二次函数压轴题(经典版)

1、2016年10月26日二次函数压轴2一.解答题(共30小题)1 .如图，在ABC中，/BAC=90,BC/x轴，抛物线y=ax2-2ax+3经过ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2 .如图，抛物线y=Lx2+bx-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且A(-1,0).2(1)求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标;(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值.3 .如图，已知直线y=x+3与x轴交于

2、点A,与y轴交于点B.抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4,求点F的坐标；(3)连接B、C,点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q,过P作PMx轴于M,过Q作QNx轴于N,求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标.4 .在平面直角坐标系中，抛物线y=Lx2-x-2的顶点为点D,与直线y=kx在第一象限内2交于点A,且点A的横坐标为4;直线OA与抛物线的对称轴交于点C.(1)求AOD的面积；(2)若点F为线段OA上一点，过点F作EF

3、/CD交抛物线于点E,求线段EF的最大值及此时点E坐标；(3)如图2,点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且/POA=45°,求出点P的坐标.图1图25 .如图，已知抛物线L1：yi=x2,平移后经过点A(-1,0),B(4,0)得到抛物线L2,4与y轴交于点C.(1)求抛物线L2的解析式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)点P为抛物线L2上的动点，过点P作PDx轴，与抛物线L1交于点D,是否存在PD=2OC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.AB长为4个单6 .抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的顶点为P(1,-4),在x轴上截得的线段位，OAvOB,抛物线与y

4、轴交于点C.(1)求这个函数解析式；(2)试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；(3)已知在对称轴上存在一点F使得4ACF周长最小，请写出F点的坐标.1?,一、一、一、一，,.7 .如图，已知抛物线产二尸+bx+c与x轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点，与y轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标.8 .如图，抛物线y=-x2+ax+8(a0)于x轴从左到右交于点A,B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D(m,5),tan/DCO=1(1)求抛

5、物线与直线CD的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有点E,使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；(3)点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FGXCD于点G,作FH/y轴，与直线CD交于点H,求FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标.9 .如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P在直线AC上，若SApao：:Sapco=2:1,求P点坐标；(3)如图，若点C关于对称轴对称的点为D,点E的坐标为(-2,0),F是OC的中点，连接DF,Q为线段AD上的一点，若/EQF=/ADF,求线段EQ的长.10 .如

6、图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,点C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；(2)求出PBC的面积；(3)请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q,使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是PBC的面积的生？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.7211 .已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线x=-2,点C是抛物线与y轴的交点，点D是抛物线上另一点，已知以OC为一边的矩形OCDE的面积为8.(1)写出点D坐标并

7、求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线在x轴上方的一个动点，且始终保持PQ，x轴，垂足为点Q,是否存在这样的点，使得PQBsBOC?若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.12 .如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3),并经过点C(2,0).(1)求该二次函数的解析式；(2)直线y=3x与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B的坐标和AOB的面积;(3)点Q在x轴上运动，求出所有AOQ是等腰三角形的点Q的坐标.另一点C,与y轴交于点B (0, 3),对称轴是直线x= - 1,顶点是M .0),与x轴交于(1)直接写出二次函数的解析式：;(2)点P是抛物线上的动点，点D是对称轴上的

8、动点，当以P、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D的坐标：；(3)过原点的直线l平分MBC的面积，求l的解析式.题(1)(2)图题(3)图214 .已知抛物线y=ax+bx+c(aw0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴父于点C(0,2),3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由.15 .已知二次函数y=ax"4x+c的图象过点(-1,0)和点(2,-9).(1)求该二次函数的解析式并写出其对称轴；

9、(2)已知点P(2,-2),连结OP,在x轴上找一点M,使OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标(不写求解过程).16 .如图，已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点(与B点不重合).连接AC,AO:CO=1:3.(1)求ABC的面积；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上，是否存在与点C不重合白一点P,使PAB的面积与ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1017,已知：二次函数y=x2+2x-3与x轴交于点A、点B(点A在点B左边)，与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.连接AD

10、、CD,过点A、点C作直线AC.(1)求点B、D的坐标及直线AC的解析式；(2)若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2,求线段EF的长；(3)该抛物线上是否存在点P,使得/APB=/ADC?若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.18 .在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若在该抛物线的对称轴l上存在一点M,使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；(3)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且坐标标分别为m,m+2,当四边形C

