的圆的内部的点P(xy)的全体点P0的去心邻域记作U(P0,)即U(电)P|0|F0P|注如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作U点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称

3、为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E聚点如果对于任意给定的0点P的去心邻域U(P，)内总有E中的点则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E(xy)|1x2y22满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子E(xy)1<x2y2<2闭集的例子E

4、(xy)|1x2y22集合(xy)|1x2y22既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E(xy)|1x2y22闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E(xy)|1x2y22有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合（xy）|1X2y22是有界闭区域集合（xy）lxy1是无界开区域集合（xy）lxy1是无界闭区域2 n维空间设n为取定的一个自然数我们用Rn表示n元有序数组（x 的集

5、合即Rn R R Xi R i 1 2 Rn中的元素（X1 X2 来表示 即X （i 1 2 nX2Xn）的全体所构成R (X1 X2 nXn)lXn）有时也用单个字母X（X1 X2Xn）当所有的Xi）都为零时称这样的元素为Rn中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2（或R3）中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立对应因而Rn中的元素X（X1X2Xn）也称为Rn中的一个点或一个n维向量Xi称为点x的第i个坐标或n维向量X的第i个分量特别地Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量为了在集合Rn中的元素之间建立联系在Rn中定义线性运算如下设x（X1X2Xn）y（y1y2yn）为R

6、n中任意两个元素R规定x y (X1y1 X2y2Xnyn)x(X1X2xn)这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间Rn中点x(xiX2xn)和点y(yiy2yn)间的距离记作(xy)规定(x,y),(xiyi)2(x2y2)2(xnyn)2显然n123时上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至Rn中元素x(xiX2xn)与零元0之间的距离(x0)记作|x|(在R1、R2、R3中通常将|x|记作|x|)即l|x|."2x2x2采用这一记号结合向量的线性运算便得|xy|(xiyi)2(x2y?)2%yn)2(x,y)在n维空间Rn中定义了距离以后就可以定义Rn中变元

7、的极限设x(xix2xn)a(aia2an)Rn如果|xa|0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xaxiaix2a2xnan在Rn中线性运算和距离的引入使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如设a(aia2an)Rn是某一正数则n维空间内的点集U(a)x|xRn(xa)就定义为Rn中点a的邻域以邻域为基础可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念二多元函数概念例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h这里当r、h在集合(rh)|r>0h>0内取定一对值(rh)时V对应的值就随之确定例2一定量

8、的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系RTpV其中R为常数这里当V、T在集合(VT)V>0T>0内取定一对值(VT)时p的对应值就随之确定例3设R是电阻Ri、R2并联后的总电阻由电学知道它们之间具有关系R1 R2这里 当 Ri、R2在集合( Ri R2) | R1>0 R2>0内取定一对值(Ri R2)时R的对应值就随之确定R定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f

9、在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)值域f(D)z|zf(xy)(xy)D函数的其它符号zz(xy)zg(xy)等类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为Uf(xix2xn)(xix2xn)D或简记为Uf(x)x(xix2xn)D也可记为Uf(P)P(xix2xn)D关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数zln(xy)的定

10、义域为(xy)|xy>0(无界开区域)函数zarcsin(x2y2)的定义域为(xy)|x2y21(有界闭区域)二元函数的图形点集(xyz)|zf(xy)(xy)D称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在P(xy)Po(xoyo)的过程中对应的函数值f(xy)无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f(xy)当(xy)(xoyo)时的极限定义2设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DPo(xoyo)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当P(x,y)

11、DU(Po,)时者B有|f(P)A|f(xy)A|成立则称常数A为函数f(xy)当(xy)(xoyo)时的极限记为3y)h*yo)f(x,y)A或f(xy)A(xy)(xoyo)也记作PimP03A或f(P)A(PPo)上述定义的极限也称为二重极限22、-例 4.设 f(x,y) (x y)sin1、 c2lim f (x, y) 0x y 求证(“(0,0)证因为|f(x,y) 0| |(xy2)sinx70|x2,|皿|x|sin x sin xc|以上述作Pc的邻域U(Pg)则当P(xy) U(Pg)时显然|f(x y) f(xc yc)| |sin x sin xc|y2可见>0