11、BQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值.备用图19 .如图，抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线尸上相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象PM内，且tan/AOx=4.过点A作直线AC/x轴，交抛物线于另一点C.(1)请直接写出双曲线和直线AB的解析式，求出抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上能否找到点D,使BCD周长最短，请求出点D的坐标和直接写出此时BCD周长；(2)在直线AB的下方的抛物线上找一点P,使ABP的面积最大.并求出点P的坐标和20 .如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A(0,4),且抛物线经过点C

12、(-3,-2),，一E对称轴x=.2(1)求出抛物线的解析式；(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于B点，连接AC,AB,若在抛物线上有一点D,使得万ABC=SBCD,求D点的坐标；(3)记抛物线与x轴左交点为E,在A、E两点之间的抛物线上有一点F,连接AE、FE、FA,试求出使得Saaef面积最大时，F点的坐标以及此时的面积.r21 .如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线起萼.点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P,交过点A2的直线y=-x+n于点C.(1)求直线AC及抛物线的解析式；(2)若FM,，求pc的长；(3)

13、过P作PQ/AB交抛物线于点Q,过Q作QN，x轴于N,若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d,求d的最大值.22 .如图，已知二次函数y=-JLx2+gx+4的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,42其对称轴与x轴交于点D,连接AC.(1)点A的坐标为，点C的坐标为;(2) AABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；(3)线段AC上是否存在点E,使彳EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图，已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3).(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；(2)在x

14、轴的正半轴上是否存在点P,使得PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.%5432124 .如图，直线y=kx+b交x轴于点A(-1,0),交y轴于B点，tan/BAO=3;过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求直线AB的表达式；(2)求抛物线的表达式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.25.如图,抛物线 物线的顶点坐标为y=ax2+bx+c(aw0)与直线y=kx+b交于A(3,0)、C(0,3)两点，抛Q(2,-1).点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点

15、P与A不重合)，过点P作PD/y轴，交直线AC于点D.(1)求该抛物线的解析式；A、P、E、(2)设P点的横坐标为t,PD的长度为1,求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时,点P的坐标.(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.26 .在平面直角坐标系xOy中，抛物线尸一巾:戈2+工坨,+加26Mg经过原点O,83点B(-2,n)在这条抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线y=-2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线1,若直线l经过B点，求n、b的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线的对称

16、轴与x轴交于点C,直线1与y轴交于点D,且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE,求P点的坐标.27 .如图，已知抛物线y=x2-(m2-2)x-2m与x轴交与点A(x1，0),B(x2,0),与y轴交与点C,且满足二4二二.町x22(1)求这条抛物线的解析式；(2)若点M是这条抛物线对称轴上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标.228 .如图，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴负半轴父于点A,与y轴正半轴父于点B,且OA=OB.(1)求b+c的值；(2)若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，点P(不与A、C重合

17、)是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标.ii29 .如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(xi,0),B(x2.0),其中xi<X2,与y轴交于点C(0,3),且xi,x2满足2(xi+x2)+xix2-1=0.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)P为线段BD上的一个动点，过点P作PMXX轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.30.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-i,0)和点B(2,0).P为抛物线在x轴上方的一点(不落在y轴上)，过点P作PD/x轴交y轴于点D,PC

18、/y轴交x轴于点C.设点P的横坐标为m,矩形PDOC的周长为L.(i)求b和c的值.(2)求L与m之间的函数关系式.(3)当矩形PDOC为正方形时，求m的值.2016年10月26日二次函数压轴2参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1.（2014?无锡校级模拟）如图，在4ABC中，/BAC=90,BC/x轴，抛物线y=ax2-2ax+3经过ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的

19、性质.【专题】计算题.【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x=1,由于BC/x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x=1对称轴，则AB=AC,于是可判断ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1,所以可确定A点坐标为（1,4）,然后把A点坐标代入y=ax2-2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y=-x2+2x+3;（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（-1,0）,设P点坐标为（1,t）,利用两点之间的距离公式得到CD2=32+（2+1）2=18,PC2=12+（t-3）2,PD2=22+t2,然后分类讨论：当C

20、D2=PC2+PD2,即18=12+（t3）2+22+t2,解得t1=-虫上，t2=jWn22此时P点坐标为（1,3A）,（1,上M3）；当pd2=cd2+PC2,即22+t2=18+12+（t-3）222,解得t=4,此时P点坐标为（1,4）,;当PC2=CD2+PD2,即12+（t-3）2=18+22+t2,解得t=-2,此时P点坐标为（1,-2）.【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=-二士=1,2a.BC/x轴， .B点和C点关于直线x=1对称轴，.AB=AC,而/BAC=90,.ABC为等腰直角三角形，AF=BF=1, A点坐标为（1,4）,把A

21、（1,4）代入y=ax22ax+3得a2a+3=4,解得a=-1,，抛物线解析式为y=-x2+2x+3;（2）令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=1,x2=3, .D点坐标为（-1,0）,设P点坐标为（1,t）, CD2=32+（2+1）2=18,PC2=12+（t-3）2,PD2=22+t2,当CD2=PC2+PD2,即18=12+（t3）2+22+t2,解得t1=3-V17t2=J?h叵此时P点坐2，2标为（1,”坨）,（1,生叵）；22当PD2=CD2+PC2,即22+t2=18+12+（t-3）2,解得t=4,此时P点坐标为（1,4）,;当PC2=CD2+PD2,即12+（t-

22、3）2=18+22+t2,解得t=-2,此时P点坐标为（1,-2）;，符合条件的点P的坐标为（1,"妤）或（1,如叵）或（1,4）或（1,-2）.2270【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，aw0)与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式.2. (2014?镇江一模)如图，抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点,且A(T,0).(1)求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM

23、+AM的最小值.【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题.【分析】(1)把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；(2)首先求出C,A,B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM.所以AM+CM=BM+CM>BC=2衣.【解答】解：(1)二点A(-1,0)在抛物线y=JLx2+bx-2±,2b=-a,2，抛物线解析式y=-x2-5.x-2,22,抛物线y=x2-x-2=(x一旦)2-,22228顶点D的坐标(上,一至)；28(2)当x=0时，y=-2,C(0,-2).OC=2,当y=0时，0=A_x28x2,22解

24、得：x=4或-1, B(4,0), .OB=4,由抛物线的性质可知：点A和B是对称点， .AM=BM,.AM+CM=BM+CM>BC=2企.CM+AM的最小值是2、斤.【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CM>BC=2旄是解题的关键.3.(2014?重庆模拟)如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4,求

25、点F的坐标；(3)连接B、C,点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q,过P作PMx轴于M,过Q作QNx轴于N,求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标.【考点】二次函数综合题.A、B点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解【分析】(1)由直线解析式可求出析式;(2)由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点E的坐标，可随之求出AE的长度，由三角形的面积为4,可得出点F到直线AB的距离，设出F点的坐标，套用点到直线的距离公式即可求得F的坐标；(3)设出P点的坐标，用未知数n表示出Q的坐标，由矩形的面积公式可得出含n的代数式，利用解极值问题即可得出矩形PQNM面积的最大值和P点

26、的坐标.【解答】解：(1)直线y=x+3与x、y轴的交点分别为A(-3,0)、B(0,3),将A、B坐标代入抛物线解析式得：产-9-3b+c解得了Tl3=cc-3，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)二,抛物线的解析式y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,，抛物线的对称轴为x=-1,s=- 1 /曰，得*x= - 1即点E坐标为(-1,2),，AE=2&.设F点坐标为(m,-m2-2m+3).AEF的面积为4,.F点到直线AE的距离为瓜.丁2-=£j=2后即|m2+3m|=4,解m2+3m=4,得m=1,m2=4;解m2+3m=4,无解.丁点F在第三象限，mv0,

27、即m=-4,此时点F的坐标为(-4,-5).(3)依照题意画出图形，如下，令y=(x+1)2+4=0,解得x=1,x=3,点C坐标为(1,0).设直线BC的解析式为y=kx+b,则有3:b,解得0二-3LO=k+bb=3即直线BC的解析式为y=-3x+3.设P点坐标为（n,n+3）（其中-3vnv0）,则Q点坐标为（-,n+3）,M点坐标为（n,30）,N点坐标为（-0）.1.PM=n+3,PQ=-n=-An,332矩形PMNQ的面积=PMXPQ=（n+3）x（且n）=-A（n2+3n）=9缶遂）+3.333咂故当n=-W时，矩形PMNQ的面积最大，最大面积为3.2此时P点坐标为（-,）.22