12、取1则当0 , (x 0)2即 P(x,y) D U(O,)时(y0)2总有|f(xy)0|因此/m(0,0)f(x，y)0必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值讨论则函数的极限不存在xy2.f2x2yf(x,y)x2y20。在点(00)有无极限?提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时(xj)m(0,0)f(x，y)xim0f(x，0)xim000当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时limf(x,y)limf(0,y)lim00(x,y)(0,0)y0y0当点P(xy)沿直线ykx有. xy .lim o

13、o limkx2k(x,y) (0,0) x y X 0 片 k x y kx1 k“因此函数f(xy)在(00)处无极限极限概念的推广多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似sin(xy)例5求(xJ?0,2)x解.sin(xy).sin(xy)sin(xy)limlimy-ylimlimy,(x,y)(0,2)x(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)J1?2四多元函数的连续性定义3设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP°(x°y°)为D的聚点且P0D如果(小区加皿)f(x0,y0)则称函数f(xy)在点P0(x

14、0y0)连续如果函数f(xy)在D的每一点都连续那么就称函数f(xy)在D上连续或者称f(xy)是D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去例6设f(x,y)sinx证明f(xy)是R2上的连续函数证设Pg(xgyc)R20由于sinx在x0处连续故0当|xxc|时有即f(xy)sinx在点P°(x。y。)连续由P。的任意性知sinx作为xy加二元函数在R2上连续证对于任意的P0(x0y0)R2因为，明一心。)"明追=Mxf(x0，y0)所以函数f(x,y)sinx在点P°(x0y°)连续由P°的任意性知sinx作为x

15、y的二元函数在R2上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果函数f(xy)在点P0(x0y0)不连续 断点 例如则称Po(xo yo)为函数 f(xy)的间f(x, y)函数xyx2 y20x2 y2 0x2 y2 0y)当(xO(0 0)D (x其定义域DR20(00)是D的聚点f(xy)(00)时的极限不存在所以点是该函数的一个间断点7Ci1又如函数zsx2y21其定义域为y)|x2y21圆周C(xy)|x2y21上的点都是D的聚点而f(xy)在C上没有定义当然f(xy

16、)在C上各点都不连续所以圆周C上各点都是该函数的间断点注间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的22xxy例如1y2sin(xy)ex2y2z2都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限而该点又在此函数的定义区

17、域内则”)flim3例7求(x,y)m(1,2)xy7解函数”"第xy是初等函数它的定义域为D(xy)|x0y0Po(12)为D的内点故存在Po的某一邻域U(P0)D而任何邻域都是区域所以U(P0)是f(xy)的一个定义区域因此一一一3f(1，2)3一般地求产P0f(P)时如果f(P)是初等函数且P0是f(P)的定义域的内点则f(P)在点P0处连续于是limf(P)f(PP0xy11例8求(xJ)m(0,0)xy(xy 1 1)(、,xy 1 1)xy(、xy 1 1)解xy11limlim(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)11lim(x,y)(0,0)xy112多元连续函

18、数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性质1就是说若f(P)在有界闭区域D上连续则必定存在常数M0使得对一切PD有|f(P)|M且存在P1、P2D使得f(P1)maxf(P)|PDf(P2)minf(P)|PD性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值§82偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数定义设函数zf(xy)在点(xoy0)的某一邻域

19、内有定义当y固定在yo而x在xo处有增量x时相应地函数有增量f(xoxyo)f(xoyo)如果极限limf(xox,yo)f(xo,yo)xox存在则称此极限为函数zf(xy)在点(xoyo)处对x的偏导数记作Tyx：xy*zxyxo或fx(xo,yo)例如limf(x。为灿一曲xox类似地函数zf(xy)在点(xoyo)处对y的偏导数定义为limf(x0,y0y)f(xo,y0)y0yz|fxX0xX0z记作Ky0Iy0yxX00或fy(X0yo)偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量x的偏导函数

20、记作或 fx(x，y)lim f(x x,y) f(x,y) x oxz f(x y)对y的偏导函zfxxZx偏导函数的定义式fx(x,y)类似地可定义函数数记为zfyyzy或fy(x,y)flif(x,yy)f(x,y)偏导函数的定义式y)lymoyf求q时只要把y暂时看作常量而对x求导f数求？时只要把x暂时看作常量而对y求导数讨论下列求偏导数的方法是否正确？fx(xo,yo)fx(x,y)xxofy(xo,yo)fy(x,y)xxoyyoyyofx(xo,yo)dx”x,yo)xx。fy(xo，yo)力(Xo，y)yyo偏导数的概念还可推广到二元以上的函数uf(xyz)在点(xyz)处对x

21、的偏导数定义为fx(x,y,z)limx 0f(x x,y,z) f(x,y,z)其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题求zx23xyy2在点(12)处的偏导数i 2x 3y 7 3x 2yx 1 21 32 8y 231227求zx2sin2y的偏导数解气 2xsin2y2x2cos2y y证-x yxyx z 1xy(x 0,x 1) 求证-xyln x yln x y-yx y x ln x y y例 4 求 r Jx2 y2y 1 xylnxln xz2的偏导数2zxx_ryz2 r.x2y2z27%x2y2例5已知理想气体的状态方程为p

22、V=RT(R为常数)卫士1求证VTp证因为pRTpRTpVTRT所以P不下VRTpPVRRV7RVV2VR了PTVpRTpV例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数zf(xy)在点(xo何意义fx(xoy0)f(xy0)x是截线处切线Tx对x轴的斜率fy(xoyo)f(xoy)y是截线处切线Ty对y轴的斜率y。的偏导数的几zf(xy。)在点M0zf(x0y)在点M0偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在在该点连续例如也不能保证函数xyf(x,y)x2y20x2y20x2y20在点(00)有fx(00)0fy(00)0但函数在点(00)并不连续提示f(

23、x,0)0f(0,y)0fx(0,0)凯(x，0)0fy(。力(0,y)0当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有limf(x,y)limf(x,0)lim00(x,y)(0,0)x0x0当点P(xy)沿直线ykx趋于点(00)时有2,lim2y2lim2kx22-k-(x,y)(0,0)x2yx0x2k2x21k2ykx因此(x)im(0，0)f(x,y)不存在故函数f(xy)在(0不连续类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为zfyyZy或fy(x,y)flif(x,yy)f(x,y)偏导函数的定义式fy(x,y)lym0y二高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数ifx(x&

24、#39;y):fy(x,y)那么在D内fx(xy)、fy(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称它们是函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数fx(xV)、fy(xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数其中x(i_(_zy x数2zx2-(x xx22zfxx(x,y)-(-x工 fxy(x, y) x y2zfyx(x, y)-(-)上 x y y x同样可得三阶、四阶、以及2zx y2z2 yfxy(X, ¥)fyy(X,y)&qu

25、ot;"称为混合偏导_(_z) y y y2n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2卫例6设zx6x2y 9y2 1 6x2y 9y2 1y23xy3xy1求x2、2zxy解i3x2V23y3V丁2x3y9xy2x23z2z216xy16yxx由例6观察到的问题定理如果函数2z2z222z2zy x x yz f(x y)的两个二阶混合偏导数#及F在区域D内连续那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数22zz_zzn证因为zxz In x2x22x y2(22、2z (x y )x 2x22 22x2x(xy )2z (x2 y2) y