28、【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）由直线解析式求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）先找出线段AE的长度，再根据点到直线的距离来表示出面积；（3）设出P点坐标，利用含n的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题.4. （2014邙坪坝区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=Jx2-x-2的顶点为点D,与直线y=kx在第一象限内交于点A,且点A的横坐标为4;直线OA与抛物线的对称轴交于点C.（1）求AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF/CD交抛物线于点E,求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2,点P为该抛物线在第四象限部分上一点

29、，且/POA=45°,求出点P的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)在图1中求出的A、D坐标，利用SaAOD=S梯形AHMD-S”OH-SaDOH即可求解.(2)直线OA的解析式为y=-Lx,EF/y轴，可以假设E(m,m2-m-2),F(m,m),222根据EF=Xm-(Jim2-m-2)=(m-)2+义_即可解决.22228(3)在图2中，构造AEOAHMA,只要证明OAH是等腰直角三角形，求出点H坐标，再求出直线OH与抛物线的交点P即可.【解答】解：(1)如图1中，作AHy轴DM，y轴垂足分别为H、M.y=-x2-x-2=(x-1)222 顶点D坐标(1,-9),2，点

30、A横坐标为4,.点A的坐标为(4,2), SAAOD=S 梯形 AHMD _ SAAOH - SADOH =1+4Q1S1._X-X1X-X2X4=6.(2)二直线OA的解析式为y=x,EF/y轴,2可以假设E(m,m2-m-2),F(m,m),22EEF=m-(m2-m-2)=-(m-)2+-,1922228 当m=士时，EF有最大值二名，此时的E坐标为(士282(3)如图2中，作AE，y轴垂足为H,延长EA到M使彳导AM=EO,过点M作MH，EM,过点A作AO的垂线交MH于H. ./AEO=/OAH=/AMH=90°,/EOA+ZEAO=90°,/EAO+ZMAH=90

31、°,/EOA=/MAH,在AEO和HMA中，'NEOA:/MAHOE-AH，lZAEO=ZAMHAEOAHMA,.OA=AH,AE=HM=4,./OAH=90°,./AOH=/AHO=45°,，点H坐标为（6,-2）,设直线OH为y=kx，点H坐标代入得到k=,3直线OH为y=-Xx,点P在第四象限,3'2+2V10尾/日x=3解得“1r，点P坐标为（¥-）_2+2V1Q【点评】本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决45度角问题，属于中考压轴题.5. (2014?广东模拟)

32、如图，已知抛物线Li：yi=x2,平移后经过点A(-1,0),B(4,40)得到抛物线L2,与y轴交于点C.(1)求抛物线L2的解析式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD，x轴，与抛物线Li交于点D,是否存在PD=2OC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【考点】二次函数综合题.在平移过【分析】(1)由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向,程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为更，已知了平移后的抛物线经过x4轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；(2)由坐标轴上点的特征可得C(0,-3)

33、,根据两点间的距离公式得到AB,BC,AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；(3)可设P(a,2a2-Aa-3),D(a,a2),根据PD=2OC,列出方程即可求解.444【解答】解：(1)设抛物线L2的解析式为y=2x2+bx+c,经过点A(-1,0),B(4,0),4-b+c-0根据题意，得,4,12+4b+c=0b二言解得4c=3<，抛物线L2的解析式为y=x2-x-3.44(2)ABC的形状是等腰三角形.理由：根据题意，得C(0,-3),.AB=4-(1)=5,BC=V42+32=5,AC=412+32=7Hi,.ABC的形状是等腰三角形.(3)存在PD=2OC.设P(a,J

34、ia2-2a-3),D(a,a2),444根据题意，得PD=|&a29a3aa2|=|ga+3|,OC=3,4444当l=a+3|=6时，斛得ai=,a2=-4.43Pi(-,皂)，P2(-4,18).33【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等.6.(2014?哈尔滨校级模拟)抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的顶点为P(1,-4),在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OAVOB,抛物线与y轴交于点C.(1)求这个函数解析式；(2)试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；(3)已