26、2yy2(x2y2)22z 2zx2 y2因止匕x2y2 (x2 y2)21 22、理x y)所以y2 2x y22y x/ 222(x y )x2 y2(x2 y2)222y x 0(x2 y2)2例8.证明函数u1 一一 、一满足方程2u一2 x22-U _u0220yz其中rx2 y2证"x2 _U x22uZ21r1x22r2xr2r1 3x r 1x r33x2r3 r4 x1对r3r5rr同理y2r3 r52u1 3z2z2滔了例7验证函数zln"y2满足方程x2y22u2u2u,13x2、，13y2、,13z2、2-22(-3-5")(3-5&quo

27、t;)(3-5-)xyzrrrrrr33(x2y2z2)33r20r3r53r52.v提示 M ? F)-33 32 rr x (r j r x 3r xxr6r6§83全微分及其应用A,全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分f(xxy)f(xy)fx(xy)xf(xxy)f(xy)为函数对x的偏增量fx(xy)x为函数对x的偏微分f(xyy)f(xy)fy(xy)yf(xyy)f(xy)为函数)对y的偏增量fy(xy)y为函数对y的偏微分x、 y全增量zf(xxyy)f(xy)计算全增量比较复杂我们希望用的线性函数来近似代替之定义如果函数zf(xy)在点(

28、xy)的全增量zf(xxyy)f(xy)可表示为zAxByo()(,(x)2(y)2)其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关则称函数zf(xy)在点(xy)可微分而称AxBy为函数zf(xy)在点(xy)的全微分记作dz即dzAxBy如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分可微与连续可微必连续但偏导数存在不一定连续这是因为如果zf(xy)在点(xy)可微则zf(xxyy)f(xy)AxByo()一日limz0于是0从而(Jyme/xx，yy)1叫f(x，y)zf(x,y)因此函数zf(xy)在点(xy)处连续可微条件定理1(必要条件)如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函

29、数zz在该点的偏导数7、y必定存在且函数zf(xy)在点(xy)的全微分为dzzxzyxy证设函数zf(xy)在点P(xy)可微分于是对于点P的某个邻域内的任意一点P(xxyy)有zAxByo()特别当y0时有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式两边各除以x再令x0而取极限就得.f(xx,y)f(x,y)Alim-wAx0xzz_z从而偏导数q存在且qA同理可证偏导数y存在且十B所以,zzdzxyxy简要证明设函数zf(xy)在点(xy)可微分于是有zAxByo()特别当y0时有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式两边各除以x再令x0而取极限就得limf(xx,y)f(x，y)li

30、mfA°LxDAx0xx0xzzA_zz从而存在且工同理y存在且y所以zz偏导数;、”存在是可微分的必要条件但不是充分条件例如xy2222 x yf(x, y) , x2 y2函数0x2 y20。在点(0 0)处虽然有fx(00)。及fy(00)0(00)不可微分即zfx(00)xfy(00)y不是较高阶的无穷小这是因为当(xy)沿直线yx趋于(00)时z fx(0,0) x fy(0,0) yx y(x)2 ( y)2x x(x)2 ( x)2定理2(充分条件)z如果函数z f(x y)的偏导数z“在点(x y)连续则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按

31、着习惯x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分 可写作z f(x y)的全微分,z.z.dzdxdyxy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如函数uf(xyz)的全微分为du dx dy dzx y例1计算函数解因为q2xy所以 dz 2xydx (x2例2计算函数z xy解因为yezz x2yy2的全微分x2 2yy2y)dyz exy在点(2 1)处的全微分二 xexyy2 z e22e2所以dze2dx2e2dy例3计算函数uxs呜铲的全微分在rm、/.u1-u1cosyzeyzuyeyz解因为x1y22zye所

32、以 du dx1cos-2y zeyz)dy yeyzdz*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf(xy)在点P(xy)的两个偏导数fx(xy)fy(xy)连续并且|x|y|都较小时有近似等式zdzfx(xy)xfy(xy)y即f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例4有一圆柱体受压后发生形变它的半径由20cm增大到2005cm高度由100cu减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似值解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V则有V r2h已知r20h100r005h1根据近似公式有V dVVrrVhh2rhrr2h220100005

33、202(1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm3例5计算(104)202的近似值解设函数f(xy)xy显然要计算的值就是函数在x104y202时的函数值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)yxyyxy2L )T3 T)xxy1nxy所以(104)2021其中1与t为1与T的绝对误差把1=100 T=2,2121004121n1002108例6利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是c421gF现测得单摆摆长1与振动周期T分别为1=100H.1cm、T=2i0.004s.问由于测定与T的误差而引起g的绝对误差和相对误

34、差各为多少？解如果把测量1与T所产生的误差当作|日与|2T|,则利用上述计算公式所产生的、/、r一一c421一，匚误差就是二元函数g下的全增量的绝对值| |.|四|斗都很小因此我们可以用dg来近似地代替区这样就得到g的误差为I g| |dg| 1( 1_gTT|中4 2(iT2 1|Ti=0.1,次=0.004代入上式得g的绝对误差约为2/0.12100g4(了下-。.。4)0.524.93(cm/s2)-02520.500g42100022z=f(x,量x、y的绝对误差分别为I 今 I x,y),如果自变x、 y,V,则z的误差IzIIdzIIxyIxyxI-I xx仔xI曰1y1从而得到z

35、的绝对误差约为z|i1z的相对误差约为zIzIz_vz§84多元复合函数的求导法则r,rdz设zf(uv)而u(t)v(t)如何求而？设zf(uv)而u(xy)v(xy)如何求二z、x和y?1复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数u及v都在点t可导函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf(t)(t)在点t可导且有dzzduzdvdtudtvdt简要证明1因为zf(uv)具有连续的偏导数所以它是可微的即有,z.z.dzdudvuv又因为u(t)及v(t)都可导因而可微即有.du.dv.dudtdvdtdtdt代入上式得dz二包dtCdvdt（二包二dv）

36、dtudtvdtudtvdt从另dzzduzdvdtudtvdt简要证明2当t取得增量t时u、v及z相应地也取得增量u、v及z由zf(uv)、u及v(t)的可微性有z二u二vo()二喏to(t)二琛to(t)o()uvudtvdt(Tdrt(-z.。o()zzduzdv(zZ)0(t)o()tudtvdtuvtt令t0上式两边取极限即得dzzduzdvdtudtvdtlim°Jlimoilau)2(v)20心)2(dv)20注t0tt0t'dt，'dt，推广设zf(uvw)u(t)v(t)w(t)则zf(t)(t)对t的导数为dzzduzdvzdwdtudtvdtwd

37、t上述警称为全导数2复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数u(xy)v(xy)都在点(xy)具有对x及y的偏导数函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf(xy)(xy)在点(xy)的两个偏导数存在且有z_z_u_z_v-z_z-u-z-vxuxvxyuyvy推广设zf(uvw)u(xy)v(xy)w(xy)则zzuzvzw_z_z_u_z_v_z_wxuxvxwxyuyvywy讨论z-(1)设zf(uv)u(xy)v(y)则x?z不?zzu_z_z_u_zdv提示"x-u-xyuyvdyz(2)设zf(uxy)且u(xy)则x?y?zf_u_f_卫_L

38、_uf提示G7-xGyuyy这里T与-是不同的q是把复合函数zf(xy)xy中的y看作不变而对x的偏导数fG是把f(uxy)中的u及y看作不变而对zfx的偏导数方与？也有类似的区别3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形定理3如果函数u(xy)在点(xy)具有对x及对y的偏导数函数v(y)在点y可导函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf(xy)(y)在点(xy)的两个偏导数存在且有zzuzzuzdvXyuyvdy、_z卫例1设zeusinvuxyvxy求G和yzzuzvuxvxeusinvyeucosv1exyysin(xy)cos(xy)zuzvyvyeus