35、知在对称轴上存在一点F使得4ACF周长最小，请写出F点的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标以及在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OAVOB,得出A,B点坐标，进而得出抛物线解析式即可；(2)利用网格以及勾股定理得出PC,BC,BP的长，进而得出BCP的形状；(3)利用轴对称求最短路径的方法，首先确定F点位置，再求出直线BC的解析式，进而得出F点坐标.【解答】解：(1)如图所示：:抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的顶点为P(1,-4),在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OAvOB,.A点到对称轴直线x=1的距离为2,B点到对称轴直线x=1的距离为2,.A点坐

36、标为；(-1,0),B点坐标为；(3,0),设抛物线解析式为：y=a(x-1)-4,.-0=a(-1-1)2-4,解得：a=1,，函数解析式为：y=x2-2x-3;(2)如图所示： y=x22x3的图象与y轴交于点C(0,-3),PC=®BC=3MBP=V55=2遥，.PC2+BC2=bp2, 以B、C、P为顶点的三角形的形状是直角三角形；(3)存在；理由：如图所示：:A,B点关于直线x=1对称， BC与直线x=1的交点即为F点，此时ACF周长最小,设直线BC的解析式为：y=kx+b,%二-3 ，3k+b=0解得：,，b=-3 直线BC的解析式为：y=x-3,当x=1时，y=-2,.

37、F(1,-2).airii二3可士【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称求最短路径应用等知识，根据题意正确画出图形，利用数形结合得出是解题关键.7. (2014%寸开县二模)如图，已知抛物线厂方工+bx+c与x轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点，与y轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)直接将A (-4, 0), B (1, 0)两点代入抛物线解析式求出即

38、可;(2)首先求出直线 AC的解析式，再利用抛物线上和直线上点的坐标性质得出 即可.【解答】 解：(1)由二次函数 y=Lx2+bx+c与x轴交于A (-4, 0), B (1, 2yX (- 4 )2 - 4b+c=012'y X 1 +b+c=OL乙PQ的长度两点可得:故所求二次函数解析式为：y=x2+x-2;22(2)由抛物线与y轴的交点为C,则C点坐标为：(0,-2),若设直线AC的解析式为：y=kx+b,则有.0二-4k+bfk=-解得：，2,b=-2故直线AC的解析式为:若设P点的坐标为：(a,-La2+-la-2),22又Q点是过点P所彳y轴的平行线与直线AC的交点,则Q

39、点的坐标为：(a,-a-2),则有：2；PQ= - -a- 2 - ( a +-：2222a-2)=a2-2a=(a+2)2+2,22即当a=-2时，线段PQ的长取最大值，此时P点的坐标为(-2,-3).【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，根据图象上点的坐标性质表示出PQ的长是解题关键.8. (2014?重庆模拟)如图，抛物线y=-x2+ax+8(aw0)于x轴从左到右交于点A,B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D(m,5),tan/DCO=1(1)求抛物线与直线CD的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有点E,使EA+EC的值最小，求

40、最小值和点E的坐标；(3)点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FGXCD于点G,作FH/y轴，与直线CD交于点H,求FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)作DM，x轴于点M,根据tan/DCO=1,则/DCM=45°,CDM是等腰直角三角形，求得D的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线和直线CD的解析式；(2)首先求得A和B的坐标，以及抛物线的对称轴，直线BC与对称轴的交点就是点E,首先求得BC的解析式，则E的坐标即可求得；(3)AFGH是等腰直角三角形，当FG最大时，FGH的周长的最大，设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线，利用根

41、的判别式即可求得直线的解析式，进而求得唯一的公共点，即F的坐标，求得FGH的周长.【解答】解：(1)作DM，x轴于点M.在y=x2+ax+8中令x=0,贝Uy=8,贝UC的坐标是(0,8),即OC=8.D的纵坐标是5, .M的坐标是(0,5),即OM=5.CM=OC-OM=8-5=3. .tanZDCO=1, ./DCM=45°,则CDM是等腰三角形.DM=CM=3, .D的坐标是(3,5).把(3,5)代入y=-x2+ax+8得：一9+3a+8=5,解得：a=2.则二次函数的解析式是y=-x2+2x+8;设CD的解析式是y=kx+b,则修+b=5Lb=8（k二1解得：，b二8则直线