39、invxeucosv1exyxsin(xy)cos仅y)222_u_uf(x,y,z)exyz而zx2siny求x和yfz22xex2xf f2 _22 2y z 2zex yy z22yex2(y(1 2x2sin2 y)ex,z yz22'2 _222y z 2ze< yx4sin ycosy)e”2xsin yy2 x4sin2 yz2 x2cosyy2 x4sin2y例3设zuvsint而u3vcost求全导dzdtdzzdu_zdv_zdtudtvdttvetu(sint)costetcostetsintcostet(costsint)cost例4设wf(xyzxyz)

40、f具有二阶连续偏导，w2w数求G及F解令u xy z v xyz 则 w f(u v)引入记号等fif (u,v) fi2uf(u,v)u v同理有f2f11f22x2wx zv fiv xf'fiyzf2) 一 zyzf2yf2f2yz一 zf11fllfifi Uz u zxyfi2 y2y(x z)fi22 yzf2i xy zf22yf2 xy2才22Th f11 xyfi2f2 U T 于 f2i xyf22例5设uf(xy)的所有二阶偏导数连续把下列表达式转换成极坐标系中的形式2,2,()2()2T2-2(1)(x)(y)(2) x x2y2解由直角坐标与极坐标间的关系式得

41、uf(xy)f(cos9sin0)F(0)其中xcoseysineCarctanI应用复合函数求导法则得uuuua_u_y_uuysin2cosu u u u y u x u c 2 sin y y yu cos两式平方后相加得 (T2 中2 (-)2 4/2再求二阶偏导数得2u x2(-)(-) xxx x/uu sin、(cos) cos/ u u sin 、sin(cos)-22-2-22u2 c2u sin cos 2u sin 22 cos22u 2sin cos u sin22同理可得2uy222.22u 2 u sin cos u cossin 222-2u 2sin cos u

42、 cos22两式相加得2ux2y22u112u 一22全微分形式不变性设zf(uv)具有连续偏导数则有全微分,z.z.dzdudvuv如果zf(uv)具有连续偏导数而u(xy)v(xy)也具有连续偏导数则dzdxdyxy(-u-)dx(二-u二-v)dyuxvxuyvyz,u,u,xz,v.v.(dxdy)(dxdy)uxyvxydudvuv由此可见无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性例6设zeusinvuxyvxy利用全微分形式不变性求全微分在刀dz-dudv_u_u解uvesinvduecosvdveusinv(ydxxdy)e

43、ucosv(dxdy)(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dyexyysin(xy)cos仅y)dxexyxsin(xy)cos仅y)dy85隐函数的求导法则、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(xy)在点P(xoy0)的某一邻域内具有连续偏导数F(xoyo)0Fy(xoyo)0则方程F(xy)0在点(xoyo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件V。f(x。)并有dyFxdxFy求导公式证明将yf(x)代入F(xy)0得恒等式F(xf(x)0等式两边对x求导得-F-Fdy0xydx由于Fy连续且Fy(x0y0)0所以存在(x

44、0y°)的一个邻域在这个邻域同Fy0于是得dy&dxFy例1验证方程x2y210在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值解设F(xy)x2y21则Fx2xFy2yF(01)0Fy(01)20因此由定理1可知方程x2y210在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当X0时y 1的隐函数yf(x)dydxFx x可ydydxd2y dx2d2y dx2y xyy2y x(勺yy2y2 x21y3y3隐函数存在定理还可以推广到多元函数一个二元方程F(xy)0可以确定一个一元隐函数一个三元方程F(x

45、yz)0可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理2设函数F(xyz)在点P(x0v。z0)的某一邻域内具有连续的偏导数且F(x0y0z0)0Fz(x0v。z0)0则方程F(xyz)0在点(x0v。z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(xy)它满足条件zf(x0y0)并有zFxxFzzFyyFz公式的证明将zf(xy)代入F(xyz)0得F(xyf(xy)0将上式两端分别对x和y求导得FxFz0FyFz-z0xy因为Fz连续且Fz(x0y0z0)0所以存在点(x0yoz0)的一个邻域使Fz0于是得zFxzFyxFzyFz2z例2.设x2yz24z0求x2解设F(xyz)x

46、2y2z24z则Fx2xFy2z4zFx2xxxFz2z42z上(2x).(2x)及(2/x2x2(2z)2(2z)2(2z)3二、方程组的情形在一定条件下由个方程组F(xyuv)0G(xyuv)0可以确定一对二元函数uu(xy)vv(xy)例如方程xuyv0和uyyuxv1可以确定两个二元函数x2y2x22x2y2xu yv 0xx,yvuyuxu1u2yyxyvaaV2222yx2y2x2y2如何根据原方程组求uv的偏导数？隐函数存在定理3隐函数存在定理3设F(xyuv)、G(xyuv)在点P(x0y0u0v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数又F(x。y0u0v0)0G(x。y。u

47、。v。)0且偏导数所组成的函数行列式JKG!KtJ(u,v)_G_Guv在点P(x°y0u0v0)不等于零则方程组F(xyuv)0G(xyuv)。在点P(x0v。u°v°)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(xy)vv(xy)它们满足条件u。u(x。y。)v。v(x。y。)并有FxFvu1(F,G)GxGvxJ(x,v)FuFvGuGvv1(F,G)xJ(u,x)FuFxGuGxFGuGv1(F,G)J(y,v)FyFvGyGvFuFvGuGv1(F,G)J(u,y)FuFyGuGyFuFvGuGv4和弋的方程组隐函数的偏导数：G(x y

48、u v) 0 确定设方程组F(xyuv)0一对具有连续偏导数的二元函数uu(xy)vv(xy)Fx偏导数qx由方程组F-uF0uv，xxcu八vGry0.确定偏导数77由方程组例3设xuyv0yuvFyF-uF-v0uv，yyGuuGv0.yyuxv1求x确定V_u一xy和y解两个方程两边分别对x求偏导得关于ux、y0xxyuvx0xxuxuyv_vyuxv当x2y20时解之得xx2y2xx2y2u两个方程两边分别对x求偏导得关于Fv和%的方程组x，vyd0yyuyx»0yyuxvyuvxuyv当x2y20时解之得了个h了另解将两个方程的两边微分得解之得udxxduvdyydv0xd

49、uydvvdyudxudyyduvdxxdv0即yduxdvudyvdx.xuyv.xvyu.du2dx-2dyxyxydv于是uxuyvuxvyu2222xx2y2yx2y2yuxv22xyvxuyv一22yx2y2例设函数xx(uv)yy(uv)在点(uv)的某一领域内连续且有连续偏导数又(x,y)0(u,v)(1)证明方程组xx(u,v)yy(u,v)在点(xyuv)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(xy)vv(xy)(2)求反函数uu(xy)vv(xy)对xy的偏导数解(1)将方程组改写成下面的形式F(x,y,u,v)xx(u,v)0G(x,y,u,v)yy(

50、u,v)0J(F,G)(x,y)0则按假设J飞行由0.由隐函数存在定理3即得所要证的结论(2)将方程组所确定的反函数uu(xy)vv(xy)代入(7)即得xxu(x,y),v(x,y)yyu(x,y),v(x,y)将上述恒等式两边分别对x求偏导数得1xuxvuxvx0_y_u_y_vuxvx由于J0故可解得uJy_vjyxK-J-v-x-J-u-同理可得u1xv1xyJvyJu§86多元函数微分学的几何应用一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)yz(t)这里假定(t)都在上可导在曲线上取对应于tto的一点Mo(X0yozo)及对应于tt0t的邻近一点M(xo+xyo+yzo+z)作曲线的割线MMo其方程为xxyyozzxyz当点M沿着趋于点Mo时割线MMo的极限位置就是曲线在点Mo处的切线考虑xxyyozzxyz当MMo即to时得曲线在点Mo处