42、CD的解析式是y=-x+8;（2）抛物线的对称轴是x=1.在y=x2+2x+8中，令y=0,则x2+2x+8=0,解得：x=4或2.则A的坐标是（-2,0）,B的坐标是（4,0）,BC=g2+42=475,EA+EC的值最值是4巡.设BC的解析式是y=dx+e,则（4打0Le=8-2解得：J一，J二8则BC的解析式是y=-2x+8.令x=1,y=-2+8=6,则E的坐标是（1,6）;（3）设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线解析式是y=-x+d,rr2贝Ix+2x+8=-x+d,2即x-3x+（d-8）=0,=9-4（d-8）=0,解得：.4335、则F的坐标是（在 y= x+8 中,

43、-,-,24令y=，贝卜x+8=25,解得x=一且，即H的坐标是（1,匹）.44444贝UFG=HG=亚|=返X旦二,2248则AFGH的周长是2X844【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解直线与抛物线的交点的个数的判断，求得F的坐标是解决本题的关键.9.(2014?竹山县模拟)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B(1,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P在直线AC上，若Sapao：Sapco=2:1,求P点坐标；(3)如图，若点C关于对称轴对称的点为D,点E的坐标为(-2,0),F是OC的中点，连接DF,Q为线段AD上的一点，若/

44、EQF=/ADF,求线段EQ的长.图图【考点】二次函数综合题.【分析】(1)把B(1.0)、C(0,3)两点代入y=x2+bx+c即可解决.ptAIM9(2)如图中，作PM±AB垂直为M,由PM/CO,得二二幽=£求出am,即可解决PCMO1问题.(3)如图中，连接CD,延长DF交x轴于H,先证明HD=HA,再证明QAEFDQ,得L=&L,设AQ=m,则DQ=AD-AQ=-m,列出方程即可解决.DFDQ【解答】解：(1)把B(1.0)、C(0,3)两点代入y=x2+bx+c得Jc-3解得1°二-？，1-l+b+c=O(c=3所以抛物线解析式为y=-x2-2

45、x+3.(2)如图中，作PM±AB垂直为M,令y=0,贝Ux22x+3=0,解得x=-3或1, 点A(3,0),点B(1,0),点C(0,3),It'"5-1,1设直线AC为丫=h+3把A、C两点坐标代入得,-解得.I-3k+b=0Ib=3，直线AC为y=x+3,设点P(m,m+3),若S"AO：SaPCO=2:1, .PA:Pc=2:1,.PM/CO,.PA_AH_2 =,PCMO1.AM=2,MO=1,m=-1, 点P坐标为(-1,2).(3)如图中，连接CD,延长DF交x轴于H.DC/OH, ./CDF=/OHF,在CDF和OHF中，fZCDF=Z0

46、HF NDFC=/OFH,JC=OFCDFAOHF,DC=OH, 点C(0,3),点D(2,3), 点H(2,0),DH=G、？=5，,.AH=5,HD=HA,/HDA=/HAD,./AQF=/ADF+/DFQ=/AQE+/EQF,/EQF=/ADF,/AQE=/DFQ,/QAE=/QDF,QAEAFDQ,.=,设AQ=m,贝UDQ=AD-AQ=V1Q-m,DFDQI=里2.m=VTO2-AD= <10,aq=2M,2，AQ=QD,点Q坐标(一心，9),二点E(2,0),22QE=J(_|W+e|产半图【点评】本题考查二次函数、一次函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股

47、定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会把问题转化为方程，属于中考压轴题.10. (2014?万州区校级模拟)如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,点C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；(2)求出PBC的面积；(3)请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q,使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是PBC的面积的若?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.Ix=2CA【考点】二次函数综合题.【分析】(1)先由直线

48、y，x+3与x轴，y轴分别相交于点B,点C,求出B(3,0),C(0,3),再根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,求出与x轴的另一交点A的坐标为(1,20),然后将A(1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax+bx+c,运用待te系数法即可求出该抛物线的函数表达式；(2)先利用配方法将二次函数写成顶点式，得到顶点P的坐标，再设抛物线的对称轴交直线y=x+3于点M,由PM/y轴，得出M的坐标，然后根据Spbc=L?PM?|xc-xb|即可2求出PBC的面积；(3)设Q(m,m2-4m+3),首先求出以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=gLszXPBC=a_X3=8L.再

49、分两种情况进行讨论：当点Q在PB段时，由S四边形ACBQ=SaABC+Sa24ABQ=3+|yQ|,得出丫。1="3=，即m2+4m3二*，解方程求出m的值，得至UQi的坐标；当点Q在BE段时，过Q点作QH，x轴，交直线于H,连ZBQ.由S四边形ACQB二Sabc+Sacbq=3+(m2-3m),得出(m2-3m)=-3=,解方程求出m的值，得至U222424Q2的坐标.【解答】解：(1)二直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,点C,.B(3,0),C(0,3).又,抛物线y=ax2+bx+c(aw。)过x轴上的A,B两点，且对称轴是直线x=2,.点A的坐标为(1,0).将A(

50、1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,a+b+c=0得79a+3b+c=0,解得*b二一4,，该抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;(2)如图，连结PB、PC.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,，顶点P的坐标为(2,-1).设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M,1.PM/y轴,M(2,1),Sapbc=?PM?|xc-xbI=x(1+1)x3=3;22(3)由图可知，点Q应分为两种情况：在PB段或在BE段.以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=2LSapbc=9Lx3=2L.727224设Q(m,m2-4m+3).当点Q在PB段时，S四边形acbq=Sabc

51、+Szabq=Lx2x3+x2|yQ|=3+|yQ|,22|yQ|=-3=12,24241-1m2-4m+3|=-i-,即m2+4m3=t,2424解得mi=2+1i,m2=2Yli,又点Q在对称轴的右侧，则m=2+H,当点Q在BE段时，过Q点作QH±x轴，交直线于H,连结BQ,则H(m,-m+3).,S四边形ACQB=SaABC+SaCBQ=X2X3+X2(SaCHQ-Sabhq)=3+|yQ-yH|?|XC-222xb|=3+(m2-3m),2(m2-3m)=-3=,22424解得m1=卫！m2=-i.又点Q在对称轴的右侧，则 .Q2 （,上）. 综上所述，当Qi （24粤，12

52、_ Q1形面积是 PBC的面积的721924,、1913,）或Q2 （耳，）时，点A、B、C、Q所围成的四边636【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，三角形、四边形的面积求法.综合性较强，有一定难度.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.11.(2014?惠山区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线x=-2,点C是抛物线与y轴的交点，点D是抛物线上另一点，已知以OC为一边的矩形OCDE的面积为8.(1)写出点D坐标并求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线在x轴上

53、方的一个动点，且始终保持PQ，x轴，垂足为点Q,是否存在这样的点，使得PQBsBOC?若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据矩形OCDE的面积为8和抛物线对称轴为直线x=-2,可得点C坐标,进一步彳#到点D坐标；再根据抛物线的交点式，利用待定系数法得到抛物线的解析式；（2）分点P在对称轴的左边和点P在对称轴的右边两种情况讨论，可求点P的坐标.【解答】解：（1）矩形OCDE的面积为8,抛物线对称轴为直线x=-2, .OE=4,，OC=8+4=2, 点C坐标为（0,2）, 点D坐标为（-4,2）, 点A的坐标为（-1,0）, 点B的坐标为（-3,0）,设抛物线解析式为y=a（x+1）（x+3）,把点C坐标代入得3a=2,解得a=2.3故抛物线解析式为 y= （x+1） （x+3） =Z_x2+Sx+2;33、3（2）设点P的坐标为（m, m2+m+2）,33 点P在对称轴的左边时， PQBsboc ,铝仔、2m2= - 3 （不合题意舍去），空，-）；48解得m1=-4射争+吗,，点P的坐标（-点P在对称轴的右边时，pqbaboc,一一；舟32'解得m1=&m2=-3（不合题意舍去）4m2+ m+2=3351T综上所述，点p的坐标（-23,之）或（呈）.4848